УДК 531(07) ББК 22.21

Т 11

Печатается по решению Редакционно-издательского совета

физического факультета

Леушин А.М., Нигматуллин Р.Р., Прошин Ю.Н. Теоретическая механика (практический курс). Задачник для физиков. Учебное пособие для студентов, магистрантов, аспирантов физического факультета, Казань, «Мастер Лайн», 2003.-236 с.

ISBN5-93139-156-8

В пособии предлагаются для решения задачи по всем разделам читаемого на физическом факультете университета курса теоретической механики. Общее количество задач около 600. Для удобства использования пособия в каждом его разделе приводятся основные теоретические положения и формулы, а в конце добавлено приложение, содержащее минимум сведений по математике, необходимых для решения задач по теоретической механике. В каждом разделе даны подробные решения нескольких типичных задач, а сами задачи расположены в порядке их усложнения: сначала представлены легкие задачи, затем − задачи средней трудности и далее приводятся задачи повышенной трудности.

Пособие предназначено для студентов, магистрантов, аспирантов физического факультета.

Редактор:

Леушин А.М., доцент кафедры теоретической физики КГУ.

Рецензент:

Юльметьев Р. М., профессор, зав. каф. теоретической физики Казанского государственного педагогического университета.

УДК 531(07) ББК 22.21

ISBN5-93139-156-8

Предисловие к первому изданию

Среди дисциплин, изучаемых в университете в курсе теоретической физики, классическая механика занимает одно из ведущих мест, поскольку основные ее положения необходимы для дальнейшего усвоения других дисциплин теоретической физики. Именно в классической механике студенты получают возможность, не выходя за пределы классической физики, знакомиться со многими понятиями и математическими методами и приемами, которые в дальнейшем используются при изучении электродинамики, термодинамики и статистической физики и квантовой механики.

Для успешного усвоения теоретической механики, кроме изучения теории, необходимы навыки решения практических задач. Практика преподавания показывает, что курс классической механики является одним из самых сложных, и что способы решения задач студентами усваиваются значительно труднее, чем теория предмета. Эти трудности состоят в неумении облекать конкретные физические задачи в абстрактную математическую форму, в отсутствии навыков использования законов изменения и сохранения физических величин и в неспособности интегрировать получающиеся системы дифференциальных уравнений движения.

К сожалению, делу не способствует наличие значительного числа задачников с большим количеством задач, а также существование руководств, в которых вместе с приведенными задачами подробно разбираются и их решения. При индивидуальной работе с использованием задачников первого типа студента подавляет число задач: все их не перерешать, а какие достаточно решить, чтобы освоить курс, самостоятельно выбрать сложно. При использовании же задачников второго типа студент, не обладающий достаточной волей и самолюбием, наверняка не устоит перед соблазном посмотреть приведенное решение и не будет пытаться решить задачу сам.

Для того чтобы избавить студентов от этих дополнительных проблем, в 1988 году было издано пособие [1], в котором был собран минимум задач, решение которых, по нашему мнению, способствовало бы усвоению

изучаемого теоретического материала. Решения задач отсутствовали, и только некоторые из задач были снабжены ответами. Пособие оказалось достаточно удобным как для использования на семинарских занятиях, так и при самостоятельной работе, и продолжает использоваться преподавателями и студентами до сих пор. Однако, в процессе эксплуатации в нем, помимо некоторых неточностей и опечаток, обнаружились два недостатка. Во-первых, в некоторых разделах оказалось недостаточное число разных по уровню и по способам решения задач. Их явно не хватало для полноценного приобретения практического навыка, поэтому для решения в аудитории приходилось привлекать дополнительные задачи, не говоря уж о возможности варьирования курса и самостоятельном изучении. Во-вторых, при работе с пособием испытывалась потребность иметь в нем основные положения и формулы, необходимые для решения задач. При подготовке предлагаемого пособия мы постарались учесть это и избавить новое издание от указанных недостатков. Необходимость в издании такого пособия назрела уже давно, поскольку какие-либо новые задачники и пособия по решению задач по теоретической механике практически не издавались уже много лет (даже при выходе подобной книги ее современный тираж не способен удовлетворить потребность иметь такой задачник на столе у каждого студента), задачники прошлых лет не переиздаются и, мало помалу, становятся библиографическими редкостями, недоступными большинству студентов.

