Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона |
200 |
|
|
f(q1,p1) = const. Более того, очевидно обобщение этого результата, если функция Гамильтона имеет вид
H = H(f(q1, p1,…, qk, pk,), qk+1, pk+1,…, qn, pn),
то f(q1, p1,…, qk, pk) – интеграл движения.
Задачи
Обязательные задачи
9.20.Вычислить скобку Пуассона {ϕ, ψ}, где
а) ϕ = q2 + p2, ψ = arctg(p/q); |
б) ϕ = ϕ(q2 + p2), ψ = arctg(p/q); |
в) ϕ = ϕ(q2 + p2), ψ = ψ(arctg(p/q)); |
г) ϕ = qj, ψ = ψ(q1,...,qn,p1,…,pn,t); |
д) ϕ = pj, ψ = ψ(q1,...,qn,p1,…,pn,t);
е) ϕ = ϕ(q1,p1), ψ = ψ(ϕ(q1,p1),q2,...,qn,p2,…,pn,t);
ж) ϕ = ϕ(g((q1,...,qn,p1,…,pn,t)), ψ = ψ(g((q1,...,qn,p1,…,pn,t));
|
n |
+ q2j |
|
|
n |
+ q2j |
|
|
з) ϕ = cos |
∑(p2j |
) |
,ψ = sin |
∑(p2j |
) |
; |
||
j=1 |
|
|
j=1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
+ q3j |
|
|
n |
+ q3j |
|
и) ϕ = ϕ |
∑(p2j |
) |
,ψ = ψ |
∑(p2j |
) . |
||
j=1 |
|
|
j=1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
9.21.Вычислить скобки Пуассона:
а) {Мi, хj}, б) {Мi, pj}, в) {Мi, Мj}, г) {М2, Мj},
где хj, pj – декартовы координаты и компоненты импульса частицы, Мj – компоненты ее момента импульса относительно начала коор-
динат, а М2 = М12 + М22 + М32;
д) {(ap), (br)}, е) {(aM), (br)}, ж) {(aM), (bM)}, з) {(aM), (bp)},
где a и b – постоянные векторы.
Примечание. При вычислениях удобно использовать элементы единично-
го антисимметричного тензора 3 ранга eijk, которые обладают следую-
щими свойствами: eijk = ejki = ekij = −ejik = −ekji = −eikj. Вследствие чего элементы, имеющие хотя бы 2 одинаковых индекса, обращаются в нуль. Среди оставшиеся 6 элементов с разными индексами элементы с "правильной" последовательностью индексов равны единице, т.е.
e123 = e312 = e231 = 1, а с "неправильной" – −1, т.е. e213 = e321 = e132 = −1. С
Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона |
202 |
|
|
Задачи повышенной трудности
9.26.Найти {vi, vj} для частицы в магнитном поле H(Hx,Hy,Hz).
|
|
e |
3 |
|
|
|
− |
|
∑eijk Hk |
||
mc |
2 |
||||
|
|
|
k =1 |
|
|
9.27.В квантовой теории гармонического осциллятора важную роль играют следующие комплексно-сопряженные комбинации координат
и импульсов a = (2mω)−1/2(mωx + ip), a* = (2mω)−1/2(mωx − ip) (им соответствуют операторы уничтожения и рождения квантов).
а) Найти скобку Пуассона {a, a*}. Выразить через a и a* функцию Гамильтона гармонического осциллятора H = p2/2m + mω2x2/2.
б) Повторить вычисления для величин aeiωt, a*e−iωt.
9.28.Показать, что:
а) {ϕ, Мz} = 0, где ϕ – любая скалярная функция радиус-вектора и импульса частицы;
б) {f, Mz} = [ez f], где f – векторная функция радиус-вектора и импульса частицы, а ez – единичный вектор в направлении оси Oz.
9.29.Вычислить скобки Пуассона {f, (aM)} и {(fM), (gM)}, где a = const, а f – векторная функция радиус-вектора и импульса частицы.
9.30.Для частицы в центральном поле U = −α/r существует интеграл движения A = [vM] − αr/r (см. задачу 3.2).
а) Вычислить скобки Пуассона {Ai, xj}, {Ai, pj}, {Ai, Мj}, {Ai, Aj}.
б) В случае финитного движения (H = E < 0) для |
векторов |
J1,2 = [M ± (m/2|E|)1/2A] вычислить скобки Пуассона |
{H, J1,2}, |
{J1i, J2j}, {J1i, J1j}, {J2i, J2j} и сравнить их со скобками Пуассона для компонент момента импульса M (задача 9.18в). Выразить гамильтониан задачи H через J1 и J2.