Примеры решения задач по динамике

Интегрируя уравнение (2.9) при заданных начальных условиях, получаем

Найдем из последнего уравнения (2.10) коэффициент γ и, подставляя это выражение в уравнение (2.8), получим окончательный ответ

Замечание. Полезно проанализировать решение (2.11) при θ → 1, 2. Рекомендуется также нарисовать примерный график функции t(v/v0) при различных значениях параметра θ.

Задача 2. Найти закон движения для трехмерного гармонического осциллятора, если помимо упругой силы на осциллятор действует постоянная сила и сила трения, пропорциональная скорости. Предполагается, что в начальный момент времени осциллятор находился в точке равновесия r = 0 и имел начальную скорость v0.

Решение. Уравнение движения для этого случая записывается в виде

Здесь v = dr/dt, Fтр = –γv − сила трения, F0 – постоянная сила, Fупр = −κr − сила упругости, γ и κ − соответствующие размерные коэффициенты.

Обычно анализируются случаи, когда F0 = 0. Мы рассмотрим решение уравнения (2.12) для случая F0 ≠ 0. В уравнении (2.12) разделим все члены уравнения на массу m частицы. Тогда уравнение для выделенной координаты, например, x (для других координат y, z уравнения выглядят аналогично) можно записать в виде:

где β = γ/2m, а ω02 = κ/ m – собственная частота колебаний.

Вначале выясним, к чему приводит действие постоянной силы. Будем искать решение в виде: x = u + xe. Здесь первый член u – решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (2.13) с равной нулю правой частью; xe – частное решение уравнения (2.13) в виде постоянной, физически соответствующее сдвигу исходного положения равновесия затухающего осциллятора. Подстановка x = u + xe приводит к уравнению

Получилось линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами относительно новой переменной u. Его решение имеет вид

где λ1,2 = −β ± i(ω02 −β2 )1/ 2 . При ω02 >β2 возникают затухающие колебания с частотой ω = (ω02 −β2 )1/ 2 , а решение u(t) (2.15) можно также записать в виде x(t) = aexp(−βt)cos(ωt +φ0 ) + xe . Необходимо также выразить константы С1 и С2 (или a и φ0) через начальные условия x0 и v0x.

Задача 3. Определить траекторию заряженной частицы массой m, и зарядом e, двигающуюся в нестационарном электрическом и магнитном поле. Известно, что в начальный момент времени частица находилась в начале координат, имея нулевую скорость.

Решение. Реализуем пункты, обозначенные выше.

1. Частица взаимодействует с нестационарным полем посредством си-

где e – заряд частицы, c – скорость света.

2. Не нарушая общности задачи, мы можем выбрать декартовую СК, направить вектор магнитного поля H(t) по оси Oz, а компоненты вектора электрического поля E(t) разложить на продольную и поперечную состав-

ляющие по отношению к вектору H(t).

3.В "формульном" виде начальные условия записываются так: при t = 0 r = 0, v = 0.

4.Уравнения Ньютона для данной задачи имеют вид:

Выбор этой задачи обусловлен следующими причинами:

а) Эта проблема включает в себя стандартную задачу о движении заряженной частицы в стационарных электрическом и магнитном полях (векторы E и H не меняются со временем).

б) На примере решения этой задачи можно показать в каких случаях системы уравнений второго порядка могут быть решены переходом к комплексной переменной.

в) Можно заметить, что магнитная часть силы Лоренца при соответствующем переобозначении переменных совпадает с силой инерции Кориолиса: FK = 2m[v ω(t)]. Следовательно, по аналогии с движением частицы в переменном электромагнитном поле может быть решена задача о движении материальной точки при действии силы

Последнее уравнение системы (2.20в) интегрируется независимо от первых

двух уравнений. Первые два уравнения (2.20а) и (2.20б) могут быть проин-

первым, получим дифференциальное уравнение первого порядка относительно комплексной переменной u(t) вида

где e(t) = ex(t) + iey(t). Уравнение относится к стандартному линейному дифференциальному уравнению первого порядка с переменными коэффициентами и может быть проинтегрировано. С учетом начальных условий его решение в квадратурах записывается в виде

Переходя к исходным переменным, получим решения для компонент скорости

&

0

t

Здесь Φ(t,t') = ∫h(τ)dτ.

t '

Чтобы получить зависимость r(t) достаточно проинтегрировать систему (2.23) еще раз с учетом начальных условий. Мы не будем приводить окончательное решение ввиду его громоздкости. Уместно подчеркнуть еще раз, что интегралы, взятые от решений системы (2.23), полностью решают задачу о движении заряженной частицы в произвольном нестационарном электромагнитном поле.

