7.249 А) ;

б) ;

в) (гиперболическая спираль) .

7.250 На циклоиде найти точку , которая делит длину первой арки циклоиды в отношении, считая от начала координат.

Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси дуги кривой,, равна.

Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси дуги кривой,, равна.

При параметрическом задании дуги кривой ,,, площадь поверхности вычисляется по формулам:

, .

Площадь поверхности, образованной вращением вокруг полярной оси (оси ) дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением,, равна.

В задачах 7.251-7.253 найти площади поверхностей, образованных вращением кривых вокруг указанной оси.

7.251 а) ,вокруг оси ;

б)(циклоида) вокруг оси ;

в) (кардиоида) вокруг полярной оси.

7.252 а) ,вокруг оси ;

б) (эвольвента окружности)

вокруг оси ;

в) (окружность) вокруг полярной оси.

7.253 а) ,вокруг оси ;

б) вокруг оси ;

в) (окружность) вокруг полярной оси.

Если - площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси, в точке с аппликатой, тообъём этого тела равен , гдеи- аппликаты крайних сечений тела.

Объём тела, образованного вращением вокруг оси плоской фигуры,равен.

Объём тела, образованного вращением вокруг оси плоской фигуры,, равен.

Объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры,, равен.

7.254 Вычислить объёмы тел, ограниченных поверхностями:

а) ,; б),,;

в) ,,;

г) ,,.

В задачах 7.255-7.260 вычислить объемы тел, полученных вращением плоской фигуры Ф , ограниченной указанными линиями вокруг: а) оси ;б) оси .

7.255 Ф: .

7.256 Ф: .7.257 Ф: .

7.258 Ф: .

7.259 Ф:

7.260 Ф: , (циклоида).

7.261 Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями,,,.

7.262 Найти объём тела, образованного вращением параболического сегмента с основанием и высотойвокруг высоты.

4.2 Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики, физики и экономики.

Статические моменты и,моменты инерции и,масса , координатыицентра масс дуги кривой,относительно осейивычисляются по формулам:

, ,

, ,

, ,.

При параметрическом задании дуги кривой ,,:,,

, .

Путь , пройденный телом со скоростью за отрезок времени, равен.

Работа переменной силы , действующей вдоль осина отрезке, равна.

Объём продукции , произведённой за отрезок временипри производительности, равен.

Издержки производства при известной функции издержеки заданном изменении объёмапроизводстваравны

7.263 Найти статический момент синусоиды относительно осиОх.

7.264 Найти статический момент и момент инерции относительно оси Ох дуги кривой .

7.265 Найти статический момент и момент инерции полуокружности радиуса а относительно ее диаметра.

7.266 Найти статический момент и момент инерции относительно оси Ох одной арки циклоиды .

7.267 Найти координаты центра масс дуги окружности , расположенной в первой четверти.

7.268 Найти координаты центра масс дуги астроиды , расположенной выше осиОх.

7.269 Найти массу стержня длины , если линейная плотность стержня меняется по закону(кг/м3) , где - расстояние от одного из концов стержня.

7.270 Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой (м/сек). Найти путь , пройденный телом заот начала движения.

7.271 Вычислить путь, пройденный свободно падающим в пустоте телом за , если известно, что скоростьсвободного падения в пустоте определяется формулой, где- начальная скорость тела,- ускорение свободного падения.

7.272 Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью , без учета сопротивления воздуха равна, гдеt- протекшее время, g- ускорение свободного падения. На какую максимальную высоту поднимется тело?

7.273 Какую работу надо затратить (в ), чтобы растянуть пружину на, если сила врастягивает её на(Указание: по закону Гука сила прямо пропорциональна растяжению пружины).

7.274 Сила тока, измеряемая в амперах, определяется формулой . Найти количество электричества (в кулонах), протекшее через поперечное сечение проводника за, считая время от начала опыта.

7.275 Найти количество тепла , выделяемое переменным токомза времяв проводнике с сопротивлением(Указание: по закону Джоуля-Ленца количество тепла, выделяемой постоянным током за время , равно).

7.276 Сила переменного тока меняется по закону , где-период. Найти среднее значение силы тока за полупериод.

7.277 Найти среднее значение издержек производства некоторой продукции при заданном изменении объёма производства , если функция издержек имеет следующий вид:

а) ,;

б) ,.

7.278 Доход от инвестиций в некоторое производство равен нулю в течение первого года, а затем изменяется по закону , где- время в годах. Найти среднее значение дохода от инвестиций в течение первых пяти лет.

7.279 Найти среднее значение издержек производства и объём продукции , при котором издержки, задаваемые функцией, принимают среднее значение.

7.280 Определить объём продукции, произведённой рабочим за указанный промежуток времени рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией :а) за пятый час рабочего дня; б) за первые 3 часа рабочего дня.

185