4-

Монотонные функции Самодвойственные функции

Монотонные функции

IНабор (x1; x2; : : : ; xn) 2 Bn меньше или равен набору

(y1; y2; : : : ; yn) 2 Bn, (x1; x2; : : : ; xn) (y1; y2; : : : ; yn), если

x1 y1; x2 y2; : : : ; xn yn:

Монотонные функции Самодвойственные функции

Монотонные функции

IНабор (x1; x2; : : : ; xn) 2 Bn меньше или равен набору

(y1; y2; : : : ; yn) 2 Bn, (x1; x2; : : : ; xn) (y1; y2; : : : ; yn), если

x1 y1; x2 y2; : : : ; xn yn:

IФункция f : Bn ! B называется монотонной, если

(x1; : : : ; xn) (y1; : : : ; yn) =) f (x1; : : : ; xn) f (y1; : : : ; yn)

для всех (x1; x2; : : : ; xn); (y1; y2; : : : ; yn) 2 Bn.

Монотонные функции Самодвойственные функции

Примеры

I Функции 0, 1; x & y и x _ y монотонны.

Монотонные функции Самодвойственные функции

Примеры

IФункции 0, 1; x & y и x _ y монотонны.

IФункция f (x; y; z) = x + y + z не монотонна,

Монотонные функции Самодвойственные функции

Примеры

IФункции 0, 1; x & y и x _ y монотонны.

IФункция f (x; y; z) = x + y + z не монотонна, так как

(0; 1; 0) (1; 1; 0);

но 1 = f (0; 1; 0) > f (1; 1; 0) = 0:

Монотонные функции Самодвойственные функции

Суперпозиция монотонных функций

Теорема. Если f ; g1; g2; : : : ; gm монотонные функции, то функция

h(x1; : : : ; xn) = f (g1(x1; : : : ; xn); : : : ; gm(x1; : : : ; xn))

также является монотонной.

Монотонные функции Самодвойственные функции

Суперпозиция монотонных функций

Теорема. Если f ; g1; g2; : : : ; gm монотонные функции, то функция

h(x1; : : : ; xn) = f (g1(x1; : : : ; xn); : : : ; gm(x1; : : : ; xn))

также является монотонной.

Доказательство. Пусть ~x = (x1; : : : ; xn) ~y = (y1; : : : ; yn).

Монотонные функции Самодвойственные функции

Суперпозиция монотонных функций

Теорема. Если f ; g1; g2; : : : ; gm монотонные функции, то функция

h(x1; : : : ; xn) = f (g1(x1; : : : ; xn); : : : ; gm(x1; : : : ; xn))

также является монотонной.

Доказательство. Пусть ~x = (x1; : : : ; xn) ~y = (y1; : : : ; yn). Так как функции g1; : : : gm монотонны

(g1(~x); : : : ; gm(~x)) (g1(~y); : : : ; gm(~y)):

Монотонные функции Самодвойственные функции

Суперпозиция монотонных функций

Теорема. Если f ; g1; g2; : : : ; gm монотонные функции, то функция

h(x1; : : : ; xn) = f (g1(x1; : : : ; xn); : : : ; gm(x1; : : : ; xn))

также является монотонной.

Доказательство. Пусть ~x = (x1; : : : ; xn) ~y = (y1; : : : ; yn). Так как функции g1; : : : gm монотонны

(g1(~x); : : : ; gm(~x)) (g1(~y); : : : ; gm(~y)):

Так как функция f монтонна,

h(~x) = f (g1(~x); : : : ; gm(~x)) f (g1(~y); : : : ; gm(~y)) = h(~y).

Монотонные функции Самодвойственные функции

Простые импликанты монотонных функций

Теорема. Простые импликанты монотонных функций не содержат отрицаний.