§7 Экстремумы функций нескольких переменных

Точка , принадлежащая области определенияфункции , называется стационарной точкой функции, если в этой точке каждая из её частных производных равна нулю, т.е. ,…,или.

Точка называетсяточкой минимума (максимума) функции , если существует окрестность точки такая, что для всех точекэтой окрестности выполняется неравенство().

Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.

Необходимое условие экстремума. Если - точка локального экстремума функции , дифференцируемой в точке, то- стационарная точка функции.

Достаточное условие экстремума. Пусть - стационарная точка дважды дифференцируемой в точке функции _. Тогда, если при всевозможных наборах значений , не равных одновременно нулю:

1) , то в точкефункцияимеет максимум;2) , то в точкефункция имеет минимум;3) принимает как положительные, так и отрицательные значения, то в точкефункцияне имеет экстремума.

Исследование знака сводится к исследованию знакоопределённости второго дифференциала, как квадратичной формы относительно переменных (например, с помощью критерия Сильвестра).

В частности, функция в стационарной точке, при условии, где,,:1) имеет максимум, если и;2) имеет минимум, если и;3) не имеет экстремума, если .

В задачах 6.82-6.100 найти экстремумы следующих функций нескольких переменных:

6.82 . 6.83. 6.84. 6.85.

6.86 . 6.87.

6.88().6.89

6.90 . 6.91.

6.92 . 6.93.

6.94. 6.95.

6.96 .

6.97 .

6.98 .

6.99 . 6.100.

Точка называетсяточкой условного минимума (максимума) функции , если существует окрестность точки такая, что для всех точекэтой окрестности, удовлетворяющих уравнениям связи() выполняется неравенство(). Точки условного минимума и максимума функции называютсяточками условного экстремума, а значения функции в этих точках – условными экстремумами функции.

Задача нахождения условного экстремума сводится к нахождению обычного экстремума функции Лагранжа ,

где () –постоянныемножители Лагранжа.

Необходимое условие условного экстремума. Если - точка условного экстремума функциипри наличии уравнений связи() , то в точке выполняются условия

.

Решая данную систему, находят неизвестные координаты точки , в которой возможен условный экстремум и соответствующие ей значения множителей Лагранжа.

Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании изучения (например, с помощью критерия Сильвестра) знака второго дифференциала функции Лагранжа в точкепри значениях, рассматриваемого как квадратичная форма относительно переменныхпри условии, что они связаны соотношениями:().

В частности, для функции исследуется знакпри условии.

Достаточное условие условного экстремума. Пусть - точка возможного условного экстремума функции , т.е. в этой точке выполнены необходимые условия условного экстремума. Тогда, если при всевозможных наборах значений, удовлетворяющих соотношениям() и не равных одновременно нулю:

1) , то в точкефункцияимеет условный максимум;2) , то в точкефункция имеет условный минимум;3) принимает как положительные, так и отрицательные значения, то в точкефункцияне имеет условного экстремума.

В задачах 6.101-6.108 найти условные экстремумы следующих функций нескольких переменных:

6.101 при .

6.102 при .

6.103 при .

6.104 при .

6.105 при .

6.106 при .

6.107 при .

6.108 при .

Если функция дифференцируема в ограниченной и замкнутой области, то она достигает своих наибольшего и наименьшего значений в этой области или в стационарной точке, или в граничной точке области.

В задачах 6.109-6.111 найти наибольшее и наименьшее значения следующих функций в указанных областях: