§5. Некоторые приложения частных производных.

Уравнение касательной плоскости к поверхности в точкеимеет вид

,

а уравнение нормали – вид .

В случае задания поверхности неявным уравнением :-уравнение касательной плоскости к поверхности в точке и

- уравнение нормали.

6.72 Написать уравнения касательной плоскости и нормали в точке к следующим поверхностям:

а) ; б);

в) ;

г)

6.73 Написать уравнения касательной плоскости и нормали в точке к следующим поверхностям:

а) ;

б) ; в);

г) .

6.74 Для поверхности найти уравнение касательной плоскости, параллельной плоскости

6.75 Для поверхности найти уравнение нормали, параллельной прямой

Множество точек называетсявыпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками и, оно содержит и отрезок.

Функция , определённая на выпуклом множественазываетсявыпуклой вверх, если для всех точек , где,и для любоговыполняется неравенствоивыпуклой вниз, если .

Матрица называетсяматрицей Гессе функции в точке.

Дважды дифференцируемая на выпуклом множестве функцияявляется на этом множестве:1) выпуклой вниз, если при всех;2) выпуклой вверх, если при всех. Если на множествематрица Гессефункциизнакопеременна, тона этом множестве выпуклой не является.

Знакоопределённость матрицы Гессе устанавливают, используя критерий Сильвестра знакоопределённости матриц квадратичных форм.

6.76. Исследовать следующие функции на выпуклость:

а) ; б);

в) ; г).

Частные эластичности функции вычисляются по формулам:,. Частные эластичности,являются мерами реагирования переменнойна изменение переменныхи, и показывают приближённый процентный приростпри измененииина один процент, соответственно.

Под производственной функцией понимается функция , независимые переменные которойимеют смысл объёмов используемых ресурсов, а зависимая переменная– объёма выпускаемой продукции.

Предельной по переменной дляназывается величина,средней– величина . Буква -сокращение от слова (предельный), буква- сокращение от слова(средний).

Производственной функцией Кобба-Дугласа называется функция вида , где- некоторые постоянные,- объём производственных фондов,- объём трудовых ресурсов,- объём выпускаемой продукции.

6.77. Найти частные эластичности ифункцийв указанных точках:

а) , ;б) , .

6.78 Для заданных значений инайти:а) среднюю и предельную производительности труда; б) среднюю и предельную фондоотдачу; в) эластичности выпуска по труду и по фондам, если производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:

1) ,,;

2) ,,.

§6 Формула Тейлора.

Если функция дифференцируемараз в точке, то приимеет местоформула Тейлора (порядка ) с остаточным членом в форме Пеано

,

где при. Частный случай формулы Тейлора в точкеназываетсяформулой Маклорена.

6.79 Разложить по формуле Тейлора следующие функции в окрестности указанных точек:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

6.80 Выписать члены до второго порядка включительно формулы Тейлора для функции в окрестности точки:

а);б) ;

в).

6.81 Разложить функции по формуле Маклорена до членов третьего порядка включительно:

а) ;б) .