билеты пдф

БИЛЕТ 1 Элементы и множества.

Под множеством интуитивно понимают совокупность определенных, вполне различимых объектов, рассматриваемых как единое целое.

Отдельные объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества. Из определения следует, что элементы множества должны быть:

·вполне различимыми;

·иметь общее свойство.

Будем обозначать множества большими буквами латинского алфавита, а элементы – малыми буквами с индексами или без.

Отношение принадлежности элемента a множеству A обозначается а ϵ А.

Множество B называется подмножеством множества A, если всякий элемент B принадлежит A. Такое отношение обозначается как

В с А. Если В с А и В ≠ А, то В с А. В этом случае говорят, что B есть собственное подмножество A. Ø - пустое множество;

U – универсальное множество.

Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным, в противном случае – бесконечным. Число элементов в конечном множестве A называется его мощностью и обозначается |A|.

Множества, равномощные множеству натуральных чисел N, называются счетными. Множества, равномощные множеству вещественных чисел R, называются континуальными. Если все рассматриваемые в ходе данного рассуждения множества являются подмножествами некоторого множества U , то такое множество называется универсальным. Основоположником теории множеств Г. Кантором были сформулированы несколько интуитивных принципов, играющих роль аксиом. Нас интересуют два таких принципа.

Принцип объемности. Множества A и B считаются равными (A=B), если они состоят из одних и тех же элементов.

Принцип абстракции. Любая форма P(x) определяет некоторое множество A, а именно множество тех и только тех элементов a ϵ A, для которых P(a), – истинное предложение.

БИЛЕТ 2 Способы задания множеств

1)Перечислительный

А1={3,6,9,…}

2)С помощью характеристического предиката (высказывания)

M = {x : P(x)} M = {x | P(X)}

A2 = {x : x2-6x+5=0}

A3 = {(x,y) : x,y-вещественные, x2+y2≤1}

3)Порождающие процедуры

1.1 ϵ А4

2.Если х ϵ А4, то 2*х ϵ А4

А4={1,2,4,8,16,…}

4)Решающие процедуры Ответ: да/нет.

5)Использование характеристического вектора

U={a1,a2,a3,…an}

XA={X1,X2,X3,…XN}

БИЛЕТ 3 Сравнее множеств.

А– подмножество множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В.

Ас В, А=В. А с В, В с А.

Ас В, елси А с В, А ≠ В.

Ас В, если А not c B.

Ø с А.

А с U. (универсальное множество) Если А с В и В с С, то А с С.

Если множество А – конечное, то |A| - мощность (количество элементов). А и В имеют одинаковую мощность, если существует взаимно-однозначное соответствие.

Множество называется бесконечным, если оно имеет одинаковую мощность с множеством натуральных чисел.

Вещественное множество не является счетным.

БИЛЕТ 4 Операции над множествами.

1) Объединение С=А В С = {x | x ϵ A OR x ϵ B}

2) Пересечение С=А В

С = {x | x ϵ A AND x ϵ B}

3)Разность С = А \ В

C = {x | x ϵ A AND x B}

4) Симметрическая разность С= А В

C = {x | (x ϵ А AND x B) OR (x ϵ B AND x A)}

5)Дополнение С = Ᾱ Ᾱ = U \ A.

БИЛЕТ 5 Диаграммы Венна.

Диаграммы Венна – геометрические представления множеств. Построение диаграмм заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его – кругов или других замкнутых фигур, представляющих множества.

Точки внутри фигур обозначают элементы множества.

БИЛЕТ 6 Булеан

Множество всех подмножеств множества А называется булеаном и обзначается 2А. 2А={Х|Х с А}

Теорема. Для конечного множества А |2A|= 2|A|. Доказательство.

Индукция по А. Если |A|=0, то А = Ø и 2ᴓ=Ø => |2ᴓ|=|{ᴓ}=1=20=2|ᴓ|.

Индукционный переход: Пусть V A |A|<k => |2A|=2|A|.

Рассмотрим А={a1,a2,…,ak}, |A|=k. Положим: А1={Х с 2А | ak ϵ X} и А2={Х с 2А | ak ϵ X}

БИЛЕТ 7 Свойства операций над множествами

1)Коммутативность

2)Ассоциативность

3)Дистрибутивность

4)A Ᾱ = U

5)A Ᾱ = Ø

6)Законы нуля и единицы

A Ø = A A U = U A Ø = Ø A U = A

7)Законы Де-Моргана

БИЛЕТ 8

Пусть M1 и M2 – два множества. Прямым (декартовым) произведением двух множеств (M1 и M2 ) называется множество всех упорядоченных пар, в котором первый элемент каждой пары принадлежит M1, а второй принадлежит M2 :

M1 х M2 ={(a,b) | a ϵ M1,b ϵ M2}.

