Малые колебания механических систем |
164 |
|
|
му уравнений (8.10) число независимых уравнений определяется разностью n − r, и, следовательно, при r ≥ 2 уравнений (8.12) – (8.13) становится недостаточно для однозначного определения амплитуд A(jαm) с точностью до числа. Остается (r − 1) свободных параметров.
Для нахождения полного набора решений A(jαm) на них дополнительно
к условиям нормировки (8.13) обычно налагаются еще и условия ортогональности
n |
|
|
|
|
∑Ak( |
αm ) Ak( |
αl ) = 0, |
m ≠ l . |
(8.18) |
k=1
8.Проверка и анализ решения. Рассматривается физический смысл полученного решения, проверяются самые простые предельные случаи.
Вынужденные и затухающие линейные колебания
Кратко рассмотрим колебания системы вблизи положения устойчивого равновесия в присутствии сил трения и вынуждающих сил.
Для простоты рассмотрим системы с одной степенью свободы (n = 1). В рамках принятого линейного приближения действующая на систему диссипативная (непотенциальная) сила должна линейно зависеть от обобщенной скорости q• . С учетом уравнений (5.18) в линейном приближении по смещениям от точки равновесия x и скоростям смещений x• получим следующее дифференциальное уравнение
&& |
& |
2 |
(8.19) |
x |
+ 2μx + ω0 x = 0 , |
где ω02 – собственная частота колебаний (см. 8.2a-е), μ – положительная величина, называемая коэффициентом затухания. С помощью стандартной подстановки x = exp(λt) находим решение, которое в случае слабого затухания (μ < ω0) выглядит следующим образом
x = ae−μt cos(ωt + φ) , |
(8.20) |
где частота затухающих колебаний
Теоретическая физика. Механика (практический курс) |
165 |
|
|
Вещественные константы a и φ определяются из начальных условий. Таким образом, появление трения в системе не только уменьшает со време-
нем амплитуду колебаний, но и сдвигает частоту затухающих колебаний
ω в область более низких частот.
Рассмотрим вынужденные малые колебания в системе, на которую действует некоторое достаточно слабое переменное внешнее поле. В этом случае наряду с собственной потенциальной энергией c0x2/2 система обладает еще потенциальной энергией Uex(x,t). Разлагая этот дополнительный член в ряд по степеням малой величины x, получим
ex |
|
ex |
dU ex |
|
|
U |
(x,t) ≈ U |
(0,t) − xF(t), где F(t) = − |
|
|
– вынуждающая "сила". |
dx |
|
|
|
|
|
x=0 |
|
|
|
|
|
Первый член Uex(0,t) в этом разложении является функцией только времени и может быть опущен в функции Лагранжа (как полная производная по t от некоторой другой функции времени). Приближенная функция Лагран-
~ |
|
|
|
|
жа L системы приобретает вид |
|
|
~ |
• |
• 2 |
2 |
+ xF(t). |
L(x,x,t) = a0x /2 |
− c0x /2 |
Уравнение движения для вынужденных колебаний в линейном при- |
ближении тогда записывается в таком виде |
|
|
&& |
2 |
|
(8.22) |
|
x |
+ ω0 x = Φ(t) , |
где введены собственная частота колебаний ω0 и Φ(t) = F(t)/a0 (см. 8.2а-д). Для решения неоднородного уравнения (8.22) осталось определить только частное решение xч.р., поскольку решение соответствующего одно-
родного уравнения (8.2в) уже известно (см. 8.2г) |
|
x(t) = Acos(ω0t + φ) + xч.р.. |
(8.23) |
Для простых зависимостей Φ(t) в большинстве задач, приведенных ниже, поиск xч.р. не представляет особой сложности. Тем не менее, уравнение (8.22) может быть проинтегрировано и в самом общем случае при помощи
• |
|
подстановки ξ = x + iω0x. Тогда |
|
t |
|
ξ(t) = ξ0eiω0t + eiω0t ∫Φ(τ)e−iω0τdτ, |
(8.24) |
