Раздел 8. Малые колебания механических систем

Основные положения и формулы

Малыми называются колебания, совершающиеся вблизи точки равновесия данной механической системы q(0)(q(0)1, q(0)2,…, q(0)n). При этом малыми величинами являются не только отклонения обобщенных координат от их значения в точке равновесия xj = qj = qj − q(0)j, но и соответствующие обобщенные скорости x• j = q• j. Существование указанных малых параметров позволяет разложить по ним исходную функцию Лагранжа L(q,q• ,t) и полу-

~ •

чить приближенную функцию Лагранжа L(x,x,t). Часто в этом разложении можно ограничиться первыми неисчезающими квадратичными слагаемыми по величинам x• j и xj. В этом случае функция Лагранжа называется линеаризованной и порождает соответствующие уравнения Лагранжа: систему линейных дифференциальных уравнений. Эти приближенные уравнения, как правило, значительно более просты по сравнению с уравнениями, возникающими из исходной функции Лагранжа, они решаются стандартным образом и приводят к гармоническим колебаниям. При этом частоты получающихся линейных колебаний не зависят от их амплитуды.

Иногда для получения удовлетворительного решения квадратичного приближения бывает недостаточно, в этом случае рассматриваются следующие ангармонические члены разложения (кубический ангармонизм, ангармонизм четвертой степени). Здесь такие случаи разбираться не будут.

В присутствии сил трения (диссипативных сил) возможны затухающие колебания. При наличии внешней силы, меняющейся во времени, (возбуждающей силы) возможны вынужденные колебания, резонанс, автоколебания и другие интересные явления. В отсутствии сил трения и вынуждающих сил1 колебания механических систем возможны в областях фи-

1 •

Консервативные системы: полная энергия сохраняется, и лагранжиан L(q,q) от времени t явным образом не зависит.