Ω
r 
O
Малые колебания механических систем |
176 |
|
|
ний частицы: а) для неподвижного эллипса, б) для эллипса, который вращается с постоянной угловой скоростью Ω вокруг оси z (см. также задачу 7.35).
|
|
gb |
|
б) ω = ω02 − Ω2 , |
|
|
|
|
|
|
|||
a) ω = ω0 |
= |
; |
при Ω < ω0, |
|
|
||||||||
a |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ω4 − ω4 |
|
|
|
||
|
|
|
|
ω= Ωa |
|
|
|
|
|
0 |
|
, при Ω > ω |
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
2 |
2 |
4 |
||||
|
|
|
|
|
Ω |
+ (a |
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
b |
|
|
−b |
)ω0 |
|
|
||
8.7.Найти частоту малых колебаний системы, изображенной на рисунке и называемой паровым регулятором Уатта. Плоская система с шарнирными соединениями вращается в поле тяжести вокруг вертика-
O |
|
Ω |
льной оси с постоянной угловой скоростью Ω. Тело массы |
|||||||
|
||||||||||
|
m2 может двигаться вдоль вертикальной оси. Верхняя точ- |
|||||||||
a |
|
a |
ка O закреплена. Рассмотрите только самый простой слу- |
|||||||
m1 |
|
|
m1 чай a = b = l, m1 = m2 = m (см. также задачи 5.19 и 8.33). |
|||||||
b |
|
b |
|
2 |
2 |
Ω4 − Ω4 |
|
2g |
||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
m2 |
ω = Ω |
|
|
|
, при Ω > Ω0 = |
|
; |
|
|
|
|
3Ω4 − 2Ω04 |
a |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
, при Ω < Ω0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
ω = Ω0 |
− Ω |
|
|
||||
8.8.Решить задачу 8.4, если между колечком и точкой O имеется пружина жесткости c с длиной в ненапряженном состоянии l0 (см. также задачу 7.29).
8.9.Найти частоту малых колебаний ω0 системы, описанной в задаче 5.20.
8.10.Найти частоту малых колебаний системы, описанной в задаче 5.23, если шар с массой m2 вращается с заданной угловой скоростью
ϕ• = Ω = const.
8.11.Предполагая, что в начальный момент t = 0 частица покоится в начале координат (х0 = 0, x• 0 = 0) определить вынужденные колебания частицы под влиянием силы F(t) для случаев:
а) F = F0 = const, б) F = at, в) F = F0e−αt, г) F = F0e−αtcosβt.
В последнем случае при решении удобно писать силу в комплексном ви-
де F = F0e−αt+iβt.
Теоретическая физика. Механика (практический курс) |
177 |
|
|
|
F |
|
|
−αt |
α |
|
|
в) x = |
|
0 |
|
e |
− cosω0t + |
|
sin ω0t |
m(ω0 |
+ α |
|
ω0 |
||||
|
) |
|
|
||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
8.12.Определить конечную амплитуду колебаний линейного гармонического осциллятора частоты ω0 после действия вынуждающей силы, меняющейся по закону:
а) t < 0, F = 0; 0 < t < T, F = F0 = const; |
t > T, F = 0; |
б) t < 0, F = 0; 0 < t < T, F = F0t/T; |
t > T, F = 0; |
в) t < 0, F = 0; 0 < t < π/ω0 , F = F0sinω0t; |
t > π/ω0, F = 0, |
предполагая, что при t = 0, осциллятор покоился в точке с координатой х = 0.
|
πF |
|
|
в) a = |
0 |
|
|
2 |
|||
|
|
||
mω0 |
8.13. Определить колебания системы с двумя степенями свободы, если функция Лагранжа ее имеет вид L = (x• 2 + y• 2)/2 − ω20 (x2 + y2)/2 + αxy,
где ω0 и α – константы.
|
собственные частоты: ω2 |
= |
ω2 |
− α, ω2 |
= |
ω2 |
+ α |
|
|
|
1 |
|
0 |
|
2 |
|
0 |
|
|
|
нормальные координаты: θ1 = (x + y)/ |
2, θ1 = (x − y)/ |
|
||||||
|
2 |
||||||||
8.14. Определить колебания системы, изображенной на рисунке, пружи-
ны предполагаются одинаковыми, массы частиц равны m. |
|
|||||
Движение происходит вдоль вертикальной линии. Выразить |
c |
|||||
функцию Лагранжа через нормальные координаты и соответ- |
m |
|||||
ствующие им скорости. |
|
|
|
|
c |
|
|
|
3 ± |
5 c |
|||
2 |
|
|||||
|
ω1,2 = |
2 |
|
|
|
m |
|
|
|||||
|
|
|
m |
|||
8.15.Найти общее решение задачи о малых колебаниях частицы массы m, способной двигаться по гладкой внутренней стороне поверхности (ось z – вертикальна).
