Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1298 вузов, 5040 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Казанский федеральный университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
Тер. Мех. (Леушин,Нигматуллин,Прошин).pdf
Скачиваний:
849
Добавлен:
10.02.2015
Размер:
2.45 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

Теоретическая физика. Механика (практический курс)

211

 

 

Уравнение Гамильтона-Якоби

До этого мы имели дело с уравнениями движения в форме систем дифференциальных уравнений с обычными производными по времени от искомых величин. Интегрирование этих уравнений (уравнений Ньютона, уравнений Лагранжа I и II рода, уравнений Гамильтона) вкупе с использованием начальных условий сразу приводило к законам движения механической системы.

Уравнение Гамильтона-Якоби представляет собой одно дифференциальное уравнение в частных производных на производящую функцию S. После решения этого уравнения и нахождения S – полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби, законы движения механической системы qj = qj(t) находятся из решения системы алгебраических уравнений. По физическому смыслу функция S является действием.

Уравнение Гамильтона-Якоби выглядит следующим образом

H (q

,...,q

n

,

∂S

,...,

∂S

,t) +

∂S

= 0,

(10.11)

∂q

∂q

 

∂t

1

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

а его полный интеграл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S = f(q1,…, qn, α1,…, αn, t) + αn+1

(10.12)

зависит от n обобщенных координат, времени и (n + 1) константы. Одна из констант, αn+1, – аддитивна, поэтому несущественна, и можно записать, что

S = f(q1,…, qn, α1,…, αn, t) = S(q1,…, qn, α1,…, αn, t)

(10.13)

Основные свойства уравнения Гамильтона-Якоби

 

(а) Консервативность системы

 

Если гамильтониан не зависит явным образом от

времени, т.е.

H(q1,…,qn, p1,…,pn) = E = const – интеграл движения, тогда полный инте-

грал уравнения Гамильтона-Якоби S записывается как

S = S0(q1,…, qn, α1,…, αn) − Et,

(10.14)

где E – обобщенная энергия системы, S0(q1,…, qn, α1,…, αn) – независящее от времени укороченное действие системы. Заметим, что после этой под-

Канонические преобразования. Уравнение Гамильтона-Якоби

212

 

 

становки одна из констант αj равна E! Упрощенное уравнение на укороченное (сокращенное) действие S0 имеет следующий вид

H (q ,...,q ,

∂S0

,...,

∂S0 ) = E .

(10.15)

1

n

∂q

 

∂q

 

 

 

1

 

n

 

(б) Цикличность координат

Если гамильтониан не зависит явным образом от какой-либо координаты qk, т.е. H(q1,…, qk−1, qk+1,..., qn, p1,…, pn, t), и, следовательно, соответствующий обобщенный импульс pk – интеграл движения, тогда полный интеграл S записывается как

~

(10.16)

S = Sk(q1,…, qk−1, qk+1,..., qn, α1,..., αk−1, αk+1,…,αn, t) + αkqk,

где константа αk имеет смысл сохраняющегося обобщенного импульса pk, сопряженного циклической координате qk. Упрощенное уравнение на со-

~

кращенное действие Sk имеет следующий вид

H (q

,...,q

 

,q

 

...,q

,

∂S%k

,...,

∂S%k

,α

 

,

∂S%k

,...,

∂S%k

) +

∂S%k

= 0 . (10.17)

 

 

 

 

 

1

 

k−1

 

k+1

n

 

∂q

 

∂q

−1

 

k

 

∂q

+1

 

∂q

 

∂t

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

k

 

 

 

k

 

n

 

 

 

Если циклических координат несколько (k принимает несколько значений), то они появляются в полном интеграле S в виде линейной комбинации

~ ~ ~

(10.18)

S = S(q,α, t) + ∑αkqk.

k

Здесь и ниже знак "~" над координатами и константами означает "все, кроме k-тых". Все соответствующие производные в уравнении на сокра-

~

щенное действие S заменяются на константы, как в (10.16). (в) Разделение переменных

Это самый общий метод, как частное он включает в себя и (а), и (б). Пусть в уравнение Гамильтона-Якоби (10.11)

Φ(q

,...,q

n

,

∂S

,...,

∂S

,

∂S

,t) = H (q

,...,q

n

,

∂S

,...,

∂S

,t) +

∂S

= 0 (10.19)

∂q

∂q

∂t

∂q

∂q

∂t

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

n

 

 

 

 

 

 

1

 

n

 

 

 

какая-либо переменная и соответствующая частная производная (например, qm и ∂S/∂qm) входят в виде подфункции (комбинации)1 φ(qm,∂S/∂qm), не

1 См. также разобранную задачу 5 из раздела 9 (скобки Пуассона).

