Примеры решения задач

Задача 3. Записать уравнение Гамильтона-Якоби для простейших механических систем:

a) свободной частицы; б) гармонического осциллятора; в) частицы в центральном поле.

Решение. Функции Гамильтона этих систем найдены в задаче 1 раздела 9. а) Функция Гамильтона свободной частицы (число степеней свободы n = 3)

Пользуемся консервативностью системы (цикличностью времени t) и переходим к укороченному действию S0

S = S0(x) − Et.

Для S0 получаем упрощенное уравнение

Обобщенные импульсы (в данном случае они совпадают с обычными!)

2. Уравнение Гамильтона-Якоби для полной функции действия S(x,y,t)

3.Упрощение (интегралы движения). Функция Гамильтона не зависит от времени t и от x. Следовательно, сохраняются обобщенная энергия H (свойство а) и импульс px (свойство б). Для их определения воспользуемся начальными условиями (10.25)

Полное действие S(x,y,t) в соответствии со свойствами (10.14) и (10.16) имеет вид

~

4. Решение уравнения Гамильтона-Якоби. Поскольку S функция только одной переменной y, то, заменив частную производную в (10.29) обычной

~

производной dS/dy и разрешив относительно нее уравнение (10.29), имеем dSdy% = 2mE − 2m2 gy − α2x .

Находим решение, в котором опускаем аддитивную константу

Подставляя (10.30) в (10.28), получаем полный интеграл уравнения Га- мильтона-Якоби – функцию, зависящую от 2 координат (x и y), 2 констант (αx и E) и времени t

5.Закон движения – "производная по константе дает константу". Под-

ставляем найденный полный интеграл (10.31) в первые из соотношений (10.23) и получаем

Константы αx = α1 и E = α2 определены выше в (10.26), (10.27). Используем начальные условия для нахождения β1 и β2, для этого подставим в

(10.32) t = t0 = 0 и применим (10.25) – (10.27)

Теперь все константы определены, решаем систему алгебраических уравнений (10.32) относительно неизвестных x и y