Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин

гибной жесткостью, чем структуры, не удовлет­ воряющие условиям (5.2.9) и образованные из тех же слосв, и описывается более простыми уравнениями.

Коэффициенты D определяют изгибные жесткости стенки. В частности, D\\ и D22 соот­ ветствуют изгибу в плоскостях XZ и yz, а D^^ - кручению. Коэффициент D\2 отражает связь между изгибными деформациями в плоскостях XZ и yZy обусловленную эффектом Пуассона, а Z)i6 и D2e - связь между изгибом и кручением. Из третьего равенства (5.2.5) следует, что рас­ сматриваемые коэффициенты зависят от коор­ динаты е, т.е. от положения базовой плоскости, к которой приведены моменты. Для того чтобы получить истинную изгибную жесткость, следует рассмотреть действие только одного момента и задать координату е с помощью соответствующе­ го уравнения (5.2.9). В результате изгибные (т/и=11, 22) и крутильная (тт—66) жесткости будут иметь вид

(1)1 /г(0)

тттт

Инаконец, коэффихщенты К (5.2.7) опре­ деляют жесткость стенки при межслоевом сдвиге

вплоскостях XZ и yz- Для однородной (однослойной) стенки эти жесткости имеют слЬ-

дующий вид: К-^ = G^h; К2 = Gy^h, Для трех­ слойной стенки, у которой податливость при сдвиге определяется слоем изотропного легкого

заполнителя, К^ = К2 = G^h jh^ , где GQ И

Ло - модуль сдвига и толщина слоя заполнителя. Соотношения (5.2.5) и (5.2.6) в совокупно­ сти с уравнениями равновесия или движения, а

также геометрическими соотношениями, связы­ вающими деформахщи с перемещениями, обра­ зуют полную систему уравнений статики или динамики тонкостенных композитных элементов конструкций. Расчет таких элементов осуществ­ ляют по следующей схеме.

L В результате решения исходной системы уравнений находят перемещения и деформации

влюбой точке конструкции.

2.По формулам

определяют напряжения в монослоях. Подста­ новка найденных напряжений в условиях проч­ ности, приведенные в пп. 5.1.5 и 5.1.6, позволя­ ет оценить прочность отдельных слоев и всей конструкции, а сравнение полученных переме­ щений с допускаемыми позволяет оценить ее жесткость.

Более полная информация о методах расче­ та композитных элементов конструкций пред­ ставлена в работе [6].

5.2.2. ДИССИПАТИВНЫЕ СВОЙСТВА СЛОИСТЫХ КОМПОЗИТОВ

Воспользуемся результатами, представлен­ ными в п. 5.1.7 для монослоя, и рассмотрим диссипативные свойства слоистых материалов.

При идеальной взаимосвязи слоев потери энергии в многослойном композите при цикли­ ческом нагружении равны сумме потерь в моно­ слоях. Величину потерь за цикл нагружения в /-М слое определяют с помощью матрищя

^монослоя через амплитудные значения

напряжений. Потери энергии в многослойном параллелепипеде единичной длины и ширины, отнесенные к толщине пакета Л, могут быть представлены в форме, обобщающей равенство

[й^^-н^Чн],

или

i»'=i{<,j'[»|,j,

S') т. .»?)

Щ"1 +^ху

С учетом равенств (5.2.1), где принимают r=Z/, находят деформации в координатах, связанных с направлением армирования /-го слоя (см. рис. 5.1.1).

3. С помощью закона Гука

где

[*]=[s]t[e<"p'>p"p'>p]

(5.2.10) матрицы жесткости и податливос-

• n - l'

ти пакета слоев

Для частных случаев структуры пакета сло­ ев многослойного материала формула (5.2.10) может быть упрощена. Так, при одноосном на­ гружении перекрестно армированного композита

вдоль оси симметрии структуры материала 1 соответствующий коэффициент диссипации принимает вид

,M^llUll^22-^12

^22

2^16^16^22 --^26^1^2в^п)

Здесь штрихами отмечены компоненты матриц жесткости и диссипативных характерис­ тик монослоя. На рис. 5.2.2 представлены зави­ симости от угла армирования коэффихщента

рассеяния ^х ~^1 ^ модуля упругости

*

Е^ - Е-^ при одноосном нагружении симмет­ рично армированного композита.

ных материалах. Величины Ei и Е2 являются модулями упругости при нагружении соответ­ ственно в продольном и поперечном направле­ ниях. Величины Qj и G2 определяют пределы прочности при растяжении в этих направлениях, а а2 и а2 - пределы прочности при сжатии.

Значения т соответствуют пределу прочности при сдвиге между слоями. В последних столбцах таблицы приведены значения коэффициента линейного температурного расширения aj и коэффициента теплопроводности Xi в продоль­ ном направлении, удельной теплоемкости Ср и плотности р.