Теоретическая физика. Механика (практический курс)

213

 

 

~

содержащей других переменных q (и времени) и производных по ним (ус-

~

ловно запишем эти производные как ∂S/∂q). Т.е.

%

∂S

∂S

 

∂S

 

 

%

 

,

 

,t;φ qm ,

 

 

= 0 .

(10.20)

Φ = Φ q,

 

∂t

 

 

 

 

∂q

 

 

∂qm

 

 

 

 

∂S

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда эта функция φ qm

,

 

является интегралом движения, а полный

∂q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

интеграл S запишется в виде суммы

= ~ ~ + ( )

S(q, t) Sm(q, t) Sm qm .

В этом случае уравнение (10.19) распадется на два

φ

q

m

, dSm

 

= C

m

= const

 

 

 

 

dq

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂S%m

 

∂S%m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Φ q,

 

,

 

 

,t;Cm

= 0,

 

 

%

 

∂q

 

 

∂t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

%

 

 

 

 

 

 

 

(10.21)

(10.22)

первое из которых является простым дифференциальным уравнением первого порядка относительно Sm(qm), а независящая от qm часть определяется вторым упрощенным уравнением в частных производных на сокращенное

~

действие Sm, порядок которого на единицу меньше по сравнению с исходным уравнением Гамильтона-Якоби (10.20).

Как и в предыдущем пункте (б), процедура (10.21)–(10.22), может быть проведена несколько раз.

Замечание: Естественно, что все эти свойства (а), (б), (в) могут быть применимы одновременно, но общее число независимых констант (E, αk, Cm), найденных с помощью этих свойств, не должно превышать числа степеней свободы системы n.

Закон движения в формализме Гамильтона-Якоби

После решения уравнения Гамильтона-Якоби, его полный интеграл S(q1,…, qn, α1,…, αn, t) записывается в виде (10.13), где в качестве констант α1,…, αn выступают как константы (E, αk, Cm), найденные с помощью свойств (а), (б), (в), так и неаддитивные константы, появившиеся при непо-

Канонические преобразования. Уравнение Гамильтона-Якоби

214

 

 

средственном интегрировании упрощенного дифференциального уравне-

~

ния на сокращенное действие S0 или S.

По физическому смыслу функция S является производящей функцией канонического преобразования, связывающего текущие координаты qj и импульсы pj в момент времени t с их начальными значениями в момент времени t0 (которые, в формализме уравнений Гамильтона-Якоби, как правило, и являются константами βj и αj, соответственно). Для нахождения за-

конов движения qj = qj(t) и

pj = pj(t)

воспользуемся свойствами

полной

функции действия S как производящей функции, а именно:

 

 

∂S

 

∂S

 

 

 

 

 

= βj,

 

 

= pj

( j = 1,…,n).

(10.23)

 

α

j

∂q

 

∂

 

 

j

 

 

Здесь βj – константы. Первый набор соотношений ("производная по константе дает константу") дает алгебраические уравнения, решение которых

qj = qj(t, α1,…, αn, β1,…, βn)

(10.24)

и есть искомый закон движения qj = qj(t). Общее число констант αj, βj как раз достаточно, чтобы удовлетворить начальным условиям.

Алгоритм решения задач в формализме Гамильтона-Якоби

1.Находится гамильтониан механической системы H(q1,…,qn, p1,…,pn, t).

2.Записывается уравнение Гамильтона-Якоби (10.11) на функцию действия S. Здесь в функции Гамильтона все обобщенные импульсы за-

менены частными производными по соответствующим обобщенным

∂S

координатам: pj = ∂qj.

3.Упрощение уравнения Гамильтона-Якоби в соответствие со всеми возможными интегралами движения (свойства (а)–(в)).

4.Решение получающегося упрощенного уравнения Гамильтона-Якоби на

~

сокращенную функции действия (S0 или S). Нахождение полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби S.

5."Производная по константе дает константу" – использование (10.23)

и начальных условий для нахождения законов движения.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности