Теоретическая физика. Механика (практический курс) |
67 |
|
|
иметь ϕ = arccos |
2e2 / mρv2 |
|
. Беря косинус от обеих частей этого ра- |
|||
1+ (2e2 / mρv2 )2 |
||||||
венства, получаем |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2e2 / mρv2 |
|
|
|
cosϕ = |
|
|
. |
(4.31) |
|
|
|
1+ (2e2 / mρv2 )2 |
||||
Вспоминая выражение (4.12), |
находим ϕ = π/ 2 − θ/ 2 |
и, следовательно, |
||||
cosϕ = sin(θ/ 2) . Далее с использованием (4.31) получаем интересующее нас соотношение между прицельным расстоянием и углом рассеяния в
ц-системе sin2 (θ/ 2)[1+ (2e2 / mρv2 )2 ] = (2e2 / mρv2 )2 . |
Вводя кинетическую |
энергию двигающейся частицы E = mv2 / 2, этому |
соотношению можно |
придать очень компактный вид |
|
tg(θ/ 2) = e2 / ρE. |
|
Наконец, пользуясь найденными выше выражениями (4.30), для углов рассеяния в лабораторной системе, получим
tg θ2 = tg(θ/ 2) = e2 / ρE, tgθ1 = ctg(θ/ 2) = ρE / e2.
Эти формулы вместе с выражениями (4.30) для величин скоростей v1+ и v2+ полностью решают поставленную задачу.
Задачи
Обязательные задачи
4.1.Показать, что задача о движении двух заряженных частиц в однородном электрическом поле с напряженностью E сводится к задаче о движении центра масс и о движении μ-частицы в заданном поле.
4.2.Потенциальная энергия взаимодействия двух частиц определяется выражением U ( r2 −r1 ) = (c / 2)( r2 −r1 −l)2 . Предполагая, что частицы все время находятся на расстоянии а друг от друга, найти величины скоростей частиц в системе центра масс.
Проблема двух тел и теория столкновения и рассеяния частиц |
68 |
|
|
4.3.Две частицы с массами m1 и m2, взаимодействующие по закону всемирного тяготения, совершают финитное движение. Показать, что минимальное и максимальное расстояние x между ними являются корнями квадратного уравнения
Ex2 + γm1m2 x −(m1 + m2 )M 2 / 2m1m2 = 0,
где Е и М − величины энергии и момента импульса системы соответственно, а γ − гравитационная постоянная. Из указанного уравнения найти условие, при котором реализуются круговые орбиты.
γ2m13m23 + 2M 2E(m1 + m2 ) = 0
4.4.Найти скорости после упругого "лобового удара" двух одинаковых частиц, двигающихся навстречу друг другу со скоростями v1 и v2 .
4.5.Определить отношение масс m1 и m2 двух частиц в следующих случаях: а) первая частица находится в покое; происходит упругий "лобовой удар", после которого вторая частица остается в покое; б) частицы встречаются с равными по величине и противоположными по направлению скоростями; после "лобового удара" вторая частица остается в покое.
4.6.Две частицы с массами m1 и m2 двигаются в одном и том же направлении. Каковы должны быть их скорости v1 и v2 , чтобы после столкновения догоняющая частица с массой m1 остановилась, а вторая частица получила бы заданную скорость u2? Столкновение частиц считать упругим.
4.7.Три абсолютно упругих шара с массами m1, m2, m3 покоятся в гладком горизонтальном желобе на некотором расстоянии друг от друга. Первый шар, пущенный с некоторой начальной скоростью, ударяет по второму шару, который, начав двигаться, в свою очередь, ударяет по третьему шару. При какой величине массы m2 второго шара третий шар получит наибольшую скорость?
m = |
m m |
|
2 |
1 3 |
|
Теоретическая физика. Механика (практический курс) |
69 |
|
|
4.8.Частица массы m1, двигающаяся со скоростью v1, рассеивается на покоящейся частице массы m2 = 3m1. После рассеяния частица с массой m2 двигается под углом π/4 к первоначальному направлению движения частицы с массой m1. Найти угол рассеяния 1-ой частицы θ1 и величины скоростей обеих частиц после рассеяния.
4.9.Шарик, обладающий скоростью v, испытывает абсолютно упругий удар о плоскость, двигающуюся со скоростью u. Найти скорость шарика после удара.
