Математика-2-й семестр (курс лекций)

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Доказательство. Покажем вначале, что

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

11.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 359 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Пример 3.

lim sin2 4x lim sin2 4x

(4x)2

16.

x 0

x 0 (4x)2

1 cos x lim

2sin2

2sin2 (x 2)

1 .

Пример 4.

lim

x 0

x 0 x

x 0 4(x

Следствиями из первого замечательного предела являются:

1) lim	tgx	1
1) lim	x	1
x 0

2) lim arcsin x 1

x 0 x

arctgx 3) lim x 1.

x 0

1.7.2. Второй замечательный предел и его следствия

Соотношения, которые будут доказаны в теоремах 1.26 и 1.27 данного пункта, носят название второго замечательного предела.

Теорема 1.26. Предел lim 1

n n

нечен.

Предварительно докажем лемму.

Лемма. (Бернулли). Для всякого равенство

qn 1 n(q 1).

Доказательство леммы. Сумма Sn

ческой прогрессии 1, q, q2 ,..., qn 1 равна

существует и ко-

q 1 выполнено не-

n членов геометри-

Sn 1 q q2 ... qn 1 1 (qn 1) . q 1

Из последнего, умножая на q 1, имеем

qn 1 (q 1)(1 q 2 ... qn 1) n(q 1) ,

что и доказывает лемму.

Доказательство теоремы. Рассмотрим последовательность

n 1

xn 1

n 1,2,...

. Покажем, что эта последовательность

монотонно убывающая.

Для этого достаточно показать, что

для всякого n 1,2,... . Имеем

xn 1

n 1

n 2

n 1

1 n 1

n 1

n 2

(n 1)2 n 2

n 1

n(n 2)

2n 1 n 2

1 n

Положим

n2 2n 1

и применим лемму Бернулли.

В ре-

n2 2n

зультате получим

2n 1

xn 1

1 (n

1 1

1 (n 2)

n(n 2)

n 1 1

1 1

1 n 1

Далее,

1 для всех

n 1,2,... ,

что означает ог-

раниченность

снизу

последовательности xn .

Поэтому

после-

1 n 1

довательность

, n 1,2,...

имеет предел. Так как

n 1

lim 1

то теорема доказана.

		1	n	e .
Определение. Обозначим	lim 1

	n	n

		1	x	e.
Теорема 1.27.	lim 1

	x	x

Пусть {xk }k 1 – произвольная последовательность точек, такая,
что lim	x	. Положим	n	x	, где x – целая часть чис-
k	k		k	k

ла x , т.е. наибольшее целое, не превосходящее x . Из определения целой части числа следует, что

			nk xk nk 1.								(1.32)
Из (1.32) имеем
			1		1				1	,
										,
		n 1			x				n
			k		k				k
откуда
1			1	1			1		1		1	.
1			1	1					1			.
	n	k	1			x		k			n
		k						k			k

Из последнего, с учетом (1.32) и монотонности степенной и показательной функций, получаем

nk 1

и так как

nk 1

lim

e ,

lim 1

e ,

то

lim 1

e, и,

в силу произвольности последователь-

ности {xk }k 1 ,

1 x

lim 1

Покажем теперь, что

		1	x	e.
lim	1

x		x

Положим y x . Тогда y при x . Следовательно,

lim

y 1

lim

e 1

y 1

Теорема доказана.

Замечание. lim 1 x 1 e.

x 0

Число e является трансцендентным вещественным числом, e 2,7182818285 .

x 1 2x 1

x 2 3

2x 1

Пример 1.

lim

x x

x 2

3(2x 1)

lim 1

2x 1

4x 2 2x 1

Пример 2.

lim

4x 2

x x

2x 1

4 x 2

2 x 1

lim

2x 1

2 x 1

x2 4 x 2

2 .

lim 1

x2 4x 2

В дальнейшем нам понадобится следующее определение. Определение 1. Логарифм числа x по основанию e

называют натуральным логарифмом этого числа и обозначают ln x , т.е. ln x loge x.

Отметим следствия теоремы 2, имеющие к тому же самостоятельный интерес.

Следствия второго замечательного предела.

1. lim	loga (1 x)	loga e.	1a. lim	ln(1 x)	1.
	x			x
x 0			x 0

lim

a x 1

ln a.

2а.

lim

ex 1

x 0

x 0 x

lim

(1 x)

x 0

Доказательства следствий:

loga (1 x)

lim

lim log

(1 x)

log

lim (1 x)

log

x 0

Перестановка знаков предела и логарифма справедлива в силу непрерывности логарифмической функции.

