Теоретическая физика. Механика (практический курс) |
49 |
|
|
для произвольных сил представляют особую ценность для теоретической механики.
Замечание. Рекомендуется воспроизвести и проверить эти общие формулы, взяв для рассмотрения частный случай: Φ(ρ) = ρ.
Задачи
Обязательные задачи
3.1.Материальная точка с массой m описывает окружность радиуса a, притягиваясь некоторой точкой О этой окружности. Найти силу притяжения и скорость точки как функции расстояния ρ до центра притяжения (момент импульса материальной точки считать заданным и равным М).
|
8M 2a2 |
eρ, v = |
2Ma |
||
F = − |
5 |
mρ |
2 |
|
|
|
|
|
|||
mρ |
|
|
|||
3.2.Доказать, что при движении частицы в поле V(ρ) = −α/ρ, где α – положительная константа, величина A = [v M] − αeρ есть интеграл движения. Найти траекторию частицы, используя при этом постоянство вектора А.
3.3.Спутник движется вокруг Земли по эллиптической орбите с эксцентриситетом е. Найти отношение максимального ϕ• max и минимального ϕ• min значений угловой скорости радиус-вектора спутника.
[ϕ• max/ϕ• min = (1 + e)2/(1 − e)2]
3.4.Первая космическая скорость v1 определяется как минимальная скорость, которую необходимо придать телу, чтобы оно стало искусственным спутником планеты. Вторая космическая скорость v2 определяется как минимальная скорость, которую должно иметь тело, чтобы выйти из сферы влияния планеты, и начать инфинитное движение. Оценить величины этих скоростей для Земли и Луны.
v = |
gR, v |
= v |
2, v |
8км/ сек, |
v |
1.7 км/ сек |
1 |
2 |
1 |
1З |
|
1Л |
|
Метод законов сохранения и движение в центральном поле |
50 |
|
|
3.5.Тело без начальной скорости падает на Землю с большой высоты Н. Найти зависимость скорости тела от его текущей высоты h. Исследовать случаи H/R << 1, h/R << 1 и H/R >> 1, h/R >> 1 (R − радиус Земли).
|
2gR2 (H − h) |
|
v(h) = |
|
|
|
||
|
(R + h)(R + H ) |
|
|
|
|
3.6.Тело падает на Землю с большой высоты h. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти время Т, по истечении которого тело достигнет поверхности Земли, и скорость, которую оно приобретет за это время. Радиус Земли R предполагается известным.
3.7.Найти траектории (изобразить их примерный вид) и закон движения частицы в поле U = −U0 (при r < R) и U = 0 (при r > R) (сферическая потенциальная яма) при различных значениях начального момента импульса М и энергии Е.
3.8.Найти траектории движения частицы и изобразить их примерный вид, если она двигается в потенциальном поле U(ρ).
а) U(ρ) = α/ρ + β/ρ2, (α > 0, β > 0); б) U(ρ) = −α/ρ + β/ρ2, (α > 0, β > 0);
в) U(ρ) = −α/ρ − β/ρ2, (α > 0, 0< β < M 2/2m); г) U(ρ) = −α/ρ − β/ρ2, (α > 0, β > M 2/2m).
3.9.Показать, что в поле U = −α/r − (F0r), где F0 – постоянная величина, скалярная величина I = (F0[vM]) − α(F0r)/r + [F0r]2/2 является интегралом движения.
3.10.Обобщить теорему о вириале сил для заряженной частицы, движущейся в однородном магнитном поле.
3.11.Найти траекторию материальной точки, полная энергия которой при движении в потенциальном поле U (r) = −α ln(rr2/ r0 ) равна нулю.
3.12.Найти зависимость от координат потенциала центрального поля, в котором материальная точка может двигаться по гиперболической спирали r = p /(aϕ+ b) , где p, a, b – константы.
Теоретическая физика. Механика (практический курс) |
51 |
|
|
Задачи средней трудности
3.13.С какой начальной скоростью v0, образующей угол α с горизонтом, нужно запустить ракету с Северного полюса Земли, чтобы она попала на экватор? Землю считать однородным шаром радиуса R, гравитационное поле которого совпадает с полем точки, помещенной в центре Земли и имеющей массу Земли. Найти также оптимальный угол запуска (с точки зрения минимизации необходимой начальной энергии). g − ускорение свободного падения на поверхности Земли.
|
|
gR |
|
|
v0 |
= |
|
, α = π/8 |
|
cosα(cosα + sin α) |
||||
|
|
|
3.14.Найти закон движения частицы массы m и заряда e в магнитном поле Н(0, 0, Н0Ф(x/a)). Начальные условия в декартовых координатах имеют вид: r(0) = 0, v(0) = (ωа,0,0), где ω = eH0/mc. Функция Ф(u)
(u = x/a) определяется соотношением Ф(u) = |
d |
W (u) . W(u), в свою |
||
du |
||||
|
|
|
||
очередь, задается следующими функциями: |
|
|||
а) W(u) = u2 + u−2; |
б) W(u) = 1/ch2(u); |
|||
в) W(u) = exp(2u) − αexp(u) (α > 0); |
г) W(u) = tg2(u). |
|||
3.15.Материальная точка движется в центрально-симметричном поле при наличии силы трения Fтр = −γ(v)v (v – величина вектора скорости). Доказать, что тело будет находиться в плоскости, проходящей через центр силы, при произвольных начальных условиях.
3.16.Частица с зарядом e движется в магнитном поле Н.
а) Доказать, что выражение J = (MH) + 2ec [rH]2 является интегра-
лом движения, если поле Н – однородное и постоянное (M – момент импульса частицы).
б) Пусть H(r) = H(r)(r/r). Останется ли в этом случае скалярная величина J интегралом движения?
Метод законов сохранения и движение в центральном поле |
52 |
|
|
3.17.Частица с зарядом e и массы m движется в поле магнитного монополя Н = μr/r3. Найти интеграл движения, следующий из закона сохранения момента импульса частицы.
3.18.Проинтегрировать уравнения движения свободной точки в цилиндрических координатах.
3.19.Шарик массы m находится на гладкой горизонтальной плоскости. В начальный момент времени ему сообщается скорость v под углом α к горизонту, после чего он начинает подпрыгивать над плоскостью. Постоянный коэффициент восстановления λ (λ = |py+|/|py−|, 0 < λ < 1) при ударе предполагается известным. Найти время τ, по истечении которого шарик перестает подпрыгивать. Найти также расстояние L, пройденное шариком по горизонтали за это время.
|
τ = |
2vsin α |
, L = |
v2 sin(2α) |
||
|
|
|
|
|||
g(1− λ) |
g(1− λ) |
|||||
|
|
|
|
|||
3.20.Телу массы m, находящемуся в состоянии покоя, сообщается скорость v. Как изменится совершаемая над ним работа, если скорость тела увеличится на ту же величину v, но от начального значения скорости v0?
[увеличится на величину m(vv0)]
3.21.Какие компоненты векторов импульса P и момента импульса M сохраняются при движении в следующих полях:
а) поле бесконечной однородной плоскости; б) поле бесконечного однородного цилиндра; в) поле двух точек; г) поле однородного конуса;
д) поле однородного кругового тора.
3.22.Найти наибольшую высоту подъема H над поверхностью Земли снаряда, вылетевшего с начальной скоростью v0, под углом α к горизонту и упавшего на Землю. Полагать силу притяжения Земли обратно пропорциональной квадрату расстояния до центра Земли, снаряд считать точечной массой, силой сопротивления пренебречь. Ус-