Основные свойства определённого интеграла:

1. .

2. .

3. .

4. Если на , то .

5. Если непрерывна на отрезке,- наименьшее,- наибольшее значенияна, то (теорема об оценке определённого интеграла) .

6. Если непрерывна на отрезке, то существует точкатакая, что справедливо равенство (теорема о среднем значении). Число называется при этомсредним значением функции непрерывной на отрезке.

Понятие определённого интеграла тесно связано с понятием неопределённого интеграла (первообразной).

Если функция непрерывна на отрезкеи- одна из её первообразных, то справедливо равенство:

(формула Ньютона-Лейбница).

Следствиями формулы Ньютона-Лейбница являются формулы замены переменной и интегрирования по частям в определённом интеграле.

Если функции инепрерывно дифференцируемы на, то(формула интегрирования по частям).

Если функция - непрерывно дифференцируема на отрезкеи функциянепрерывна на отрезке, где,(-образ отрезка, т.е. отрезок для которогопри всех), то

(формула замены переменной).

В формуле замены переменной в определённом интеграле, вообще говоря, не предполагается монотонности функции . При замене переменной в определённом интеграле в отличие от вычисления неопределённого не нужно возвращаться к исходному аргументу, так как преобразованный определённый интеграл берётся по тому отрезку, по которому изменяется новый аргумент.

При вычислении неопределённого интеграла по умолчанию предполагалось, что первообразная находится на тех промежутках, на которых выполняемые преобразования подынтегральной функции являются тождественными. При вычислении же определённого интеграла первообразная находится на заданном отрезке, поэтому здесь уже необходимо следить за тождественностью выполняемых преобразований.

7.181 Используя теорему об оценке определённого интеграла, оценить следующие интегралы:

а) ;б);в)

7.182 Не вычисляя интегралов, определить, какой из интегралов больше:

а)или; б) или

7.183 Определить средние значения данных функций в указанных промежутках:

а) на ; б) на ;

в) на ;г) на .

7.184 Объяснить, почему формальное применение формулы Ньютона-Лейбница приводит к неверным результатам:

а) ;б)

7.185 Можно ли в интегралеположить.

7.186 Доказать, что для непрерывной на отрезке функцииимеем:1), если- нечётная функция;

2), если- чётная функция.

7.187 Доказать, что если -непрерывная периодическая функция, определённая прии имеющая период, то, где- любое число.

7.188 Доказать справедливость следующих равенств:

1);2);

3);4).

7.189 Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

В задачах 7.190-7.204 вычислить следующие интегралы:

7.190 а) ;б);в) .

7.191 а) ; б) ;в).

7.192 а) ; б); в).

7.193 а);б);в).

7.194 а);б); в).

7.195 а);б);в).

7.196 а); б) ;в).

7.197 а);б);в).

7.198 А); б); в).

7.199 а); б); в).

7.200 а); б);в).

7.201 а); б); в).

7.202 а); б); в).

7.203 а); б); в).

7.204 а); б);в).

§ 3. Несобственные интегралы.

3.1 Интегралы с бесконечными пределами.

Если функция интегрируема на отрезке, тонесобственным интегралом первого рода от функции на промежуткеназываетсяи обозначается, т.е.. Аналогично:.

Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Несобственный интегралопределяется равенством:

, где - произвольное число, причём интеграл в левой части равенства сходится, если сходятся оба интеграла в правой части.

Признаки сходимости и расходимости.

1. Пусть при . Тогда, еслисходится, то сходится и, еслирасходится, то расходится и.

2. Если и, т.е.~при, то:1) при сходится;2) при расходится.

Аналогично устанавливаются признаки сходимости и расходимости интеграла .

В задачах 7.205-7.213 вычислить несобственные интегралы (или установить их расходимость).