Теоретическая физика. Механика (практический курс) |
11 |
|
|
Примечание: Используя эту формулу и принимая во внимание выражения для
коэффициентов Ламэ в ССК: |
|
hr =1, hθ = r, hϕ = r sin θ, |
получите выражения для |
||||||||||||||
компонент ускорения в ССК |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
& |
2 |
− rϕ |
2 |
sin |
2 |
θ)er |
&& |
|
& |
|
2 |
sin θcosθ)eθ + |
|
||
|
w(t) = (r − rθ |
|
|
|
+ (rθ + 2rθ − rϕ |
|
|
||||||||||
|
&& |
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
& |
|
& |
|
|
|
, |
|
|
&& |
|
|
& |
& |
|
|
& & |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+(rϕsin θ + |
2rϕsin |
θ + 2rθϕcosθ)eϕ |
|
|
|
|
|
|||||||||
проверьте справедливость выражения в ЦСК (1.13б).
Раскрывая выражение для секторной скорости в ЦСК, можно установить следующую связь
|
1 |
2 |
ϕ и wϕ = |
2 dσz |
. |
(1.15) |
|
σz = |
|
ρ |
|
||||
2 |
ρ |
dt |
|||||
|
|
|
& |
|
|
|
|
Вектор углового ускорения определяется как производная по времени от вектора угловой скорости
ε(t) = |
dω |
. |
(1.16) |
|
|||
|
dt |
|
|
Связь между линейным ускорением (1.12), угловым ускорением (1.16) и угловой скоростью (1.10) определяется выражением
w =[ε r]+[ω v]. |
(1.17) |
Среднее ускорение за время τ от начала движения определяется выражением
|
1 |
τ |
v(τ) − v(0) |
|
|
|
w(τ) = |
∫w(t)dt = |
. |
(1.18) |
|||
τ |
|
|||||
|
0 |
τ |
|
|||
|
|
|
|
|
||
Сопровождающая система координат (естественный трехгранник)
Движение материальной точки по криволинейной траектории иногда удобно описывать в сопровождающей системе координат, задаваемой нормальным n и тангенциальным τ ортами. Эту СК определяют еще как
естественный трехгранник.
Вектор τ направлен вдоль вектора скорости v, вектор n перпендикулярен направлению скорости и направлен к центру кривизны траектории в данной точке. Третий орт сопровождающего трехгранника получается как nb =[τ n].
Радиус-вектор точки задается с помощью длины дуги (или величиной
Кинематика материальной точки |
12 |
|
|
пути) траектории r(t) = r(s) . Путь s(t), проходимый точкой, определяется выражением (1.3).
Разложение скорости в сопровождающей системе координат (или по
осям естественного трехгранника) определяется выражением |
(1.19) |
v = sτ ≡ vτ . |
|
& |
|
Полное ускорение раскладывают на тангенциальное ускорение wτ, направление которого совпадает или противоположно направлению вектора
|
|
|
|
|
|
линейной скорости, и нор- |
||||||
|
w2τ |
v2 |
τ2 |
|
|
мальное |
ускорение |
wn, |
||||
|
|
|
w1 |
направленное |
|
вдоль |
еди- |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
n2 |
w1n |
|
ничного вектора n. Длины |
||||||
|
|
|
R1 |
|
векторов |
|
wτ, |
wn |
оп- |
|||
|
|
|
|
|
ределяются выражениями |
|||||||
|
|
|
|
|
n1 |
|||||||
|
|
|
|
|
wτ = v , |
|
(1.20) |
|||||
|
|
|
|
|
w1τ |
|
|
& |
|
|
|
|
w2 |
|
|
|
v1 |
|
|
v |
2 |
|
|
|
|
|
w2n |
|
τ1 |
wn = |
. |
(1.21) |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
R |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Из сказанного ясно, что тангенциальное ускорение меняет только длину вектора скорости, в то время как нормальное ускорение определяет только поворот вектора скорости.
На рисунке точками показано положение центра кривизны траектории в данной точке, а радиус кривизны R можно найти из соотношения
1 |
|
d 2r(s) |
|
d 2 x(s) 2 |
d 2 y(s) 2 |
d 2 z(s) 2 |
|||||||
|
|
||||||||||||
|
= |
ds2 |
= |
|
ds2 |
|
+ |
ds2 |
|
+ |
ds2 |
. |
|
R |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Если плоская траектория задана в ДСК уравнением y = y(x) или параметрически, причем в качестве параметра использована временнáя переменная t: y = y(t), x = x(t), то радиус кривизны R может быть вычислен по формулам
1 dα |
α |
|
|
yxx |
|
|
|
|
|
yx − yx |
|
|
|||||
|
|
& |
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
&&& |
&&& |
|
|
|||
|
= ds |
= v |
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
, |
(1.22) |
R |
(1 |
+ (y′x ) |
2 |
) |
3/ 2 |
(x |
2 |
+ y |
2 |
) |
3/ 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
& |
|
|
|
|
|
где угол α определяется выражением: tg(α) = vy / vx .
Теоретическая физика. Механика (практический курс) |
13 |
|
|
Преобразование координат, скоростей и ускорений при переходе к другой системе отсчета
Пусть имеются две системы отсчета S и S1. |
|
r1 |
|
|
При этом система S1 относительно системы S |
r |
Ω |
||
|
||||
характеризуется радиус-вектором начала отсче- |
R |
|
S1 |
|
та R, его скоростью V и ускорением W, а также |
|
|||
|
|
V |
||
постоянной угловой скоростью Ω. |
S |
|
||
|
|
Положение одной и той же материальной
точки определяется радиус-векторами r и r1. Соотношение между ними:
r = R +r1 . |
(1.23) |
Дифференцируя его по времени, получим связи между скоростями и ускорениями материальной точки, определяемыми в разных системах отсчета:
v = V +[Ω r1]+ v1 , |
|
(1.24а) |
|||
w = W + Ω [Ω r |
] |
+ 2[Ω v |
]+ w . |
(1.24б) |
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
Некоторые предварительные указания по решению задач по кинематике
В механике можно решать две основные задачи.
Прямая задача механики формулируется в общем виде следующим образом: по заданному движению материальной точки найти действующие на нее силы. Задача сводится к отысканию вектора ускорения w(t) или его компонент. Вектор силы, как известно, можно найти по формуле: F(t) = mw(t). Существенный момент, который следует помнить, заключается в том, что полные производные по времени от единичных ортов криволинейной системы координат (за исключением декартовой) не равны нулю.
Обратная задача механики может быть сформулирована следующим образом: по заданным компонентам силы, действующей на материальную точку, найти ее закон движения. При этом предполагается, что начальные условия движения (начальное положение точки, ее начальная скорость) известны. В кинематике это сводится к заданию скорости или ускорения материальной точки. Обратная задача, как правило, труднее прямой, так как предполагает составление дифференциального уравнения первого (если известна скорость) или второго (известно ускорение) порядка и его реше-