Теоретическая физика. Механика (практический курс) |
219 |
|
|
x = β2 − (αx/m)(β1 − t) = αxt/m = v0tcosϕ. |
(10.35) |
Из второго уравнения (10.34) находим y |
|
2 |
2 |
|
g2β2 |
− 2gy = g2β2 − 2g2β2t + g2t2, |
|
y = gβ2t − gt2/2 = v0tsinϕ − gt2/2. |
(10.36) |
Естественно, что полученный закон движения совпал со "школьными ответом": равномерное движение по горизонтали со скоростью vx = v0cosϕ и равнозамедленное движение по вертикали с начальной скоростью vy = v0sinϕ и ускорением свободного падения g. Исключив из (10.35), (10.36) время t, можно получить известное выражение для траектории – параболу.
Задачи
Обязательные задачи
10.15.Найти действие одномерного гармонического осциллятора, проходящего через точки х1 = х(t1) и х2 = х(t2).
10.16.Записать уравнение Гамильтона-Якоби для механических систем, описываемых функциями Лагранжа (задачи 9.4а-д). Упростить его, использовать при этом все возможные интегралы движения.
10.17.Записать уравнение Гамильтона-Якоби для систем, описываемых данными функциями Гамильтона (задача 9.5а-ж). Упростить его, использовать при этом все возможные интегралы движения.
10.18.Записать уравнения Гамильтона-Якоби для систем, описываемых в задачах а) 9.9; б) 9.10; в) 9.11; г) 9.12. Упростить их, использовав при этом все возможные интегралы движения.
10.19.Составить уравнение Гамильтона-Якоби для линейного гармонического осциллятора. Найти его полный интеграл и закон движения.
10.20.Найти полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби материальной точки массой m, двигающейся в однородном поле тяжести.
S = −Et + α1x + α2 y − 3m12 g 2m(E − mgz) − α12 − α22 3 2
Канонические преобразования. Уравнение Гамильтона-Якоби |
220 |
|
|
10.21.Составить уравнения Гамильтона-Якоби для механических систем, описанных в задачах:
а) Задача 4, решенная в разделе 5 (Уравнения Лагранжа); б) 5.9;
в) 5.11; г) 5.12; д) 5.14; е) 5.15; ж) 5.16; з) 5.19; и) 5.23.
Упростить их, использовав все возможные интегралы движения.
Задачи средней трудности
10.22.Вычислить действие для частицы с массой m и зарядом е, двигающейся в однородном магнитном поле напряженности Н (ω = eH/mc).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = m |
z2 |
− z1 |
+ ωctg |
ω(t2 |
−t1) (x |
− x )2 |
+ ( y |
|
− y )2 |
|
+ ω(x y |
|
− x y ) |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
−t1 |
2 |
2 |
|
2 |
1 |
|
1 |
|
1 |
2 1 |
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.23.Найти полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби для электрона, двигающегося в постоянном однородном магнитном поле.
S = −Et + α1x + α2 z + ∫ 2mE − α22 |
|
− e |
1 2 |
dy, A = Hyex |
− (α1 |
Hy)2 |
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
10.24.Материальная точка массы m движется в поле центральной силы с потенциалом U(ρ) = −α/ρ, где ρ = (x2 + y2)1/2, α > 0. С использованием уравнения Гамильтона-Якоби найти траекторию движения точки.
10.25.Составить уравнения Гамильтона-Якоби для механических систем,
описанных в задачах: а) 5.25; б) 5.27; в) 5.30; г) 5.33 д) 9.16.
Задачи повышенной трудности
10.26.Какому условию должен удовлетворять потенциал для того, чтобы уравнение Гамильтона-Якоби, описывающее движение частицы с массой m, допускало полное разделение переменных:
а) в декартовых координатах, б) в цилиндрических координатах, в) в сферических координатах.
10.27.Найти (в квадратурах) с помощью уравнения Гамильтона-Якоби за-
кон движения системы, гамильтониан которой H 1 1 .
= p2 + q2
p22 + q22
Теоретическая физика. Механика (практический курс) |
221 |
|
|
|
|
|
q1 |
= α1 sin (2t / α22 +β1 ), |
q2 |
= α2 sin (β2 − 2α12t / α24 ) |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
p2 |
2 4 |
|
p1 |
= α1 cos(2t / α2 +β1 ), |
= α2 cos(β2 − 2α1 t / α2 ) |
|
10.28. Найти (в квадратурах) с помощью уравнения Гамильтона-Якоби за-
кон движения системы с гамильтонианом H = 12 p12 (p22 + q22 )+ q12 .
|
|
q = α |
sin (α |
t +β ), |
q |
|
= α |
|
sin |
|
|
α12 |
|
t + |
|
α12 |
|
sin 2 |
(α |
t +β ) +β |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
3 |
3 |
2 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2α2 |
|
4α2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α12 |
|
|
α12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
= (α |
α |
2 |
)cos(α |
t +β ), |
p |
2 |
= α |
2 |
cos |
t + |
|
sin 2(α |
|
t +β ) |
+β |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2α2 |
|
|
4α2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.29.Написать уравнение Гамильтона-Якоби в параболических координатах и показать, что полное разделение переменных будет иметь
место, если потенциал U = |
a(ξ) + b(η) |
, (a(ξ) и b(η) – произвольные |
ξ + η |
функции указанных переменных). Вычислить действие в этом случае. (Переход к параболическим координатам осуществляется по
формулам z = (ξ − η)/2, ρ = |
ξη, ϕ = ϕ, где 0 < |
ξ,η < ∞). |
|
|
|
|
|
|
mE |
|
β − ma(ξ) |
|
p2 |
1 2 |
|
S = −Et + pϕϕ+ ∫ |
|
+ |
− |
ϕ |
dξ + |
|
|
2 |
2ξ |
|
4ξ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
mE |
|
β − mb(η) |
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
+∫ |
+ |
− |
ϕ |
|
dη, |
где E, pϕ,β − произвольные константы |
2 |
2η |
|
2 |
|
|
|
|
|
4η |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
