где Q0 определяется начальными условиями, а найденные канонические преобразования дают закон движения в "старых" переменных

q = 2E / mω02 cos(ω0t + Q0 ); p = − 2mE sin(ω0t + Q0 ) .

Здесь полная энергия E также определена начальными условиями.

Задачи

Обязательные задачи

10.1.По производящей функции Fm найти каноническое преобразование:

10.2.Установить каноничность следующих преобразований

а) Q = peq, P = q + e−q + lnp; б) Q = qe−p + p, P = ep + lnq.

10.3.Найти каноническое преобразование, задаваемое производящей функцией F1(q,Q,t) = (m/2)ω(t)q2ctgQ и записать уравнения движения для "гармонического осциллятора" с частотой ω(t) в новых переменных Q и P.

10.4.По производящей функции F2(r,P,t) = (rP) − (uP)t + m(ru) (u = const) найти каноническое преобразование r = r(R,P,t), p = p(R,P,t) и но-

вую функцию Гамильтона для свободной частицы.

10.5.Каким условиям должны удовлетворять матрицы u и v, чтобы пре-

образование вида рi = ∑uijPj + ∑vijQj, qi = ∑vijPj + ∑uijQj было кано-

ническим?

[uuт−vvт = E, uvт−vuт = 0, здесь E – единичная матрица]

10.6.Дана производящая функция F2(q,P) = q2eP найти функцию, приводящую к тому же самому каноническому преобразованию:

10.7.Для переходов от "старых" цилиндрических и сферических координат к "новым" декартовым

а) х = f1(ρ,ϕ) = ρcosϕ, y = f2(ρ,ϕ) = ρsinϕ, z = f3(z) = z;

б) x = f1(r,θ,ϕ) = rsinθcosϕ, y = f2(r,θ,ϕ) = rsinθsinϕ, z = f3(r,θ) = rcosθ

найти соответствующие формулы Рx = Рx(q1,q2,q3,p1,p2,p3,t),... – преобразования обобщенных импульсов. Установить каноничность преобразований и найти их производящие функции F2 и F1.

10.8.Какому условию должна удовлетворять функция f(q,P), чтобы ее можно было использовать в качестве производящей функции кано-

нического преобразования F2(q,P). Проверить f = Plnq, f = P2 + q2, f = (P + q)2.

[det( |∂2f /∂qj∂Pk |) ≠ 0]

Задачи средней трудности

10.9.Показать, что закон движения свободной частицы массы m в однородном поле тяжести можно рассматривать как каноническое преобразование r = r(r0,p0,t), p = p(r0,p0,t). Найти производящую функцию этого преобразования и функцию Гамильтона частицы в новых

переменных r0, p0.

[F2 = (p0r) − mgtz + gt2pz0/2 − p02t/2m, H ' = 0]

10.10.Выяснить смысл канонических преобразований, задаваемых производящими функциями:

а) F(r,p) = (rP) + (δaP), б) F(r,p) = (rP) + (δϕ[rP]).

[а) сдвиг на вектор δa, б) поворот на угол δϕ]

10.11.Показать, что уравнения Гамильтона сохраняют свой вид относительно канонических преобразований.

10.12.Прямым вычислением показать, что скобки Пуассона {pi, qj} = δij, {pi, pj} = 0, {qi, qj} = 0 инвариантны по отношению к каноническим преобразованиям.

Задачи повышенной трудности

10.13.Для задачи 9.27 показать, что

а) Q = a, P = ia* и б) Q = aeiωt, P = ia*e−iωt

являются каноническими переменными. Найти гамильтониан гармонического осциллятора в новых переменных H '(Q,P,t).

10.14.Показать, что преобразование

является каноническим. Найти уравнения Гамильтона частицы в магнитном поле H = Hez, заданном векторным потенциалом A(−Hy/2,Hx/2,0) в новых переменных. Здесь ω = eH/mc.