Х(Т]1Х(20''С}

W

^7

Рис. 5.2.3. Зависимость относительных механических характеристик однонаправленного стеклопластика от температуры:

7-^1(7); 2-GÎ2( 7); J-a 1^(7);

^ai(7);J^a2(7);(^i2(7)

К{1)1Х(20Ч)

у1

Рис. 5.2.2. Зависимость коэффицисЕгга диссипации i|/^ и модуля Ех от угла ориентации волокон ф при £*!=103,4 ГПа; ^=7,2 ГПа; Gi2=3,8 ГПа; vi2=0,29; vi/j =0,45 %;

V|/2=5,5 %; \|/g=6,7 %

5.2.3. СВОЙСТВА КОНСТРУКЦИОННЫХ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

В табл. 5.2.1 представлены типовые меха­ нические и физические характеристики наиболее распространенных композиционных материалов. Индекс 1, как и ранее, соответствует направле­ нию волокон в однонаправленном материале или направлению основного армирования в тка­

N

Рис. 5.2.4. Зависимость относительных механических характеристик однонаправленного органопластика от температуры:

l-Ei(T); 2-Б2(Т); 3-Gi2(T); 4-^1(1);

5-aï(7); 6-a2{T); l-G^iT)- »^niT)

тый пресс-материал (v=0,62)

Способ

изготов­

ления

»о

H

»s

о

д

д

Вык­

ладка

д

Прессо­ о

вание со

д

д

д

о

Намотка дд

Прессо­

вание

»

»

Механика композитных материалов. 1984, N 1.

С.35-41.

14.Москвитвн В. В. Циклические нагружения элементов конструкций. М.: Наука, 1981. 344 с.

15.Победря Б. Е. Механика композицион­ ных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984. 336 с.

16.Рабинович А. Л., Верховский И. А. Об упругих постоянных ориентированных стекло­ пластиков // Инж. журнал. 1964. N1 1. С. 90-100.

17.Радиньш И. Г., Гурвич М. Р. Вязкоупругие свойства слоистых армированных пласти­ ков при длительном плоском нагружении // Механика армированных пластиков. Рига: Риж­ ский политех, ин-т, 1981. С. 76-89.

18.Роулацдс Р. Течение и потеря несущей способности композитов в условиях двухосного напряженного состояния: Сопоставление расчета

иэкспериментальных данных // Сб. переводов. Механика, 16. М.: Мир, 1978. С. 140-179.

19.Скудра А. М., Булаве Ф. Я. Структур нал теория армированных пластиков. Рига: Зинатне, 1978. 192 с.

20.Скудра А. М., Булаве Ф. Я. Прочность армированных пластиков. М.: Химия, 1982. 216с.

21. Скудра А. М., Булаве Ф. Я., Гур­ вич М. Р., Круклиш»ш А. А. Элементы строи­ тельной механики стержневых систем из компо­ зитных материалов. Рига: Зинатне, 1989. 250 с.

22.Хашин 3., Розен В. Упругие модули ма­ териалов, армированных волокнами // Приклад­ ная механика, 1964, № 2. С. 71-82.

23.Хилл Р. Теория механических свойств волокнистых композиционных материалов. Ч. 1. Упругое поведение // Механика. Вып. 2. М.: Мир, 1966. С. 131-143.

24.Хорошун Л. П. О методике определения упругих модулей армир<5ванных тел // Механика полимеров. 1968. № 1. С. 78.

25.Цай С , Хан X, Анализ разрушения композитов // Механика. Вьш. 16. М.: Мир, 1978. С. 104-139.

26.Шаффер Б. Соотношения между на­ пряжениями и деформациями для армированных 1шастиков при действии внешних сил парал­ лельно и нормально их внутренним волокнам //

Ракетная техника и космонавтика. 1964. № 2. С. 163-169.

27.Щермергор Т. Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М*.: Наука, 1977. 399с.

28.Вах 1. Déformation behaviour and failure of glassfibrereinforced resin material // Plastics and Polymers. 1970. Vol. 38. N 133. P. 27-30.

29.Chou T. K., Fukuda H. Stiffness and strength of hybrid composites // Composite Materials Japan. - US conf. Tokyo. 1981. P. 87.

30.Foye R. L. An Evaluation on Varions Engineering Estimâtes of Transverse Properties of

Unidirectional Composites // SAMPE Journal. 1966. vol. 10. P. 16-31.

31.Gruber M. В., Overbeeke I. L., Chou T.

A reasonable sandwich beam concept for composite compression test // J. Composite Materials. 1982. Vol. 16. P. 162-171.

32.НШ R. llieory of Mechanical Properties of Fibre Strengthened Materials. 111. Self-consistent Models // J. Mech. Phys. SoUds. 1965. 13. P. 189198.

33.Kalnin I. L. Evaluation of unidirectional glass-graphite fiber epoxy resin composites // Com­ posite Materials: Testing and Design (Second confér-

ence), ASTM STP 497, American Society for Testing and Materials, 1972. P. 551-563.