БИЛЕТ 9

Между элементами множеств могут устанавливаться различные взаимосвязи, обычно называемые

отношениями.

Имеем А1, А2,…,Аn. Рассматриваем их декартовое произведение А1 х А2 х … х Аn.

А = {(a1, …,an) : a1 A1, …, an An}. n-местные отношения – есть R с A1x A2 x … x An. Пример трехместных отношений: (a,b,c),c=a+b

Выражаем через бинарные отношения (декомпозицией): A1 x A2 x …x An = (A1 x … x An-1) x An.

БИЛЕТ 10 Бинарные отношения. Основные определения.

Бинарным, или двухместным, отношением R называется подмножество упорядоченных пар (а,b)€R прямого произведения M1 х M2 , т. е. R с M1 х M2 . Говорят, что отношение R задано на M1 х M2 . Часто все элементы принадлежат одному множеству M , т. е. R с M х M , или R с M2 . Так, на множестве студентов группы могут быть заданы такие бинарные отношения, как «жить в одной комнате общежития», «быть моложе», «быть земляком» и т. д. Тогда говорят, что отношение R задано на множестве M . Наравне с обозначением (а,b) ϵ R, R c M2 в литературе используется обозначение аRb, R c M2 .

В общем случае могут рассматриваться n -местные отношения, например отношения между тройками элементов (тернарные) и т. д.

Пример. Равенство x2 + y2 = z2 задает тернарное отношение на множестве целых чисел. Отношение является множеством, включающим все тройки чисел (x, y, z), удовлетворяющие данному равенству. Пусть R c A х B определено в соответствии с рис., из которого следует, что в отношении R задействованы не все, а лишь некоторые

элементы исходных множеств A и B .

Тогда подмножество D(R) ={a | (a,b) ϵ R} называется областью определения отношения R, а подмножество Q(R) ={b | (a,b) ϵ R} – областью значений этого отношения.

БИЛЕТ 11 Способы задания бинарны отношений

Отношения, определенные на конечных множествах, могут задаваться:

1. Списком (перечислением) пар, для которых это отношение выполняется. Например, R ={(a,b), (a,c), (b,d)}.

2. Матрицей – бинарному отношению R c M1 x M2 , где M1 ={a1 ,a2 ,...,an }, M2 ={b1,b2,...,bm },

соответствует матрица размера n х , в которой элемент cij , стоящий на пересечении –й строки и j-го столбца, равен 1, если между аi и bj имеет место отношение R , или 0,если нет:

cij=

3. Направленным графом, т. е. структурой, состоящей из вершин и дуг (направленных ребер). Элементы множеств отображаются в виде вершин графа, а отношения – в виде дуг, соединяющих эти вершины. Два первых способа одинаково применимы как для отношений, заданных на разных множествах, так и для отношений на одном множестве. Третий способ больше подходит для отношений на одном множестве, т. к. позволяет получить более компактный граф.

Пример. Пусть M ={1,2,3,4, ,6}. Задать в явном виде (списком), описанием характеристических свойств, матрицей и графом отношение R с M2 , если R означает – «быть строго меньше».

1.С использованием распознающей процедуры можно записать R={(a,b)|a,b ϵ M, a <b}.

2.Списком R ={(1,2),(1,3),(1,4),(1, ),(1,6).(2,3),...}.

3.Матрица данного отношения имет вид

R 1 2 3 4 5 6 1 0 1 1 1 1 1 2 0 0 1 1 1 1 3 0 0 0 1 1 1 4 0 0 0 0 1 1 5 0 0 0 0 0 1 6 0 0 0 0 0 0

Граф имеет вид

БИЛЕТ 12

Свойства бинарных отношений

Пусть R – отношение на множестве M , R с M2 , т. е. множество отражается само в себя. Для отношений этого типа могут быть определены следующие свойства:

1.R – рефлексивно, если имеет место aRa для любого a ϵ M . Например, отношение R={(a,b)/a≤b}рефлексивно.

2.R – антирефлексивно, если ни для какого a ϵ M не выполняется aRa. Например, отношение «быть сыном».

3.R – симметрично, если aRb влечет bRa. Например, отношение «жить в одном городе» симметрично.

4.R – антисимметрично, если aRb и bRa влекут a = b, т. е. ни для каких различающихся элементов a и b (a≠b) не выполняется одновременно aRb и bRa. Например, отношение «быть начальником» антисимметрично.

