7.205 . 7.206. 7.207.

7.208 . 7.209. 7.210.

7.211 . 7.212. 7.213.

В задачах 7.214-7.219, используя признаки сходимости, исследовать сходимость следующих интегралов:

7.214. 7.215. 7.216.

7.217 7.2187.219.

3.2. Интегралы от неограниченных функций.

Если функция интегрируема прии, тонесобственным интегралом второго рода от функции на отрезкеназываетсяи обозначается, т.е.. Аналогично, в случаеи:.

Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Признаки сходимости и расходимости.

1. Пусть при ,,. Тогда, еслисходится, то сходится и, еслирасходится, то расходится и.

2. Если и, т.е.~при, то:1) при сходится;2) при расходится.

Аналогично устанавливаются признаки сходимости и расходимости при,,.

В задачах 7.220-7.228 вычислить несобственные интегралы (или установить их расходимость).

7.220 . 7.2217.222.

7.223. 7.224. 7.225.

7.226. 7.227. 7.228.

В задачах 7.229-7.234, используя признаки сходимости, исследовать сходимость следующих интегралов:

7.229 . 7.230. 7.231.

7.232 . 7.233. 7.234.

§4.Некоторые приложения определенного интеграла.

4.1. Геометрические приложения определённого интеграла.

Площадь фигуры ,равна

.

Площадь фигуры ,равна

.

Если фигура ограничена кривой, заданной параметрическими уравнениями ,, прямыми,и осью, то её площадь равна, гдеиопределяются из уравнений,(на отрезке).

Площадь криволинейного сектора ,, где- полярные координаты, равна.

В задачах 7.235-7.238 вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в прямоугольных координатах:

7.235 а) ,; б),;

в) ,.

7.236 а),; б),;в),,,.

7.237 а) ,,;

б) ,; в),,,,.

7.238 а) ,; б),;

в) ,,.

7.239 Найти площадь фигуры, ограниченной параболой , касательной к ней в точкеи осями координат.

В задачах 7.240-7.243 вычислить площади плоских фигур, ограниченных линиями: а) заданными параметрически;

б) заданными в полярных координатах.

7.240 а) (астроида);

б) ,(окружности).

7.241 а) (эллипс) и ;

б) (трилистник) .

7.242 а)(циклоида) и ;

б) (кардиоида)

7.243 а) (кардиоида);

б) (лемниската).

7.244 Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой и окружностью).

7.245 Найти площадь фигуры, ограниченной окружностью и кардиоидой(вне кардиоиды).

Длина дуги плоской кривой ,равна

Длина дуги плоской кривой, заданной параметрическими уравнениями ,,, равна.

Длина дуги пространственной кривой, заданной параметрическими уравнениями ,,,, равна:

.

Длина дуги плоской кривой, заданной в полярных координатах уравнением ,, равна.

В задачах 7.246-7.249 найти длины дуг следующих кривых:

7.246 А) ;

б) (астроида);

в) (кардиоида).

7.247 А) ;

б)

в) (окружность).

7.248 А) ;

б) (циклоида)

в) (спираль Архимеда).