нитного движения, и любое колебательное движение имеет периодический характер. Важными характеристиками такого движения являются собственные частоты ωα, число которых для невырожденного случая совпадает с числом степеней свободы механической системы (α = 1,2,…,n). Вторым набором характерных величин являются нормальные координаты θα ~ cos(ωαt + φ0α) – линейные комбинации исходных смещений xj, участвующие в колебании только с одной частотой ωα.

Сначала рассмотрим более простой вариант движения системы с одной степенью свободы n = 1. В этом случае колебательное движение описывается только одной собственной частотой ω.

Линейные колебания в отсутствии диссипативных и вынуждающих сил

Алгоритм решения задач при n = 1

1. Составление исходной функции Лагранжа механической системы:

L(q,q• ) = T(q,q• ) − U(q) = T (2)(q,q• ) + T (1)(q,q• ) + T (0)(q) − U(q),

где верхний индекс d у слагаемых кинетической энергии показывает степень обобщенной скорости q• , входящей в T (d)(q,q• ) (см. (5.19)–(5.21)):

T (2)(q,q• ) = a(q)q• 2/2, T (1)(q,q• ) =b(q)q• , T (0)(q)=T (0)(q).

2.Нахождение точек равновесия. Для инерциальной системы координат мы должны найти точки минимума потенциальной энергии U(q). Часто требуется провести решение в неинерциальной системе координат (например, вращающейся), в которой точки равновесия определятся минимумом эффективной потенциальной энергии Ueff(q) = U(q) − T (0)(q) (см.

также (7.9)). В общем случае точки равновесия q(0) являются решениями следующего алгебраического уравнения1

Таких точек равновесия может быть несколько: q(01), q(02), …. Конечно, если T(0)(q) ≡ 0, то вычисления проводятся в исходной инерциальной системе координат. Тогда здесь и ниже нужно положить Ueff(q) = U(q).

1Для функции одной переменной (n = 1) частная производная совпадает с обычной производной.

3.Определение точек устойчивого равновесия в неинерциальной сис-

теме координат. Вторая производная от Ueff(q) должна быть положительна, т.е.

Колебания возможны только вблизи точек устойчивого равновесия, поэтому дальнейшее решение проводится по отдельности для каждой из них q(0m). Для простоты индекс точки равновесия m ниже мы опускаем:

q(0m) → q0, а c(0m) → c0.

4.Линеаризация функции Лагранжа. Исходную функцию Лагранжа

L(q,q• ) необходимо разложить в ряд Тейлора по малым скоростям x• = q• и смещениям от точки устойчивого равновесия x = q − q0. При этом огра-

ничиваются квадратичными слагаемыми по этим величинам. Кинетиче-

~

гдеa0 ≈a(q0) – константа. ПотенциальнаяэнергияUeff(q) превращаетсявUeff

~

Таким образом, приближенная функция Лагранжа L является функцией Лагранжа линейного гармонического осциллятора.

5. Решение получающегося линейного дифференциального уравнения

ищем в стандартном виде2

1Легко убедиться, что линейные по обобщенной скорости члены разложения T (1) вклада в линеаризованное уравнение Лагранжа с указанной точностью не дадут.

2Взята реальная часть стандартной подстановки x = Aeiωt, где комплексная амплитуда A = Aeiφ.

Константы интегрирования: амплитуда колебаний A и начальный сдвиг фазы φ, могут быть найдены из известных начальных условий.

6.Проверка и анализ решения. Рассматривается физический смысл полученного решения, проверяются самые простые предельные случаи.

Алгоритм решения задач при n ≥ 2

Обобщим приведенный выше алгоритм (n = 1) на многомерный случай, когда число степеней свободы механической системы n ≥ 2.

1.Составление исходной функции Лагранжа механической системы (см.

также (5.20) и (5.21))

L(q,q• ) = T(q,q• ) − U(q) = T (2)(q,q• ) + T (0)(q) − U(q) =

Для простоты здесь положили T (1)(q,q• ) = 0. Ueff(q) = U(q) − T (0)(q) – потенциальная энергия механической системы для неинерциальной системы координат. Для инерциальной системы координат Ueff(q) ≡ U(q).

2.Нахождение положения равновесия в неинерциальной системе коор-

динат. Точки равновесия q(0)(q(0)1,q(0)2,…,q(0)n) являются решениями следующей системы алгебраических уравнений

В общем случае положений равновесия (q(01), q(02), …) может быть несколько. Дальнейшее решение проводится по отдельности для каждого из найденных положений равновесия q(0m). Для простоты индекс m ниже опускаем.

3.Определение положения устойчивого равновесия. Матрица вторых производных U′eff′ (7.7), вычисленных в точке равновесия,

должна обладать определенными свойствами. Положение равновесия является устойчивым, если любой минор в (8.5) положителен. Достаточно проверить n таких определителей, например,

4.Линеаризация функции Лагранжа. Исходную функцию Лагранжа

L(q,q• ) разлагаем в ряд Тейлора по малым скоростям x• j = q• j и смещениям от положения устойчивого равновесия xj = qj − q(0)j с точностью до квадратичных слагаемых. Пренебрегая константой Ueff(q(0)), имеем

5.Решение получающейся системы линейных дифференциальных уравнений

где Aj = Ajeiφj – комплексная амплитуда. Напомним, что физический смысл имеет реальная часть (8.9а), т.е.

где φj – сдвиг фазы. Мы будем искать n вещественных амплитуд Aj.

6. Собственные частоты. Подставим (8.9) в (8.8). Решение получающейся системы n однородных линейных алгебраических уравнений

k=1

ищется из условия нетривиальности (хотя бы две амплитуды Ak отличны от нуля), т.е. обращения в нуль определителя системы (8.10)

Из (8.11) получим уравнение порядка n на ω2, имеющее n корней – квадратов собственных частот рассматриваемой механической системы. Дальнейшее рассмотрение задачи зависит от степени вырождения каждого из корней.

7. Нормальные координаты.

7а. Невырожденный случай: все n полученных решений уравнения (8.11) ω2α – различные (α = 1,2, …,n). Каждый найденный корень ωα2 необхо-

димо подставить в систему (8.10)

k=1

Используя любые (n − 1) уравнений (8.12) и еще одно условие нормировки колебаний (после чего матрица A становится унитарной):

пренебрегая несущественными фазами, можно найти все значения вещественных амплитуд колебаний Αj(α) , относящиеся к данной частоте ωα с

точностью "до числа"1. Перебрав все значения α (и ωα!), найдем ортогональную матрицу амплитуд A = {Αj(α) } (нижний индекс – номер строки,

1Если отказаться от необязательного условия (8.13), то значения амплитуд находятся с точностью до произвольной константы.

верхний – номер столбца). Учитывая (8.9), запишем полное решение для смещения xj

α=1

Здесь cα и φα – произвольные константы, которые можно определить из начальных условий. Смысл записи (8.14) можно выразить так: каждая обобщенная координата xj участвует одновременно в колебаниях с различными частотами ωα, или, вообще говоря, во всех модах колебаний.

Возникает вопрос: нельзя ли найти такую линейную комбинацию исходных смещений xj, которая участвовала бы в колебании только с одной частотой ωα?

Для нахождения таких комбинаций (или нормальных координат θα) обратим соотношение (8.14). Введем нормальные координаты

Здесь учтено, что для ортогональной матрицы обратная матрица совпадает с транспонированной или A−1 = Aт. Нормальную координату θα можно записать и в матричной форме

j=1

Таким образом, матрица амплитуд, найденная с помощью (8.12)–(8.13), полностью определяет нормальные координаты.

7б. Случай вырождения: среди n полученных решений уравнения (8.11) есть r совпадающих ω2α1 = ω2α2 =…= ω2αr . Такие частоты ωαm называют-

ся вырожденными, а число r называется кратностью вырождения.

Для таких частот описанная выше процедура нахождения нормальных частот не может быть проведена однозначно. Возникает проблема выбора решений. Это связано с тем, что при подстановке частот в систе-