Пособие состоит из 10 разделов. Структура предыдущего пособия [1] в нем в основном сохранена, в него также вошли большинство задач предыдущего пособия с исправлением ошибок и опечаток, но общее количество задач значительно увеличено: с 222 до 587. Новые задачи большей частью взяты из книг [2-18], приведенных в Библиографии в конце пособия, есть и оригинальные задачи. Значительно расширены разделы по динамике материальной точки, по проблеме двух тел и теории рассеяния частиц, по уравнениям Лагранжа, по теории твердого тела, по условиям равновесия систем, по малым колебаниям механических систем, по уравнениям Гамильтона, по каноническим преобразованиям. В отличие от предыдущего пособия, мы ликвидировали в нем раздел "Общие законы системы матери-

альных точек". Часть задач этого раздела, решаемых с использованием законов сохранения, мы переместили в раздел 3, объединив их с задачами о движении частицы в центральном поле. Другая часть задач, в которых речь идет о нахождении центра масс системы, объединена в разделе 6 с задачами о движении твердого тела. Из раздела, посвященного уравнениям Лагранжа, исключены все задачи по расчету электрических цепей, поскольку при решении таких задач лагранжев формализм не получил широкого распространения. Кроме того, учитывая опыт многолетнего преподавания, нам показалось удобным в новом пособии добавить приложение, в котором бы содержался минимум сведений по математике, необходимых для решения задач по теоретической механике. В него мы включили сведения о векторах и векторном анализе, о матрицах, о дифференцировании и интегрировании элементарных функций, об основных дифференциальных уравнениях и методах их решений.

Сами разделы сейчас выглядят тоже по-другому. Каждый состоит из пяти подразделов: в первом из них мы приводим минимальные теоретические сведения, необходимые для решения задач данного раздела; во втором подробно показываем решения нескольких (от трех до шести) типичных задач; в следующих трех подразделах приводятся сами предлагаемые для решения задачи, причем сначала мы даем простые задачи, называемые обязательными задачами, решение которых необходимо для базового овладения минимальными навыками и основными приемами решения задач по теоретической механике. Далее следуют задачи средней трудности и в последнем подразделе предлагаются задачи повышенной трудности. Конечно, это деление задач по разной степени трудности несколько условно и носит достаточно субъективный характер. Сразу после формулировки многих задач, особенно обязательных, в квадратных скобках приведены ответы. В пособии имеется большое количество рисунков, которые поясняют постановку задачи, они, как правило, приводятся рядом с текстом конкретной задачи.

В пособии используется стандартные обозначения для векторов, они выделяются жирным шрифтом (например, r, W или Ω). Скалярные величины, как правило, выделены курсивом (например, r, W или s). Полные

производные по времени t часто обозначаются точками над переменной

• • ••

(например, r, x или s).

Мы отдаем себе отчет в том, что и в этом пособии могут остаться незамеченные нами неточности, опечатки или ошибки и будем признательны всем, кто обратит на них наше внимание.

Пособие подготовлено на кафедре теоретической физики Казанского государственного университета. Разделы 1, 2, 3 и математическое приложение написаны проф. Р.Р. Нигматуллиным, разделы 4, 5, 6 и 7 − доц. А.М. Леушиным, разделы 8, 9 и 10 написаны проф. Ю.Н. Прошиным, им же проведена компьютерная верстка всего пособия.

Авторы благодарны за частичную поддержку Civil Research and Development Foundation (CRDF) (проект Basic Research and High Education (BRHE) REC-007) и SNSF (проект 7 IP 62595 в рамках SCOPES).

Предисловие ко второму изданию

Во втором исправленном издании было изменено название пособия, чтобы привести его в соответствие с новым Государственным образовательным стандартом 2000 года, согласно которому в курсе теоретической физики нет раздела "Теоретическая механика". Он разделен на два: "Механика" и "Основы механики сплошных сред". Наше пособие содержит материал только первого раздела "Теоретическая физика. Механика".

Мы признательны сотрудникам кафедры теоретической физики (особенно доценту Ларионову А.Л.) и студентам физического факультета Казанского университета, указавшим на неточности и опечатки, допущенные при подготовке первого издания.

Второе издание выпущено при поддержке профессора Кочелаева Б.И.

и Swiss National Scientific Foundation (SNSF) в рамках соглашения № 7 IP 62595 по программе SCOPES.

А.М. Леушин.

Июль 2003 г.