Раздел 4. Проблема двух тел и теория столкновения и рассеяния частиц

Минимальные теоретические сведения

Проблема двух тел

Под проблемой двух тел понимают задачу о движении двух взаимодействующих частиц в отсутствие внешних сил. Ее решение лежит в основе небесной механики и теории свободного движения спутников, в основе теории столкновения и рассеяния частиц.

Уравнения движения частиц с массами m1 и m2, если потенциальная энергия их взаимодействия U(r) зависит только от расстояния между ними r, в инерциальной лабораторной системе координат Oxyz (л-системе) имеют вид

1 Оператор "набла" используется для вычисления потенциальной силы посредством вектор-

где V0 = (m1v10 + m2v20 ) / m, R0 = (m1r10 + m2r20 ) / m , а r10 , r20 , v10 , v20 − на-

чальные радиус-векторы и скорости соответствующих частиц, и получаем

Величину μ = m1m2 / m называют приведенной массой системы двух частиц, а уравнение (4.4) описывает движение μ-частицы в центрально-симмет-

используя которые, можно получить для r1′ и r2′

Поскольку радиус-векторы r1′ и r2′ описывают движение исходных частиц по отношению к ц-системе, можно утверждать, что уравнение (4.4), из ко-

торого находится r, тоже характеризует движение реальных частиц по отношению к ц-системе, а формально представляет собой уравнение движе-

ния фиктивной μ-частицы в заданном центральном поле с центром силы,

как бы помещенном в центр масс системы двух частиц. Решению этой за-

дачи был посвящен раздел 3. Найдя радиус-вектор μ-частицы r, и, исполь-

зуя (4.3) и (4.5), можно затем найти законы движения реальных частиц от-

носительно исходной системы координат

Теория столкновения и рассеяния частиц

Если в начальный момент времени две частицы находятся достаточно далеко друг от друга, а их начальные скорости направлены так, что с течением времени происходит сближение частиц, то в результате взаимодействия они могут снова удалиться на достаточно большое расстояние друг от друга, причем их скорости изменятся как по величине, так и по направлению. В этом случае говорят, что произошло рассеяние частиц. Рассеяние

частиц зависит от характера взаимодействия между частицами, поэтому

изучение таких процессов играет большую роль в физике.

В задаче о рассеянии считаются известными массы частиц и потенци-

альная энергия их взаимодействия как функция расстояния между ними, а взаимодействие с внешними объектами не принимается во внимание. До

рассеяния частицы считаются бесконечно удаленными друг от друга и об-

ладающими скоростями, равными

v1− = v1 (t) t=−∞ , v−2 = v2 (t)

где v1(t) и v2 (t) − скорости обеих частиц в момент времени t. Помимо скоростей v1− и v−2 , также считается известным так называемое прицельное расстояние ρ, т.е. минимальное расстояние, на котором частицы пролетели бы друг от друга, если бы не взаимодействовали между собой. Скорость

центра инерции

является интегралом движения и сохраняется во времени, а скорость μ- частицы в момент времени t = −∞

(4.9)

определяется через скорости рассеивающихся частиц. μ−частица двигает-

ся в одной плоскости, ориентация которой по отношению к ц-системе в

теории рассеяния считается заданной. По известным данным, v1− , v−2 , U(r), углу ε, задающему ориентацию плоскости движения μ-частицы, прицельному расстоянию ρ, в задаче о рассеянии требуется определить скорости обеих частиц после рассеяния, т.е. скорости частиц при t = +∞

В случае упругого рассеяния, после которого внутренняя энергия частиц остается неизменной и скорость μ-частицы по величине также не меняет-

ся, т.е. v+ = v− , общее решение задачи можно получить сразу, используя выражения радиус-векторов частиц через радиус-вектор μ-частицы (4.6), а также факт сохранения скорости центра масс (4.8) V+= V−= V. Дифференцируя (4.6) по времени, будем иметь

где eθ − единичный вектор, направленный по вектору v+ . Его направление

удобнее всего определить по отношению к направлению вектора v− , тогда он непосредственно будет характеризовать отклонение при рассеянии скоростей первой и второй частиц от их первоначальных направлений в ц- системе. Этот же вектор характеризует отклонение при рассеянии на центре масс скорости μ-частицы от ее начального направления. Угол θ между

векторами v+ и v− , называемый углом рассеяния в ц-

системе, очень просто связан с угловыми характери-

где угол ϕ есть угол между асимптотой траектории и

минимальным радиус-вектором μ-частицы rmin . Величину этого угла мы можем вычислить, воспользовавшись выражением

где rmin , определяющий точку поворота, является корнем уравнения

Вследствие того, что решение (4.11) получено лишь на основе законов сохранения полной энергии системы и ее импульса, скорости частиц по-

сле рассеяния v1+ и v+2 являются одними и теми же функциями скоростей до рассеяния v1− , v−2 , углов ε и θ при любом центральном взаимодействии частиц. С другой стороны, v1+ и v+2 как функции скоростей v1− , v−2 , угла ε и прицельного расстояния ρ будут различными для разных взаимодейст-

вий, так как зависимость θ от ρ и v− определяется конкретным видом по-

тенциальной энергии U(r).

Только в одном случае угол θ имеет определенное значение при лю-

бой потенциальной энергии взаимодействия. Это случай "лобового удара", когда

ρ = 0, ϕ = 0, θ = π

и, следовательно, вектор eθ направлен противоположно вектору v− . В таком случае его можно записать в виде

eθ = −v− / v−.

Это выражение для eθ вместе с решением (4.11) позволяет получить очень простые формулы для скоростей частиц после "лобового удара" (см. ниже задачу 4.4).

Если рассматриваемые частицы не являются точечными по величине, а обладают некоторыми конечными размерами, то удар частиц друг о

друга может произойти и при прицельном расстоянии не равном нулю. Конечно, в таком случае удар не обязательно будет "лобовым". В теории удара "лобовой удар" классифицируется как "центральный и прямой" и

определяется как такой удар, при котором точка соприкосновения соударяющихся тел и скорости их центров масс лежат на линии центров масс. Если хотя бы одна из скоростей центров масс соударяющихся тел до удара не лежит на линии центров масс, то удар называют "косым". В теории рассеяния о случаях удара тел говорят как о столкновении частиц, и столкновение частиц рассматривается как общий случай рассеяния частиц.

Рассмотрение общего случая, когда ρ ≠ 0 , становится более наглядным, если применить графическое изображение решения (4.11), т.е. воспользоваться, так называемой, диаграммой скоростей. Построение и использование диаграммы скоростей показано ниже на конкретном примере при решении Задачи 2.

На практике приходится иметь дело не с одним актом рассеяния, который рассмотрен выше, а с множеством таких актов. Для характеристики процесса рассеяния одного пучка частиц на другом вводят величину, назы-

ваемую дифференциальным эффективным поперечным сечением рассея-

ния dσ, определяя его как отношение числа μ-частиц, рассеиваемых за единицу времени в интервал углов θ и θ + dθ, к числу μ-частиц, пролетающих за единицу времени через единичную площадку поперечного сечения пучка μ-частиц до рассеяния. Величину dσ можно выразить в виде функции прицельного расстояния ρ

Если далее, используя уравнения (4.12)−(4.14), найти прицельное расстоя-

ние в зависимости от θ и v−

ρ =ρ(θ,v−),

то можно определить дифференциальное эффективное поперечное сечение

рассеяния обоих пучков как функцию угла рассеяния в ц-системе

Вместо выражения (4.16) часто используют dσ, отнесенное не к эле-

менту плоского угла dθ, а к элементу телесного угла dΩ :