4.10.Покажите, что угол рассеяния θ1, первоначально покоящейся рассеивающей частицы относительно направления скорости такой же рассеивающейся частицы имеет следующее простое выражение
θ1 = (π − θ) / 2, где θ − угол рассеяния в системе центра масс.
4.11.Выразить скорости обеих частиц после рассеяния движущейся частицы с массой m2 на неподвижной частице с массой m1 через их углы рассеяния в лабораторной системе координат.
4.12.Определить интервал значений, который может иметь угол между направлениями скоростей после рассеяния движущейся частицы с массой m2 на первоначально покоящейся частице с массой m1.
[0 ≤β < π/ 2 (m2 > m1), β = π/ 2 (m2 = m1), π/ 2 <β ≤ π (m2 < m1)]
4.13.Частица массы m1, двигающаяся со скоростью v1, рассеивается на покоящейся частице массы m2. Определить угол рассеяния в системе центра масс, при котором покоящаяся частица получит всю кинетическую энергию двигающейся частицы.
4.14.Частица массы m1, двигающаяся со скоростью v1, налетает на покоящуюся частицу массы m2 и рассеивается на угол θ1. Найти угол рассеяния θ в системе центра масс, переданную часть кинетической энергии и отношение масс, при котором передаваемая энергия будет максимальной.
4.15.Частицы с массами m1 и m2 движутся навстречу друг другу со скоростями, равными по величине и противоположными по направле-
Проблема двух тел и теория столкновения и рассеяния частиц |
70 |
|
|
нию ( v1 + v2 = 0). Определить скорости обеих частиц после рассеяния в лабораторной системе координат как функции угла рассеяния в системе центра масс.
v+ |
= v− |
[4m2 |
+ (m |
− m )2 |
− 4m |
(m |
− m )cosθ]1/ 2 |
/(m |
+ m ), |
||||||||
1 |
|
|
2 |
2 |
|
2 |
1 |
|
|
2 |
2 |
1 |
1 |
2 |
|
||
|
+ |
|
|
− |
[4m |
2 |
+ (m |
− m ) |
2 |
− 4m |
(m |
1/ 2 |
/(m |
|
|
||
v |
|
= v |
|
|
− m )cosθ] |
+ m ), |
|||||||||||
2 |
|
|
2 |
1 |
|
2 |
1 |
|
|
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
|
||
tg |
θ = sin θ/[(m |
− m ) / 2m |
+ cosθ], |
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
= sin θ |
1 |
|
2 |
|
2 |
+ cosθ] |
|
|
|
|||||
tg |
θ |
2 |
/[(m |
− m ) / 2m |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Задачи средней трудности
4.16.Частица массы М налетает на покоящуюся частицу массы m (m < M) и рассеивается на ней. Найти максимально возможное значение угла рассеяния налетающей частицы.
4.17.Частица массы m1, двигающаяся со скоростью v , сталкивается с покоящейся частицей массы m2 так, что скорость ее образует при ударе угол α с линией, соединяющей центры масс частиц ("косой удар"). Определить скорости u1 и u2 каждой из частиц после удара, предполагая удар упругим.
4.18.Частица массы m упруго сталкивается с покоящейся частицей массы М (m < M) и отклоняется от первоначального направления на угол π/2. Под каким углом θ к направлению первоначального движения частицы с массой m полетит более тяжелая "частица отдачи".
4.19. Комета массы m движется в поле тяготения звезды массы М (М >> m), имея невозмущенную скорость (на бесконечности) v и прицельное расстояние ρ. Найти уравнение траектории кометы и определить угол θ, на который отклоняется ее траектория, когда она снова удаляется на бесконечность.
4.20.Для частицы массы m, двигающейся со скоростью v в поле с потенциалом U(r) = −α /r − β/r2, определить зависимость прицельного расстояния ρ от угла рассеяния θ.
|
2 |
|
1), σ = |
|
2β |
|
|
2E |
(l2 |
|
|
|
θ = π − |
arccos(− |
1− |
, e = |
1+ |
− 2β), l = ρv |
m |
||||||
|
l2 |
α2 |
||||||||||
|
σ |
e |
|
|
|
|
|
|
||||