ние. Кроме того, необходимо хорошо представлять себе связи между различными скоростями (мгновенной, средней, секторной и т.д.) и ускорениями, которые помогают выразить условия исходной обратной задачи в форме дифференциального уравнения.

Для успешного решения задач по кинематике необходимо хорошо знать стандартные решения простейших дифференциальных уравнений первого и второго порядка, а также уметь преобразовывать их к новым переменным, для того чтобы "увидеть" их стандартную форму.

Примеры решения задач по кинематике

Задача 1. Частица движется в положительном направлении оси Оx так, что ее скорость меняется по закону v = αx, где α − размерная постоянная. Принимая во внимание начальные условия (t = 0, x = x0), найти:

а) зависимость от времени мгновенной скорости и ускорения частицы; б) среднюю величину скорости частицы за время, в течение которого она пройдет первые s метров пути.

Решение.

1. Предварительный анализ задачи. Задача может быть классифицирована как обратная задача механики и для своего решения требует составления простейших дифференциальных уравнений. Помимо нахождения искомого уравнения для получения его частного решения необходимо знание начальных условий (величину пройденного пути x0 к начальному моменту времени t = 0).

2. Составление необходимых уравнений. Из условия задачи можно опреде-

лить следующую связь между мгновенной скоростью и пройденным расстоянием к моменту времени t

Последнее уравнение представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Его частное решение может быть записано в виде

x(t) = x0 exp(αt) .

Из последнего уравнения дифференцированием нетрудно получить искомые равенства для ответов на первый пункт (а)

Для ответа на вопрос (б) необходимо вначале установить связь между s и временем t(s). Она находится интегрированием уравнения (1.25)

Затем необходимо воспользоваться выражением для средней величины скорости, которое применительно к данному случаю, запишется в виде

Последняя формула содержит окончательное решение поставленной задачи. 3. Анализ решения. Чтобы выработать навык, помогающий разобраться не только в простейших задачах, но и понимать структуру более сложных задач, можно придерживаться следующего принципа: "понять − означает обобщить". В соответствии с этим принципом, глядя на полученные решения можно задать следующий вопрос: как изменятся результаты решения этой простой задачи, если выбрать зависимость между скоростью и пройденным расстоянием в виде v = αx p . Попытайтесь воспроизвести эти расчеты самостоятельно. Для проверки приведем ответы для этого случая

Для детальной проверки математических расчетов найдите опечатку в выражении w(t), умышленно сделанную в ответе.

Задача 2. Бакенщик спускается с вершины маяка, двигаясь по желобу, имеющему форму винтовой линии. Параметры винтовой линии, шаг h и диаметр D постоянны.

а) Найти годограф скорости бакенщика и определить величину и направ-

ление ускорения, в предположении, что величина его скорости постоянна по времени.

б) Найти годограф скорости бакенщика и определить величину и направление ускорения для случая, когда величина его вертикальной компоненты скорости пропорциональна времени.

Решение.

1. Анализ задачи. Согласно классификации данная задача может быть отнесена к прямой задаче механики. Траектория бакенщика – винтовая линия, которая в ЦСКзадаетсяуравнениями: ρ = R (радиус маяка), ϕ = ωt, z = − ct.

Свяжем параметры винтовой линии с данными задачи: R = D/2, h = c(2π/ω). Согласно определению, годограф скорости – это геометрическое место точек концов радиус-вектора мгновенной скорости. Поэтому "найти годограф" означает определить мгновенный вектор скорости v(t) по вектору r(t).

2. Восстановление необходимых связей. Восстановим формулы, связы-

вающие компоненты векторов скорости и ускорения в цилиндрической системе координат,

Последние формулы полностью решают поставленную задачу. Беря соответствующие производные, получим искомый ответ:

vρ = 0, vϕ = Rω, vz = −c; wρ = −Rω2, wϕ = 0, wz = 0; v = [(Rω)2 + c2]1/2.

Пункт (б) решается аналогично. Воспроизведите соответствующие расчеты самостоятельно. При этом необходимо учесть, что z& = vz = −bt .

Задача 3. Точка движется, замедляясь по некоторой плоской траектории, таким образом, что в каждый момент времени ее тангенциальные и нормальные ускорения по модулю равны друг другу. В начальный момент времени t = 0 скорость точки равна v0. Найти траекторию материальной точки. Предполагается, что зависимость радиуса кривизны траектории от времени известна и задается некоторой функцией R(t).