Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин

Рис. 6.2.1. Схема балки на двух опорах

С х е м а р е ш е н и я . Перемещение любого сечения балки в направлении оси Оу будет

dt

получают дифференциальное уравнение для ис­ комой обобщенной координаты ^^^i

ная координата установившихся изгибных коле­ баний

(6.2.58) Максимальное ускорение в любом поперечном сечении

Теперь не составляет труда определить силы, действующие на опоры А и В.

Вычисление обобщенных сил. Вынужденные колебания представляют разложенными по фор­ мам свободных колебаний. Тогда обобщенная сила б„ для (6.2.56) может быть найдена как частная производная по обобщенной координате gn(t) от суммы работ всех внешних сил на воз­ можных перемещениях системы. Согласно рис. 6.2.2

/

Рис. 6.2.2. Схема нагружения балки внешними силами

Если внешняя сила р(Ху y)q(t) действует на пря­ моугольную штастину, обобщенная сила

аЬ

00

6.2.5. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ДИССИПАТИВНЫХ УПРУГИХ СИСТЕМ

Рассеяние энергии при колебаниях упругих систем может происходить по многим причи­ нам, среди которых можно указать три наиболее распространенные: 1) потери энергии в окружа­ ющую среду от взаимодействия упругой системы с этой средой ("внешнее трение"); 2) потери энергии, обусловленные внутренними процесса­ ми в материале при колебаниях ("внулреннее трение"); 3) потери, связанные с трением в опо­ рах, шарнирах, заклепочных, болтовых соедине­ ниях и др. ("конструкционное трение").

Определение характера и коэффициентов демпфирования представляет довольно сложную задачу вследствие разнообразия и взаимосвязан­ ности различных факторов, обусловливающих поглощение энергии в материале и соединениях, и в зависимости от конструкторскотехнологических причин и условий эксплуата­ ции. Коэффициенты демпфирования определя­ ют, как правило, экспериментально, подробнее см. [55, 66]. Здесь мы отметим особенности ре­ шения задач о вынужденных колебаниях в слу­ чаях, когда рассеяние энергии пропорционально первой степени скорости. Примем вязкоупругую модель материала - модель Фойгга - Кельвина:

там в уравнениях ддя обобщенных координат приводит модель движения упругого тела в вяз-

ди

кой жидкости F^ = h — .

dt

Дифференциальные уравнения продольных и поперечных колебаний стержня при наличии

Когда имеется внешнее сопротивление, пропор­

для определения форм и частот свободных коле­ баний имеют тот же вид, ^гго и для упругих сис­ тем без трения.

Вынужденные колебания при разложении их в ряд по формам свободных колебаний. Решение задачи проходит гладко в случае гипотезы Фойг-

та - Кельвина, и возникает некоторая неувязка в случае внешнего вязкого сопротивления hdu/dt, hdw/dt вследствие того, что формы свободных колебаний ортогональны с весом т(х)=рЕ и неортогональны с весом h. Поэтому уравнения для обобщенных координат, строго говоря, не разделяются. В инженерных расчетах такой погрешностью часто пренебрегают.

Дифференциальное уравнение для обоб­ щенной координаты gn(t) при д(х, t)=g(x)e^P^

будет иметь вид

каждого тона колебаний имеет свое значение.

Метод прогонки с определением форм вы­ нужденных колебаний характеризуется наличием комплексных коэффициентов в дифференциаль­ ном уравнении для определения форм вьшужденных колебаний. Например, для продольных колебаний в случае вынуждающей силы на конце стержня (х=1)д(х, t)=Pe^P^ имеем

п2

поэтому форма вынужденных колебаний пред­ ставляется в любом поперечном сечении стержня комплексным числом

/К

Рис. 6.2.3. Схема комплексной формы вынужденных колебаний

Форма вынужденных колебаний ф(х, р) в координатах х, Uy К является пространственной кривой (рис. 6.2.3). Чем выше частота р вынуж-

менных у и Z переменные г и г| (у—г Sinrj, ^=rcosr|), получим уравнение Лапласа в цилин­ дрических координатах

(6.3.4)

Давление р жидкости в любой точке объе­ ма, занятого жидкостью, можно определить из следующего равенства:

где PQ - давление газов над жидкостью; v - ско­ рость жидкости; р - плотность жидкости; g* - ускорение свободного падения; X - координата в направлении оси ох, когда ось ох направлена

Краевые и начальные условия на смоченной поверхности S* могут быть выражены, исходя из равенства нормальных скоростей жидкости и стенки бака

где v*„ - скорость граничной поверхности в направлении нормали к этой поверхности.