а) z = x2 + xy + y2, |
б) z = x2 + 5xy + 2y2, |
в) z = 4x2 + xy + 3y2, |
г) z = 3x2 + 2xy + 2y2, д) z = 2x2 + 4xy + 5y2, |
е) z = 3x2 + 2xy + 3y2, |
|
ж) z = x2 + 2xy + 4y2, з) z = x2 + 2xy + 2y2, |
и) z = 5x2 + xy + 4y2, |
|
Малые колебания механических систем |
178 |
||
|
|
|
|
к) z = 2x2 + xy + 3y2, |
л) z = 2x2 + 2xy + 3y2, |
м) z = 3x2 + 6xy + 11y2. |
|
Задачи средней трудности
8.16.Предполагая, что потенциал взаимодействия двух атомов с массами m1 и m2 в двухатомной молекуле имеет вид
U = U0{exp[−2(r − r0)/a] − βexp[−(r − r0)/a]},
где V, r0, β, a – константы, найти частоту колебаний невращающейся двухатомной молекулы.
8.17.Решить задачу о малых колебаниях маятника массы m с закрепленной точкой подвеса, если вместо нерастяжимого легкого стержня используется невесомая пружина с длиной l0 в ненапряженном состоянии и жесткостью с.
8.18.Маятник состоит из ползуна массы М, скользящего без трения по го-
c |
|
M |
ризонтальной прямой, и шарика массы m, соединен- |
|
O |
||||
|
x ного с ползуном невесомым стержнем длины l, спо- |
|||
|
|
|||
|
ϕ |
l |
собным вращаться в вертикальной плоскости отно- |
|
|
сительно точки прикрепления стержня O. К ползуну |
|||
|
|
m |
||
|
|
|
присоединена пружина жесткости c, другой конец |
|
|
которой закреплен неподвижно (см. также задачу 5.15). Определить |
|||
частоты малых колебаний системы.
|
|
частоты являются корнями уравнения |
|
|
4 |
2 |
|
ω |
− {c/M + (g/l)(m + M)/M}ω − (c/M)(g/l) = 0 |
||
8.19.Показать, что потенциал U = αx2n порождает линейные колебания с независящей от амплитуды частотой только при n = 1.
8.20.Рассмотреть изменение положений точек равновесия одномерной нелинейной системы с потенциалом U = αx2/2 + βx4/4 (β = const > 0) в зависимости от величины управляющего параметра α.
8.21.В предположении хi/R << 1 найти собственные частоты системы двух осцилляторов, потенциальная энергия которой имеет вид
|
e2 |
|
e2 |
|
e2 |
|
|
mω2 |
2 |
2 |
V = − |
|
− |
|
+ |
|
+ |
2 0 |
(αx1 |
+βx2 ), |
|
R − x |
R + x |
R + x − x |
||||||||
1 |
|
2 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
где e, R, ω0, α, β − константы.
Теоретическая физика. Механика (практический курс) |
179 |
|
|
8.22.Определить частоты малых колебаний двойного плоского маятника с массами m1 и m2 и длинами нитей l1 и l2 (см. задачу 5.11):
а) m1 = m2 = m, l1 = l2 = l; |
б) m1 = m2 = m, l1 = 2l2 = 2l; |
в) m1 = 2m2 = 2m, l1 = l2 = l; |
г) m1 ≠ m2, l1 = l2 = l; |
д) m1 = m2 = m, l1 ≠ l2; |
е) m1 ≠ m2; l1 ≠ l2. |
8.23.Определить нормальные частоты и координаты системы, состоящей
из двух точечных масс m1 и m2, двигающих- |
m1 |
|
m2 |
|
ся вдоль горизонтальной прямой, и трех не- |
c12 |
|||
c1 |
c2 |
|||
весомых пружин с жесткостью c1, c12 и c2. |
||||
|
|
|
||
Решить задачу для самого простого случая |
m1 = m2 = m, |
|||
c1 = с2 = с12 = с. Как изменится наименьшая частота колебаний системы, если одну из частиц неподвижно закрепить (эффект Релея)?
8.24.Тело массы m, прикрепленное к неподвижной стенке пружиной жесткости c, совершает движение вдоль горизонтальной направляющей 0x под действием силы Fx = mΦ(t), испытывая сопротивление −βx• , пропорциональное скорости. Найти движение тела при началь-
ных условиях x(0) = x0, x• (0) = x• 0 в следующих трех случаях:
а) β2 = 2mc, |
|
б) β2 = 4mc, |
в) β2 = 6,25mc. |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
||||
|
• |
−α(t − τ) |
|
−α(t − τ) |
|
|
||
б) x(t) = [x0 + (x0 + αx0)t]e |
⌠ |
dτ, α = |
|
2m |
||||
+ ⌡(t − τ)Φ(τ)e |
|
|||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
8.25.Для системы, описанной в предыдущей задаче, x(0) = x• (0) = 0, сту-
пенчатое воздействие Φ(t) задано следующим образом: Φ = 0, при t < 0; и Φ = a = const, при t > 0. Найти закон движения x(t) при t > 0 во всех рассмотренных выше случаях (см. пп. а-в в 8.24).
|
2 |
|
−α(t − τ) |
c |
|
|
|
|
|
|
|||
б) |
x(t) = (a/α )[1 |
− (1 + αt0) e |
], α = |
2m |
|
|
8.26.Показать, что любое финитное движение системы с лагранжианом
|
&2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
L = |
q |
− |
ω |
+ |
ω |
представляет собой периодическое движение с |
|
2q4 |
2q2 |
q |
|||||
|
|
|
|
периодом 2π/ω. (При решении перейти к новой переменной z = 1/q).