Теоретическая физика. Механика (практический курс) |
203 |
|
|
Раздел 10. Канонические преобразования. Уравнение Гамильтона-Якоби.
Канонические преобразования
Особую ценность гамильтоновому формализму в классической механике придает наличие в ней более широкого (по сравнению, например, с лагранжевым формализмом) класса преобразований, относительно которого уравнения Гамильтона ковариантны.
Задание преобразований в гамильтоновом формализме означает задание правил, по которым меняются обобщенные переменные (импульсы и координаты). Запишем пока произвольное преобразование от "старых" переменных к "новым": (q,p)→(Q,P). В общем случае, это 2n соотношений
Q |
= Q |
j |
(q ,...,q , p ,..., p ,t) |
|
|
||||
|
j |
|
1 |
n |
1 |
n |
( j = 1,2,…,n). |
(10.1) |
|
Pj |
= Pj (q1,...,qn , p1,..., pn ,t) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Конечно преобразования (10.1) можно записать и в обратном порядке (Q,P)→(q,p), т.е. в виде выражений "старых" переменных через "новые". Главное – это то, что среди всех преобразований типа (10.1) существует специальный класс так называемых канонических преобразований, которые не только сохраняют вид уравнений движения1, но и обладают целым рядом других полезных свойств.
Канонические преобразования порождаются так называемыми про-
изводящими функциями, зависящими от 2n независимых переменных (n "старых" и n "новых") и времени t, причем время выступает в роли параметра. Таким образом, всего существует четыре различных типа производящих функций:
F1(q,Q,t), F2(q,P,t), F3(p,Q,t), F4(p,P,t),
1При этом уравнения Гамильтона (9.2) не меняют своего вида в новых переменных, хотя сам гамильтониан в новых переменных имеет другой вид H '(Q,P,t) (см. ниже (10.8)).
Теоретическая физика. Механика (практический курс) |
205 |
|
|
по известной производящей функции Fm(...,…,t) (m = 1÷4) получить соотношения типа (10.1). Более того, во всех перечисленных случаях гамильтониан в новых переменных H ' записывается следующим образом
|
∂Fm |
|
|
|
H '(Q,P,t) = H(q,p,t) + |
|
q = q(Q,P,t) |
(m = 1÷4) |
(10.8) |
|
||||
|
∂t |p = p(Q,P,t) |
|
|
|
(см. ниже примеры решения задач).
Естественно, если преобразование (10.1): (q,p)→(Q,P) – каноническое, то обратное преобразование (Q,P)→(q,p) – также каноническое.
Важным свойством скобок Пуассона является их инвариантность относительно канонических преобразований.
Пусть f(q, p, t) и g(q, p, t) – некоторые функции "старых" переменных q, p и t. Эти же функции в "новых" переменных запишутся как f(Q,P,t) = f(q(Q,P,t), p(Q,P,t), t) и g(Q,P,t) = g(q(Q,P,t), p(Q,P,t), t) соответ-
ственно. Таким образом, если преобразование (q,p) → (Q,P) – каноническое, то выполняется равенство
{f, g}q,p = {f, g}Q,P. |
(10.9) |
Здесь индексы означают, что скобки Пуассона (9.9) слева вычисляются по "старым" переменным q и p, а справа – по "новым" Q и P.
Необходимым и достаточным условием каноничности преобразования (10.1) является выполнение следующих равенств, связанных с фундамен-
тальными скобками Пуассона |
|
{Qj, Qk}q,p = 0, {Pj, Pk}q,p = 0, {Pj, Qk}q,p = δjk. |
(10.10) |
Можно восстановить вид производящей функции, если известны преобразования типа (10.1) и доказана их каноничность. Для решения этой своеобразной "обратной задачи" нужно проинтегрировать систему уравнений с частными производными (10.4)–(10.7). Этим же приемом можно воспользоваться и для нахождения производящей функции одного типа Fk, если задана производящая функция другого типа Fj: сначала по Fj находятся канонические преобразования (10.1), а затем по ним восстанавливается
Fk.
Хотя для решения последней задачи (Fj→Fk) более эффективен способ, основанный на соотношениях типа (10.2)–(10.3). Так, например, из
Теоретическая физика. Механика (практический курс) |
207 |
|
|
носительно которого ковариантны уравнения Лагранжа, и это является лишь частным случаем канонических преобразований в гамильтоновом формализме. Это показывает более общий характер последнего.
в) Воспользуемся соотношениями (10.4) (опять под знаком суммы j → k)
|
∂F1 |
n |
∂qk |
n |
∂F1 |
n |
∂Qk |
|
pj = |
∂qj |
= ∑ |
∂qjQk = ∑δjkQk = Qj, аналогично Pj = − |
∂Qj |
= −∑ qk∂Qj |
= −qj. |
||
|
|
k=1 |
|
k=1 |
|
k=1 |
|
|
Данное преобразование взаимозаменяет обобщенные импульсы и координаты: Pj = −qj, Qj = pj. Это показывает, что в гамильтоновом методе деление переменных на импульсы и координаты носит достаточно условный характер.
Задача 2. Для гармонического осциллятора найти канонические преобразования, порождаемые производящей функцией F1 = −(m/2)ω0q2tgQ, и новый гамильтониан H '(Q,P).
Решение. Воспользуемся соотношениями (10.4)
p = ∂F1 = −mω0qtgQ, P = −∂F1 = mω0q2/(2cos2Q).
∂q ∂Qj
Отсюда найдем выражения "старых" переменных через "новые" q = 2P / mω0 cosQ; p = − 2mω0P sin Q
это нам потребуется для нахождения вида гамильтониана в "новых" переменных (10.8). Гамильтониан гармонического осциллятора (см. типичную задачу 1б раздела 9) – H(q,p) = p2/2m + mω20 q2/2. Подставим найденные преобразования q(Q,P) и p(Q,P) и гамильтониан в (10.8), тогда получим
H'(Q,P) = H(q,p,t) + ∂F1 |q = q(Q,P,t) = ω0P.
∂t p = p(Q,P,t)
Интересно, что задача о законе движения гармонического осциллятора в новых переменных решается "на пальцах". Новый гамильтониан не зависит от времени, следовательно, H = E = const, Q – также циклическая координата, следовательно, P = P0 = E/ω0 – интеграл движения, константа. Из уравнений Гамильтона сразу следует, что
= ω0 , и Q = ω0t + Q0,