Граничное условие на свободной поверхно­ сти: р=Ро или

(дФ^

— I + ^ * х = о,

где Х=Х(У> Zy t) - отклонение свободной поверх­ ности от невозмущенного положения, при кото­ ром х{уу Zy 0=0. При малых колебаниях произ­ водные дФ/dt и дФ/дх можно взять на невоз­ мущенной свободной поверхности, т.е. при х=0, вместо х=х . Тогда граничное условие на сво­ бодной поверхности получим в виде

Функция Ф в общем случае должна удов­ летворять еще начальным условиям, которые необходимы ддя определения произвольных постоянных решения однородного уравнения (6.3.2). Применительно к мащиностороительным конструкциям нас будут интересовать в первую очередь вынужденные колебания, определяемые частным рещением дифференциального уравне­

ния с правой частью. Начальные условия для таких задач не имеют значения.

Таким образом, задача о вынужденных ко­ лебаниях идеальной несжимаемой жидкости в баке сводится к определению потенциальной функции Ф{Ху у, Z, t), удовлетворяющей уравне­ нию Лапласа (6.3.2) и граничным условиям (6.3.6) и (6.3.7). Если функция Ф найдена, то найдено движение и давление жидкости.

6.3.2. ПЛОСКИЕ ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЖЕСТКОГО БАКА С ЖИДКОСТЬЮ, ИМЕЮЩЕЙ СВОБОДНУЮ ПОВЕРХНОСТЬ

Потенциал абсолютных скоростей жидкости в круговом цилиндрическом баке, движение кото­ рого в механической системе задано кинемати­ чески (рис. 6.3.2): поступательным перемещени­ ем Ус—Ус(0 вдоль оси у и углом поворота ^=^(t) вокруг полюса С.

дх

где Го - радиус бака; h - расстояние от невозму­ щенной свободной поверхности до дна бака.

На свободной поверхности жидкости вы­ полняется граничное условие ^6.3.7).

Потенциал абсолютных скоростей Ф для сформулированной задачи определяют методом разделения переменных.

Требуется найти такие координатные фун­ кции, которые бы удовлетворяли дифференци­ альному уравнению (6.3.4) во всем объеме жид­ кости и граничным условиям (6.3.7) - (6.3.9) на свободной поверхности и смачиваемых стенках бака. Такие функции можно подобрать только для простьгх форм баков. Для бака со свободно.й

поверхностью жидкости комбинацию коорди­ натных фунюдий целесообразно подбирать, ис­ пользуя потенциал Н. Е. Жуковскош [36]. Для этого потенциал абсолютных скоростей пред­ ставляют в виде двух частей

каждая из которых должна быть решением урав­ нения Лапласа (6.3.4) и, кроме того, функция vj/ ("потенциал Жуковского") должна удовлетворять граничным условиям на смачиваемых стенках и допускать некоторый произвол на свободной поверхности, функция ф должна иметь нулевые граничные условия на смачиваемых стенках и совместно с v|/ удовлетворять граничным услови­ ям на свободной поверхности.

Для кругового цилиндрического бака таки­ ми функциями будут [45]

Из условия на свободной поверхности (6.3.7) получаем дифференциальное уравнение для определения произвольной пока функции

Kit)

рода и первого порядка с корнями уравнения dR(r)/dr=0; Ci=A:iro= 1,8412; С2=^2П)=5,3315; Сз=А:зГо=8,5363; С4=А:4П)=11,7060; ... Она ха­ рактеризует движение жидкости в радиальном направлении;

характеризуют движение жидкости в направле­ нии продольной оси Ох;

расстояние от цетра вращения С до некоторой точки на оси бака, находящейся ниже свободной поверхности жидкости; L - расстояние от точки С до свободной поверх}{ости жидкости; Х^(0 - функция, через которую выражаются колебания жидкости внутри бака. Частота свободньгх коле­ баний жидкости в баке

земного тяготения g* w меньще радиус бака Го, тем больше со^ ддя каждого п (номера тона коле­ баний).

Физический смысл параметра Х^(/) можно установить из рассмотрения отклонений свобод­ ной поверхности в направлении оси цилиндра, которое в неподвижной системе координат будет

n=l[Çn-^pn ' '0J

есть отклонение свободной поверхности от

Уравнение (6.3.12) можно считать уравнением вынужденных колебаний жидкости относительно стенок бака. Распределение этих колебаний по глубине определяет функция X Фп

Rn(f)—J\(Çn^/fo)- Для первых трох тонов коле­ баний форма свободной поверхности в плоско­ сти 0\Х1У\ показана на рис. 6.3.3. Скорость час­ тиц жидкости У стенки бака характеризуется функцией

где m - масса всей жидкости; т„ - приведенная масса колеблющейся жидкости, соответствующая координате Х„,

Потенциал абсолютных скоростей жидкости в баке в форме прямоугольного параллелепипеда.

Пусть бак, имеющий размеры поперечного сече­ ния 2а и 2Ь, заполнен жидкостью на глубину Л, дно бака плоское, продольная ось вертикальна. Начало неподвижной прямоугольной системы координат расположим в центре невозмущенной свободной поверхности, ось Ох направлена вер­ тикально вверх, ось Оу - параллельно стенке

бака длиной 2а, ось Oz напоавлена так, чтобы система координат была правой. Бак совершает малые колебания в направлении оси Оу по ^io.-

кощ yc=yc{t).

Граничные условия ддя движения жидко­

дх

На свободной поверхности жидкости выполняет­ ся граничное условие (6.3.7).

Потенциал абсолютньгх скоростей жидко­

сти

ф =уУс +^(x,y,z,t);

chk^ h -\- X

Fy и момент М(> совпадают по направлению с

Py{t) и M,{t).

Полагая центр масс стенок бака совпадаю­ щим с центром масс невозмущенного объема жидкости в баке, получим систему дифференци­ альных уравнений возмущенного движения бака

^Y,^nK-Py{^Y

л=1

где /:„ - корни уравнения cos/:„=0; /:„=(2л-1)х х7с/2; 'kf^if) - координата колебаний жидкости внутри бака; со„ - частота свободных колебаний жидкости в баке,

Я*^;^th h\ (6.3.24)

а )

Уравнения возмущенного движения бака с жидкостью. Рассмотрим поперечные движения, за обобщенные координаты для бака примем З^сСО - отклонение некоторого центра С, при­ надлежащего оси бака, и ô(/) - угол поворота вокруг этого центра в плоскости движения хОу (см. рис.6.3.2).

Полагаем, что действующие на бак внещние силы приводятся к поперечной силе /j(/), направленной параллельно оси Оу, и к паре сил с моментом Л/с(0 относительно оси, проходя­ щей через точку С и параллельной Oz- Диффе­

где/^о - масса стенок бака; IQ - момент инерции стенок бака относительно оси, проходящей через центр С и параллельной оси Oz.

Механическая модель колебаний жидкости в баке. При поперечных колебаниях бака колеба­ ния жидкости внутри него пропорциональны координате X„(t). Дифференциальное уравнение для Х^ (6.3.12) есть уравнение вынужденных колебаний осциллятора, правая часть которого выражает кинематическое возбуждение от стенок бака. Это дает возможность при решении задач динамики твердого тела с полостью, частично заполненной жидкостью, колебания жидкости внутри бака заменить колебаниями математичес­ ких маятников; каждому тону колебаний жидко­ сти должен соответствовать свой маятник. Мас­ са, длина и положение точки его подвеса долж­ ны быть выбраны такими, чтобы поперечная сила и ее момент от колебаний маятника бьши такими же, как и от колебаний жидкости.

Для прямого кругового цилиндрического бака сила F^ (Х^ ) и момент Мс(Хп) относитель­

^i

с

0

")

б)

Рис. 6.3.4. Механическая модель колебаний жидкости в баке

имеющего массу т^, длину /^ и подвешенного на оси цилиндра на расстоянии L^ + /^ от

точки С (рис. 6.3.4), при поперечных движениях цилиндра будут выражаться таким же дифферен­ циальным уравнением, как дифференциальное уравнение (6.3.12) цдя Х„; математический маят­ ник во время колебаний будет действовать на цилиндр, вызывая поперечную силу F^yK^ и

момент M^ (Х^ \ относительно точки С, если его параметры удовлетворяют условиям:

/ • = / = ^0 .

Чтобы жидкость в баке считать "затвердевшей", т.е. заменить твердым телом, необходимо уменьшить ее момент инерции, не уменьшая массу. Для этого в центре масс затвер­

Тогда момент инерции твердого тела совместно с маятниками, "закрепленными" в невозмущен­ ном положении на продольной оси бака, должен бьггь равен /-/*.

Вьщеленная сфера, находясь без трения в наружной сфере-оболочке, не будет у^шствовать во вращении цилиндра. В этом - один из резуль­ татов решения Н. Б. Жуковского [36].

Таким образом, в рамках поставленной за­ дачи механическая модель колебаний жидкости в баке представляет собой твердое тело с подве­ шенными на его оси математическими маятни­ ками. Масса твердого тела совместно с массами маятников равна массе жидкости, момент инер­ ции твердого тела совместно с маятниками, зак­ репленными на его оси, меньше момента инер­ ции "затвердевигей" жидкости.

Частота свободных колебаний бака, частич­ но заполненного жидкостью в прямых горизон­ тальных направляющих. Если принять в расчет только один тон колебаний жидкости, то диф­ ференциальные уравнения на основании (6.3.25) будут

^Ус ^^п^п "^ ^' ^п ^^^п^п ~~Ус^ (6.3.26) где m - масса цилиндра с жидкостью; т^ - при­

веденная масса жидкости (масса маятника). Частота свободньгч колебаний системы бак-

жидкость

*оа^

всегда больше частоты свободных колебаний жидкости Б неподвижном баке. Для первого тона колебаний эта разница заметна. Соотношение (6.3.27) удобно получить или иллюстрировать на маятниковой модели.

6.3.3.ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ОСВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЖИДКОСТИ

Метод целесообразно применять ддя реше­ ния задач в случаях, когда бак имеет более сложную форму, чем круговой цили1щр lum прямоугольный параллелепипед, он реализуется с применением ЭВМ.

Бак, частично заполненный идеальной жидкостью, представляет собой консервативную систему, к которой применим принцип Гам иль

тона - Остроградского. Интефал действия по Гамильтону

/ = JLdt,

О

где Ь = Т-П - функция Лафанжа; Т, П - кине­ тическая и потенциальная энергия жидкости. Согласно принципу Гамильтона для действи­ тельных движений интефал действия принимает стационарное значение, т.е. вариация 5 / = 0 .

Интефал действия по Гамильтону J на по­ стоянный множитель 7Ср/2со отличается от функ­ ционала

объем, занимаемый жидкостью в невозмущен­

мильтона.

Задача о свободньгх колебаниях жидкости в объеме V сводится к вариационной задаче для функционала (6.3.28). Для ее решения удобно воспользоваться методом Ритца. Идея метода заютючается в следующем.

Выбираем систему координатньгх функций ф„, полную в объеме V, и приближенное реше­ ние задачи ищем в виде конечной суммы

ФТ.^'п^п'

п=\

Самым сложным в вариационном принци­ пе является выбор системы координатных функ­ ций (р„(х^ у, z). Нужен определенный опыт. От удачного или неудачного выбора зависит точ­ ность резу.чьтата при учете офаниченного числа тонов колебаний. Например, в качестве функции ф„ можно брать известные решения уравнения Лапласа для простого объема, охватывающего объем жидкости исследуемого бака. В частности, такой областью может бьггь прямой круговой цилиндр.

Если сумму Ф подставить в функционал, то он превратится в функцию к переменньгх

F{a^,...,a,^) = g * Y^p^

п,т = \

Из условия экстремума функции F(a\,...,ai^) получим к однородных уравнений для определе­ ния неизвестных Й1,...,ау^:

кк

т=\ т=\

(6.3.29) Для нетривиального решения определитель сис­ темы должен бьггь равен нулю

к частот свободных колебаний жидкости. Каж­ дой со„ соответствует решение (6.3.29), которое дает А2-Ю форму свободных колебаний жидкости. При /:—>оо решение будет стремиться к точному.

Приведем результаты численных решений, полученных при помощи вариационного метода, например, цля сферического бака [58]. Парамет­ ры маятниковой системы в этой работе выраже­

На рис. 6.3.5 показаны результаты расчетов для сферического бака. Кривые I соответствуют значениям, полученным с использованием сфе­ рических функций Лежандра, кривые 2 - значе­ ниям, полученным с использованием функций Бесселя. Результаты расчетов juiSi других форм баков можно найти в работе [58].

дп 1^ àt

где W - перемещение оболочки по нормали к поверхности и, кроме того, решение (6.3.31) должно удовлетворять геометрическим или сило­ вым условиям на некоторых контурах, а решение (6.3.2) - условию на свободной поверхности (6.3.5). Трудности решения задачи заключаются в удовлетворении условия совместности колеба­ ний (6.3.32), поскольку потенциал Ф и переме­ щение >v„ в общем случае выражаются наборами различных координатных функций. С методами решения можно ознакомиться в [25, 39, 53].

Определение основной частоты свободных колебаний методом Рэлея. Потенциальную энергию системы упругий бак - несжимаемая жидкость выразим через коэффициент приве­ денной жесткости /Спр

Максимальная величина потенциальной энергии обечайки и дна бака, соответствующая деформациям от гидростатического давления жидкости с удельным весом у,

^ т а х = ^ 1 + Я ^ + Я з ; 2 Я , ^ ^ =: К^ р,

где потенциальная энергия обечайки

2 3 я

П^^~—LJ_; (6.3.36)

потенциальная энергия дна бака, находящегося под действием постоянного давления уЯ,

где И2 - высота сферического сегмента.

Потенциальная энергия силового кольца, установленного в месте соединения обечайки с дном бака,

4EF,

где F^ - площадь поперечного сечения кольца. Максимальную величину кинетической

энергии жидкости определим в предположении,