Замечание. Полезно воспроизвести решение (2.23) также для случая, когда v0 ≠ 0. Рекомендуется также провести до конца все необходимые математические выкладки для частной функции магнитного поля H(t) = H0cos Ωt. Вновь действуя по принципу: "понять − означает обобщить", полезно написать уравнения движения для материальной точки, двигающейся в плоскости xOy неинерциальной системы координат, если на нее действует полная сила инерции, обусловленная вращением

Предполагается, что нестационарный вектор угловой скорости ω(t) перпендикулярен плоскости движения.

минимум потенциала). Считать, что в начальный момент времени материальная точка начинает свое движение из точки остановки.

Решение: Для решения этой задачи воспользуемся формулой (2.7)

Здесь y1 = x1/a − безразмерная точка остановки, определяемая уравнением y1p = (E /U0 ) . С помощью замены z = (x / y1) p последний интеграл в выражении (2.25) можно свести к бета-функции и представить окончательный результат в виде

где для представления параметра C(p) через гамма-функции Γ(x) необходимо воспользоваться соотношением, определяющим бета-функцию B(x,y),

∞

В выражениях (2.26)–(2.27) Γ(x) – гамма-функция Эйлера Γ(x) = ∫t x−1e−t dt .

0

Частота колебания и ее зависимость от начальной амплитуды находится из

(2.26) по формуле ω = 2π/T .

Анализ полученного решения. Из формулы (2.26) следует, что период коле-

баний в потенциальной яме вида U =U0 x / a p не зависит от начальной амплитуды колебания (начальной энергии E) только для линейных гармонических колебаний с p =2.

Задача 5. Найти закон движения для одномерного гармонического осциллятора, если помимо упругой силы на осциллятор действует сила трения пропорциональная квадрату скорости. В начальный момент времени осциллятор находился в точке равновесия x = 0 и имел начальную скорость v0.

Решение. Уравнение движения для этого случая записывается в виде

Здесь v = dx/dt, Fтр = −γv2 − сила трения; Fупр = −κx − сила упругости; γ и κ − соответствующие размерные коэффициенты.

Обычно анализируется случай, когда Fтр = −γv. Для сравнения с линейным случаем мы намеренно рассмотрим решение уравнения (2.28), которое сведем к квадратурам и рассмотрим некоторые обобщения задачи об одномерном движении в поле потенциальных сил.

Перейдем в уравнении (2.28) к новым переменным x и Т = mv2/2. Тогда получим следующее уравнение

Получилось линейное дифференциальное уравнение относительно новой переменной T(x), решение которого имеет вид

Здесь λ = 2γ/m, T0 = mv02 / 2 . Из дифференциального уравнения (2.30) с раз-

деляющимися переменными можно найти решение в квадратурах в виде обратной зависимости t(x). Это решение имеет вид

Дальнейшее исследование квадратурного решения (2.31) возможно только численными методами, так как интеграл в последней формуле не выражается в элементарных функциях. Ввиду отсутствия привычного аналитического решения вида x(t), эта модель не получила такого широкого распространения как линейная модель.

Анализ полученного решения. Если теперь вернуться к исходному уравнению (2.28), то можно заметить, что подобным методом может быть решено уравнение вида

Это уравнение описывает движение материальной точки в поле потенциальной силы F(x) и, действующей на нее неоднородной силы трения Fтр = −γ(x)v2. Чтобы получить его решение, вновь переходим к переменной x и кинетической энергии Т = mv2/2

Решение неоднородного линейного дифференциального уравнения вида (2.33) может быть записано следующим образом

а x0 = x(t=0). Последнее выражение (2.34), в свою очередь, представляет собой дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, решение которого имеет вид

Последнее равенство при γ(x) = 0 переходит в известное решение (2.6)

x

где U(x)= − ∫F(x')dx' – потенциальная энергия.

x0

Мы намеренно привели решение последней задачи как задачи повышенной трудности, чтобы на ее примере можно было получить представление о методах решения некоторых нетривиальных дифференциальных уравнений, порожденных "физикой" задачи. Как следует из этого примера, закон "сохранения" механической энергии можно получить также и для определенного класса диссипативных сил.

Чтобы показать более широкую применимость уравнения (2.33), рассмотрим следующую задачу. Как известно, уравнение вида

описывает модель гармонического осциллятора. Пусть y(x) – некая заданная нелинейная связь между исходным смещением x и "новым" смещением y, которое удовлетворяет уравнению (2.36) с известным решением. Какому уравнению должна удовлетворять функция y(x), чтобы его можно было свести к уравнению (2.36) для гармонического осциллятора?

Решим эту задачу. Замечая, что

и переходя к новой переменной x, относительно функции vx получим уравнение

которое представляет собой частный случай уравнения (2.33). Следовательно, в этом частном случае решение получается просто обращением решения уравнения y(x) = acos(ω0t + ϕ0) относительно исходной переменной x.