5.R – транзитивно, если aRb и bRc влекут aRc. Например, отношение «быть моложе» транзитивно. Для отношений, заданных на прямом произведении различных множеств, т. е. при R

с M1*M2 , свойства рефлексивности, симметричности и транзитивности не определяются. Пример. Каковы свойства отношения «Быть не больше» (R1 ={(a,b) / a≤b}), заданного на множестве натуральных чисел N?

Рефлексивно, т. к. a ≤ a для всех a ϵ N . Антисимметрично, поскольку если a≤b и b≤a, то a=b. Транзитивно, т. к. если a≤b и b≤c, то a≤c.

Пример. Пусть A ={±, ,х,*} и пусть R с A х A определено в виде R={(±,±),(±, ), (±,*),

( ,±), (*,±),(*,*),(х,*),(х,х)}. Каковы свойства отношения? R не является рефлексивным, т. к. ϵ A, но ( , ) R.

R не является симметричным, поскольку (х,*) ϵ R , но (*,х) R.

R не является антисимметричным, поскольку ( , ±) ϵ R и(±, ) ϵ R, но ±≠ . R не является транзитивным, т. к. ( ,±) ϵ R и (±,*) ϵ R, но( ,*) R.

БИЛЕТ 13 Разбиения и отношения эквивалентности.

Отношением эквивалентности (или просто эквивалентностью) называют бинарное отношение на множестве, если оно рефлексивно, симметрично, транзитивно. Например, отношение «жить в одном городе» на множестве людей – эквивалентность.

Отношение эквивалентности имеет важную особенность: эквивалентность R разбивает множество M , на котором оно задано, на непересекающиеся подмножества так, что элементы одного и того же подмножества находятся в отношении R , а между элементами разных подмножеств оно отсутствует. В этом случае говорят, что отношение R задает разбиение на множестве R , или систему классов эквивалентности по отношению R . Мощность этой системы называется

индексом разбиения.

БИЛЕТ 14 Оношения порядка.

Оношение порядка – антисимметричное тразитивное отношение.

Отношением нестрогого порядка (или нестрогим порядком) называют бинарное отношение на множестве, если оно рефлексивно, антисимметрично, транзитивно, и отношением строгого порядка (строгим порядком), – если оно антирефлексивно, антисимметрично, транзитивно. Оба эти отношения называются отношениями порядка.

Например, отношение «быть не старше» на множестве людей, «быть не больше» на множестве натуральных чисел – нестрогий порядок. Отношения «быть моложе», «быть прямым потомком» на множестве людей – строгий порядок.

Элементы a,b сравнимы по отношению порядка R на M , если выполняется aRb или bRa . Множество M , на котором задано отношение порядка R , может быть:

·полностью упорядоченным множеством, если любые два элемента этого множества сравнимы по отношению порядка R;

·частично упорядоченным множеством, если сравнимы лишь некоторые элементы этого множества.

БИЛЕТ 15 Комбинаторные конфигурации. Выборки.

Рассматриваем конфигурации на языке отображения.

Для формулировки и решения комбинаторных задач используют различные модели комбинаторных конфигураций. Примерами комбинаторных конфигураций являются: Размещением из n элементов по k называется упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n-элементного множества.

Выборка объема r из элементов – набор элементов ai1, ai2, … air из множества U={a1,a2,…,an}. Типы выборок: все элементы разны; допускаются одинаковые.

Выборки бывают упорядоченные и неупорядоченные. Упорядоченные выборки называются размещениями, неупорядоченные – сочетаниями. Неупорядоченная – выборка, порядок следования элементов в которой не существенен. Упорядоченная – выборка, порядок следования элементов в которой задан, и и две выборки с разным порядком следования элементов считаются различными.

БИЛЕТ 16 Основные правила комбинаторики.

Основными правилами комбинаторики являются правило суммы и правило произведения. Правило суммы (∑). Если объект А может быть выбран М способами, а объект В другими N способами, то выбор «либо А, либо В» может быть выполнен M+N способами.

х ϵ А и х ϵ В. Сколько вариантов для выбора элементов х? число=|A|+|B|.

БИЛЕТ 19 Булевы функции. Способы задания булевы функций.

Логические, переключательные. Джорж Буль (ввел понятие в 1864г).

B={0,1}.

0 – ложь (false), 1 – истина (true).

f(x1,…,xn) – функции алгебры логики, если аргументы функции и сама функция принимает значение из В.

Способы задания булевых функций.

1)Табличный

Лексографический порядок: меньше -> больше.

2)Векторный способ.

