Раздел 3. Метод законов сохранения и движение в центральном поле

Минимальные теоретические сведения

Законы изменения и сохранения физических величин и интегралы движения

Как было продемонстрировано в предыдущем разделе, задача о движении одной частицы имеет общее решение для сравнительно широкого класса сил. Проблему движения двух частиц также можно решить в квадратурах при достаточно общих допущениях о силе взаимодействия между частицами (см. следующий раздел). Однако задача трех и большего количества частиц при общих предположениях о силах взаимодействия встречает непреодолимые трудности. Известны только некоторые частные решения этой задачи или решения для очень узкого класса взаимодействий.

В связи с этим приобретают огромное значение общие теоремы, справедливые при любом числе частиц, которые часто позволяют получить общие результаты без решения систем дифференциальных уравнений или контролировать правильность приближенных решений. Такими универсальными теоремами являются законы изменения и сохранения импульса, момента и энергии механической системы.

Законы сохранения физических величин приводят к интегралам движения. Интегралом движения называется такая функция времени, координат и скоростей частиц, которая при движении механической системы сохраняет постоянное значение, определяемое начальными условиями. Интегралы движения, содержащие скорости частиц, называются первыми инте-

гралами движения. Вторыми интегралами движения называются такие функции времени, координат частиц и произвольных констант, которые при движении системы сохраняют постоянные значения.

Наличие интегралов движения существенно облегчает решение сис-

темы уравнений движения. Знание, например, s независимых первых интегралов движения дает возможность понизить порядок системы дифференциальных уравнений на s. Для механической системы, состоящей из N частиц, система 6N первых интегралов или 3N вторых интегралов движения эквивалентны общему решению уравнений движения.

Сами законы сохранения, следовательно, и интегралы движения, являются следствием законов изменения физических величин со временем − их частными случаями. Закон изменения импульса системы N материаль-

ных точек P получается на основе второго закона Ньютона и имеет вид

N

где Fex = ∑Fiex − сумма всех внешних сил, действующих на точки систе-

i=1

мы. Для замкнутой, или изолированной, системы, т.е. системы, взаимодей-

ствием которой с прочими, не входящими в нее телами, можно пренебречь, внешние силы равны нулю и поэтому

N

P= ∑mivi = const = P0 ,

i=1

т.е. имеет место закон сохранения импульса и импульс является первым интегралом движения. Если система будет не замкнута, то в том случае, когда проекция суммы всех внешних сил на некоторую неподвижную ось (скажем ось z) в любой момент времени равна нулю, проекция импульса системы на ту же ось будет сохраняться, т. е.

N

Pz = ∑mi z&i =Pz0 .

i=1

Наряду с полным импульсом системы, важную роль в механике играет момент количества движения, или момент импульса системы. Он определяется как сумма моментов импульса отдельных точек системы

N N

M = ∑Mi = ∑[ri pi ],

i=1 i=1

где ri и pi − радиус-вектор и импульс i-ой точки системы. Закон изменения момента импульса системы имеет вид

N

где Lex = ∑[ri Fiex ] − момент всех внешних сил, действующих на систему.

i=1

Для изолированной системы точек Lex = 0 и из (3.2) получаем закон сохра-

нения момента количества движения

N

M= ∑[ri pi ] = const = M0 ,

i=1

т.е. полный момент количества движения изолированной системы точек остается постоянным и также является первым интегралом движения.

Введем полную потенциальную энергию системы U = Uex + Uin как сумму ее потенциальной энергии во внешних полях Uex и внутренней по-

стояния rki между i-ой и k-ой точками потенциальная энергия их взаимо-

действия. Определяя полную механическую энергию системы E = T + U как сумму кинетической T и полной потенциальной энергии U, можно полу-

чить закон ее изменения со временем в виде

Из (3.3) следует, что изменение полной энергии обусловлено нестационар-

N

ностью внешнего потенциального поля и мощностью N d = ∑(Fid vi ) всех

i=1

диссипативных сил Fid = Fiex.d + Fiin.d , как внешних Fiex.d , так и внутренних

Fiin.d . Если диссипативные силы (внешние и внутренние) отсутствуют и если потенциальная энергия системы во внешних полях не зависит явно от времени, то полная механическая энергия системы

будет сохраняться, т.е. будет интегралом движения. Такую систему назы-

вают консервативной.

Движение в центральном поле

Использование законов сохранения и интегралов движения удобно продемонстрировать на примере рассмотрения задачи о движении частицы в центральном поле.

Если сила, действующая на частицу, направлена вдоль ее радиус-век- тора (параллельно или антипараллельно ему), то такая сила называется центральной. Если к тому же модуль этой силы зависит только от величины радиус-вектора, то сила является потенциальной и стационарной. Тогда помещая начало системы координат в силовой центр, в соответствии с (3.2) и (3.3) получим четыре первых скалярных интеграла движения

M = m[r v] = M0 , E = 12 mv2 +U (r) = E0 .

Из этих четырех интегралов независимы только три, поскольку три компоненты момента импульса Mx, My, Mz связаны между собой соотношением

(Mv) = m([r v]v) = 0.

Наряду с первыми интегралами движения, в данной задаче можно найти три вторых независимых интеграла. Один из них получается в результате скалярного умножения вектора момента импульса M на радиусвектор r

(Mr) = M x x + M y y + M z z = m([r v]r) = 0

и представляет собой уравнение плоскости, в которой происходит движение частицы и которая оказывается перпендикулярной направлению сохраняющегося момента M . Два других вторых интеграла движения можно получить направляя ось z по вектору M и вводя на плоскости xOy полярные координаты ρ и ϕ. Для величины момента M и полной энергии частицы E тогда найдем

Выражая из 1-го соотношения ϕ& через M / mρ2 и подставляя во второе, для энергии частицы будем иметь

Разделяя в этом уравнении переменные и интегрируя по времени от 0 до t, получаем еще один второй интеграл в виде

Далее, написав dϕ как dϕ = mMρ2 dt и интегрируя по ϕ от 0 до ϕ, находим

3-ий второй интеграл движения

Формулы (3.4) и (3.5) в общем виде решают поставленную задачу. Вторая из них определяет связь между координатами ρ и ϕ, т.е. дает уравнение траектории на плоскости, в то время как первая определяет в неявном виде расстояние ρ двигающейся частицы от силового центра как функцию времени.

В частности, для силы притяжения, меняющейся обратно пропорционально квадрату расстояния до силового центра, т.е. для потенциальной энергии U (ρ) = −α/ ρ с α > 0 (проблема Кеплера), из (3.5) получим уравнение траектории в виде

с параметрами p и ε, определяемыми соотношениями