4-

Монотонные функции Самодвойственные функции

Сокращенная ДНФ монотонных функций

Теорема. Сокращенная ДНФ монотонной функции является тупиковой (и, следовательно, минимальной).

Доказательство. Пусть K = x1 & : : : & xk простой импликант f (x1; x2; : : : ; xn), k n, f = K _ f 0, где f 0 дизъюнкция всех простых импликантов f , кроме K .

Докажем, что f 6= f 0. Заметим, что каждый импликант K 0 6= K должен содержать литерал xi , i > k, так как K простой. Поэтому, при

x1 = 1; : : : ; xk = 1; xk+1 = 0; : : : ; xn = 0

имеем

f (x1; : : : ; xn) = 1 6= 0 = f 0(x1; : : : ; xn):

Значит, f 6= f 0:

Монотонные функции Самодвойственные функции

Двойственная функция

IДвойственной функцией к функции f называется функция

f (x1; : : : ; xn) = f (x1; : : : ; xn):

Монотонные функции Самодвойственные функции

Двойственная функция

IДвойственной функцией к функции f называется функция

f (x1; : : : ; xn) = f (x1; : : : ; xn):

I x & y = x & y = x _ y:

Монотонные функции Самодвойственные функции

Двойственная функция

IДвойственной функцией к функции f называется функция

f (x1; : : : ; xn) = f (x1; : : : ; xn):

Ix & y = x & y = x _ y:

Ix + y = x + y = x $ y:

Монотонные функции Самодвойственные функции

Двойственная функция

IДвойственной функцией к функции f называется функция

f (x1; : : : ; xn) = f (x1; : : : ; xn):

Ix & y = x & y = x _ y:

Ix + y = x + y = x $ y:

Ix j y = x j y = x # y:

Монотонные функции Самодвойственные функции

Двойственная функция

IДвойственной функцией к функции f называется функция

f (x1; : : : ; xn) = f (x1; : : : ; xn):

Ix & y = x & y = x _ y:

Ix + y = x + y = x $ y:

Ix j y = x j y = x # y:

I0 = 1:

Монотонные функции Самодвойственные функции

Двойственная функция

IДвойственной функцией к функции f называется функция

f (x1; : : : ; xn) = f (x1; : : : ; xn):

Ix & y = x & y = x _ y:

Ix + y = x + y = x $ y:

Ix j y = x j y = x # y:

I0 = 1:

IОтметим, что (f ) = f :

Монотонные функции Самодвойственные функции

Суперпозиция и двойственность

Теорема. Если

h(x1; : : : ; xn) = f (g1(x1; : : : ; xn); : : : ; gm(x1; : : : ; xn)), то h (x1; : : : ; xn) = f (g1(x1; : : : ; xn); : : : ; gm(x1; : : : ; xn)).

Монотонные функции Самодвойственные функции

Суперпозиция и двойственность

Теорема. Если

h(x1; : : : ; xn) = f (g1(x1; : : : ; xn); : : : ; gm(x1; : : : ; xn)), то h (x1; : : : ; xn) = f (g1(x1; : : : ; xn); : : : ; gm(x1; : : : ; xn)).

Доказательство. f (g1(x1; : : : ; xn); : : : ; gm(x1; : : : ; xn)) =

Монотонные функции Самодвойственные функции

Суперпозиция и двойственность

Теорема. Если

h(x1; : : : ; xn) = f (g1(x1; : : : ; xn); : : : ; gm(x1; : : : ; xn)), то h (x1; : : : ; xn) = f (g1(x1; : : : ; xn); : : : ; gm(x1; : : : ; xn)).

Доказательство. f (g1(x1; : : : ; xn); : : : ; gm(x1; : : : ; xn)) =

= f g1(x1; : : : ; xn); : : : ; gm(x1; : : : ; xn) =