Zf(x1,x2,x3) = (f(0,0,…,0),f(0,0,…,1),…,f(1,1,…,1))

3)Задание областью истинности. Задаем множество:

Nf={(α1,α2,…,αn) : (α1,α2,…,αn)=1}

Пример. Nf={(011),(101),(110),(111)} или Nf={3,5,6,7}

4)Формулы.

5)И другие.

БИЛЕТ 20

Количество булевы функций от n переменны . Фиктивные и существенные переменные.

Обозначения: P2 – множество всех булевых функций; P2n – множество булевых функций от переменных x1,x2,…,xn.

P2(n)=2N= ]

растет очень быстро:

P2(1)=4

P2(2)=16

P2(3)=256

Фиктивные и существенные переменные.

Опр. Если задана булева функция f=f(x1,…,xn), то xi , 1≤i≤n, называют фиктивной, если f(x1,…,xi-

1,0,xi+1,…, xn)≡ f(x1,…,xi-1,1,xi+1,…, xn).

Если функция не является фиктивной, ее называют существенной. xi – существенная, если существует (α1,…,αn) :

f(α1,…,αi-1,0,αi+1,…,αn) ≠ f(α1,…,αi-1,1,αi+1,…,αn).

Пример. f(x,y) = cosx+sin2y+cos2y g(x)=cosx+1. Одно и тоже.

Булевы функции рассматриваем с точностью до фиктивных переменных.

Опр. f=g, если функцию g можно получить из функции f добавлением или изъятием фиктивных переменных.

БИЛЕТ 21 Элементарные булевы функции.

g1(0)=0 g1(1)=0 g3(x)=x

g4-инверсия, отрицание.

f1 – конъюнкция, логическое умножение, “И” f2 – дизъюнкция, логическое сложение, “ИЛИ”

f3 – сложение по модулю 2, исключение или, «либо-либо». f4 - импликация

f5 - эквивалентность

f6 – штрих Шеффера, «функция не “И”» f7 – стрелка Вебба, «не “ИЛИ”».

БИЛЕТ 22 Булевы формулы. Представление булевы функций формулами. Эквивалентность формул.

*учебник*

{

Формулы, содержащие только операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания называются булевыми.

Следующие две теоремы, приведенные без доказательств, устанавливают правила перехода от одного базиса к другому.

Теорема 1 Всякая логическая формула может быть представлена булевой формулой.

Теорема 2 Если все функции функционально полной системы ∑* представимы формулами над ∑ , то ∑ также функционально полна. Таким образом, чтобы перейти в записи логической формулы от одного базиса к другому, нужно просто заменить все операции первого базиса через операции второго базиса.

}

*лекции*

Опр. Пусть задано множество А булевых функций A={f1,f2,…}. Введем понятие булевых формул на базисе А.

Определение индуктивности.

1)Функция fi ϵ A является формулой в базисе А.

2)fi(х1,..,хn) ϵ A.

Выражения: F1, F2, …, Fn.

Fj-любой символ переменной, либо формула в базисе А. Тогда выражение fi(F1, …, Fn) – формула в базисе А.

Каждой формуле соответствует булева функция, которая вычисляется по формуле, по обычным правилам суперпозиции.

Базис Буля.

A0={x&y, x˅y, x}

Базис Жегалкина.

А1={x*y,x y, 0, 1}

Опр. Две формулы F и G называются эквивалентными, если им соответствует одна и та же булева функция: F=G.

БИЛЕТ 23.

Основные эквивалентности в алгебре-логики.

1. Ассоциативность:

x * (y * z ) = (x * y) * z x ˅ (y ˅ z) = (x ˅ y) ˅ z

2. Коммутативность:

х1 * х2 = х2 * х1 х1 ˅ х2 = х2 ˅ х1

3. Дистрибутивность:

x * (y ˅ z) = x * y ˅ x * z .

x ˅ (y * z) = (x ˅ y) * (x ˅ z)

(x y) * z = (x*z) (y*z)

4. Идемпотентность: x * x = x

x ˅ x = x.

5. Закон двойного отрицания:

= x .

6. Законы нуля и единицы:

х* 1 = х

х* 0 = 0

х˅ 1 = 1

х˅ 0 = х

7. Законы де Моргана:

=&

=˅

8. Закон противоречия:

А * Ᾱ = 0 .

9. Закон всеобщности:

А ˅ Ᾱ =1.

10. Законы связанные со сложением по модулю 2.

хх = 0

х1=

11.Законы позволяющие представить элементарные функции в классическом базисе. x y = (x * ) ˄ ( * y)

x y = (x ˅ y) * ( ˅ y)