4-

Монотонные функции Самодвойственные функции

Суперпозиция и двойственность

Теорема. Если

h(x1; : : : ; xn) = f (g1(x1; : : : ; xn); : : : ; gm(x1; : : : ; xn)), то h (x1; : : : ; xn) = f (g1(x1; : : : ; xn); : : : ; gm(x1; : : : ; xn)).

Доказательство. f (g1(x1; : : : ; xn); : : : ; gm(x1; : : : ; xn)) =

= f g1(x1; : : : ; xn); : : : ; gm(x1; : : : ; xn) =

= f g1(x1; : : : ; xn); : : : ; gm(x1; : : : ; xn) =

Монотонные функции Самодвойственные функции

Суперпозиция и двойственность

Теорема. Если

h(x1; : : : ; xn) = f (g1(x1; : : : ; xn); : : : ; gm(x1; : : : ; xn)), то h (x1; : : : ; xn) = f (g1(x1; : : : ; xn); : : : ; gm(x1; : : : ; xn)).

Доказательство. f (g1(x1; : : : ; xn); : : : ; gm(x1; : : : ; xn)) =

= f g1(x1; : : : ; xn); : : : ; gm(x1; : : : ; xn) =

= f g1(x1; : : : ; xn); : : : ; gm(x1; : : : ; xn) = = f (g1(x1; : : : ; xn); : : : ; gm(x1; : : : ; xn)) =

Монотонные функции Самодвойственные функции

Суперпозиция и двойственность

Теорема. Если

h(x1; : : : ; xn) = f (g1(x1; : : : ; xn); : : : ; gm(x1; : : : ; xn)), то h (x1; : : : ; xn) = f (g1(x1; : : : ; xn); : : : ; gm(x1; : : : ; xn)).

Доказательство. f (g1(x1; : : : ; xn); : : : ; gm(x1; : : : ; xn)) =

= f g1(x1; : : : ; xn); : : : ; gm(x1; : : : ; xn) =

= f g1(x1; : : : ; xn); : : : ; gm(x1; : : : ; xn) =

= f (g1(x1; : : : ; xn); : : : ; gm(x1; : : : ; xn)) = h(x1; : : : ; xn) =

Монотонные функции Самодвойственные функции

Суперпозиция и двойственность

Теорема. Если

h(x1; : : : ; xn) = f (g1(x1; : : : ; xn); : : : ; gm(x1; : : : ; xn)), то h (x1; : : : ; xn) = f (g1(x1; : : : ; xn); : : : ; gm(x1; : : : ; xn)).

Доказательство. f (g1(x1; : : : ; xn); : : : ; gm(x1; : : : ; xn)) =

= f g1(x1; : : : ; xn); : : : ; gm(x1; : : : ; xn) =

= f g1(x1; : : : ; xn); : : : ; gm(x1; : : : ; xn) =

=f (g1(x1; : : : ; xn); : : : ; gm(x1; : : : ; xn)) = h(x1; : : : ; xn) =

=h (x1; : : : ; xn):

Монотонные функции Самодвойственные функции

Самодвойственные функции

I Функция f называется самодвойственной, если f = f .

Монотонные функции Самодвойственные функции

Самодвойственные функции

I Функция f называется самодвойственной, если f = f .

I Функции f (x) = x и g(x) = x самодвойственны.

Монотонные функции Самодвойственные функции

Самодвойственные функции

I Функция f называется самодвойственной, если f = f .

IФункции f (x) = x и g(x) = x самодвойственны.

IФункция d(x; y; z) = xy _ yz _ xz самодвойственна.

Монотонные функции Самодвойственные функции

Суперпозиция самодвойственных функций

Теорема. Если

h(x1; : : : ; xn) = f (g1(x1; : : : ; xn); : : : ; gm(x1; : : : ; xn)), то h (x1; : : : ; xn) = f (g1(x1; : : : ; xn); : : : ; gm(x1; : : : ; xn)).

Монотонные функции Самодвойственные функции

Суперпозиция самодвойственных функций

Теорема. Если

h(x1; : : : ; xn) = f (g1(x1; : : : ; xn); : : : ; gm(x1; : : : ; xn)), то h (x1; : : : ; xn) = f (g1(x1; : : : ; xn); : : : ; gm(x1; : : : ; xn)).

Следствие. Если f ; g1; g2; : : : ; gm самодвойственные функции, то функция

h(x1; : : : ; xn) = f (g1(x1; : : : ; xn); : : : ; gm(x1; : : : ; xn))

также является самодвойственной.

Монотонные функции Самодвойственные функции

Количество самодвойственных функций

Теорема. Функция f является самодвойственной тогда и только тогда, когда существует функция g такая, что

f (x1; : : : ; xn) = x1 g(x2; : : : ; xn) _ x1 g(x1; : : : ; xn):

Единственность g следует из g(x2; : : : ; xn) = f (1; x2; : : : ; xn):