34.Knappe W., Schneider W. Bruchkriterien fur unudirektionelen Glasfaser / Kunststoffe unter ebenen Kurzzeit und Langzeit Beansprunchung // Kunststoffe. 1972. Bd. 62. H. 12. S. 864.

35.Pinselli R. La fibre aramide et ses appUcation dans les composites hybrides / / Matériaux et techniques. 1984. Jan. Fev. 72 Année, NS 1-2. P. 43-48.

36.Short D., Summerscales I. A new theoretical approach to the strength of fibre composite hybrid materials // 13th Reinforced Plastic Congress, London, 1982. P. 225-229.

37.Whithney J. M. Elastic ModuU of Unidirectional Composites with Anisotropic Filaments // J. Composite Materials. 1967. Vol. 1. P. 188-193.

38.Wu E. M., Ruhmann D. C. Stress rupture of glass-epoxy composites: environmetal and stress effects // Composite Rehability. ASTM STP 580. 1975. P. 263-287.

Глава 6.1

КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ

6.1.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

.ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ

Одним из наиболее общих способов со­ ставления дифференциальных уравнений движе­ ния голономных систем с двусторонними связя­ ми являются уравнения Лагранжа И рода

ными уравнениями, что имеет место, в частно­ сти, если кинетическая энергия системы Г, диссипативная функция Рэлея Ф и потенциальная энергия П могут быть представлены в виде квад­ ратичных форм обобщенных координат qi и ско­ ростей q^\

-п п

Потенциальная энергия системы приводит­ ся к форме (6.1.2), если обобщенные координа­ ты qi отсчитываются от какого-либо из положе­ ний равновесия системы, в которьгх ôlJ/dq^ = О

(/—I, 2,...,«). Система соверщает колебательные движения около положения равновесия, если оно является устойчивым. Достаточным услови­ ем устойчивости является минимум потенциаль­ ной энергии и, как следствие, положительная определенность квадратичной формы (6.1.2) потенциальной энергии, которая может быть установлена критерием Сильвестра:

Пример 1. Определить, при каких значени­ ях жесткости пружины положение равновесия в поле тяжести системы, представленной на рис. 6.1.1, будет устойчивым.

содержащих постоянные коэффициенты Л/,-, Ь^р Су, называемые соответственно обобщенными инерционными коэффициентами, коэффициен­ тами вязкого сопротивления и квазиупругими коэффициентами.

Часто для получения линейных дифференциальньгх уравнений дополнительно вводят по­ нятие малых колебании, при которых обобщен­ ные координаты qi и скорости q^ рассматривают как величины первого порядка малости, а в функциях Т, Ф и П ограничиваются малыми второго порядка. Таким образом, некоторые системы при малых колеба}{иях ведут себя, как, линейные.

Рис. 6.1.1. к определению устойчивости положения равновесия

Для несвободных систем, имеющих упру­ гий безмассовый каркас, несущий сосредоточен­ ные инерционные элементы, целесообразно применять принцип Даламбера в сочетании с линейными соотношениями между действую­ щими на инерционные элементы силами и их перемещениями

п

7=1

где ô^y - приращение /-Й обобщенной координа­ ты Qi от действия единичной у-й обобщенной силы Gy~l- Симметрическую матрицу Ъ={Ъф называют матрицей коэффициентов влияния Ъу.

В обобщенных силах, кроме возмущающих

В качестве обобщенных координат примем прогиб балки в месте крепления груза у и угол поворота фуза ф. Приложив единичные силу и момент по правилу Верещагина [86], вычислим коэффициенты влияния оц—4Р/9^/,

012—021=2/2/9£7, b^T^ll^EJ. Тогда ма1рицы, входящие в уравнение (6.1.4), будут иметь вид

(уЛ

Qj{t) и сил сопротивления среды (внещнее тре­ ние) -ЬцС:, учитывают даламберовы силы инер­

Подстановка Qj в (6.1.5) приводит к уравнениям колебаний в обратной форме, которые в матрич­ ной записи имеют вид

Матрицы \—{аф ' и B=(^^y) коэффициентов инерции и сопротивления в обратной форме записи являются диагональными.

Для перехода от уравнений (6.1.6) в обрат­ ной форме к прямой форме (6.1.4) необходимо (6.1.6) домножить слева на матрицу 5"^=С квазиупругих коэффициентов.

Пример 3. Составить дифференциальные уравнения малых колебаний упругой безынерци­ онной балки, несущей сосредоточенный груз, имеющий массу m и момент инерции / (рис.

6.1.3).

/77. /

6.1.2.КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

СОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

Всоответствии с (6.1.3) дифференциальное уравнение колебаний имеет вид

уравнение колебаний согласно (6.1.7) имеет вид

продолжительность одного полного цикла коле­ баний (рис. 6.1.4). Используется также частота в герцах v=l/7'==(o/27C, равная численно числу колебаний в секунду.

Свободные колебания системы при наличии вязкого трения (диссипативная система). Диффе­