2. Положим ax 1 y. Заметим, что lim

a x 1 lim

y 0.

x 0

Так как x loga ( y 1),

то

lim

ax 1

lim

ln a.

x 0

y 0 loga ( y

loga e

Следствия 1a и 2а получаются из следствий 1 и 2 при a e.

3. Положим y (1 x) 1.

Отметим, что lim (1 x) 1

x 0

lim

y 0. Из определения y

имеем ln(1 x) ln(1 y). По-

x 0

этому

(1 x) 1

ln(1 x)

. Переходя в крайних

ln(1 y)

частях последнего равенства к пределу при x 0,

получаем

доказательство следствия 3.

ln 1

ln x 1

x e

e 1.

Пример 3.

lim

x e

x e x e

Пример 4.

lim

e2x 1

x 0

1.8. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

В пределах этого подраздела, если не оговорено противное, будем считать все рассматриваемые функции скалярнозначными.

		Определение 1.		Функция			называется	бесконечно
	малой в точке x0 , если lim (x) 0.
				x x0
		Определение 2.		Функция		y	называется	бесконечно
	большой в точке x0			, если	lim	y(x) , , .
				x x0
	Пример 1. Функция (x) sin x – бесконечно малая в точках
x0 k , k 1,2,... .
	Пример 2. Функция (x) cos x					– бесконечно малая в точ-
ках	x0		k , k 1,2... .
ках	x0	2	k , k 1,2... .
		2
	Пример 3. Функция y(x) ex				– бесконечно большая в и
бесконечно малая в .
	Пример 4. Функция			f (x) x	–	бесконечно малая в точке

x0 0 и бесконечно большая в .

Отметим некоторые свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.

Теорема 1.28. Сумма конечного числа бесконечно малых в точке x0 функций есть функция бесконечно малая в

точке x0 .

Справедливость теоремы следует из теоремы о пределе суммы функций.

Теорема 1.29. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную есть бесконечно малая.

Доказательство. Пусть – бесконечно малая в точке x0 ,

f – ограниченная в окрестности точки

x0 , т.е.

lim (x) 0 и

x x0

существует окрестность U (x0 ) точки x0

и число M такие, что

для всех

x U (x0 ) выполнено неравенство

f (x)

Тогда

(x) f (x)

(x)

f (x)

(x)

M для всякого

x U (x0 ) .

Ана-

логично

(x) f (x)

(x)

f (x)

(x)

для

всех

x U (x0 ) . Поэтому для всех x U (x0 ) имеет место неравенство

(x)	M (x) f (x)	(x)	M	(1.33)
(x)	M (x) f (x)	(x)	M	(1.33)

Так как

lim	(x)	M 0 ,	lim	(x)	M 0 ,
lim	(x)	M 0 ,	lim	(x)	M 0 ,
x x0			x x0

то, по теореме 1.13 из неравенства (1.33) следует утверждение теоремы.

Теорема 1.30. Если (x) – бесконечно малая в точке

x0 , то	1	– бесконечно большая в этой точке и наобо-

	(x)
	(x)
рот, если (x) – бесконечно большая в точке			x0	, то	1

					(x)
					(x)

– бесконечно малая в этой точке.

Доказательство предлагается провести самостоятельно. Определение 3. Функции (x) и (x) , являющиеся

бесконечно малыми в точке x0 , называются эквивалент-

ными бесконечно малыми, если						lim	(x)	1 . При этом
						x x0	(x)
пишут (x) ~ (x) .
Примеры: sin x и x ,			ln(1 x) и x ,			e x 1 и x		– эквивалент-
ные бесконечно малые в точке x 0.
Определение 4. Говорят, что бесконечно малые (x) и
(x) в точке x0			имеют	один порядок малости, если
lim	(x) C ,	где C – константа, отличная от нуля и бес-
x x0	(x)
конечности.
Примеры: a x 1		и x , sin( x) и			x , 1 cosx и x2 – беско-
нечно малые одного порядка малости в точке x 0.
Определение 5. Говорят, что бесконечно малая (x) в
точке x0 имеет более высокий порядок малости, чем бес-
конечно малая (x)			в точке x0 , если
			lim	(x)	0 ,
			x x0	(x)
или, что то же самое,
			lim	(x)	.
			lim	(x)	.
			x x0	(x)

Пример: функция 1 cosx имеет более высокий порядок малости, чем бесконечно малая x .

Определениями 3 - 5 вводится качественная шкала сравнения бесконечно малых в точке функций, позволяющая выяснить, какая из бесконечно малых стремится к нулю быстрее, а какая - медленнее. Следующее ниже определение позволяет ввести количественную шкалу сравнения бесконечно малых в точке функций, дающую возможность указать, во сколько раз одна бесконечно малая стремится к нулю быстрее или медленнее, чем другая.

Определение 6. Говорят, что бесконечно малая (x) имеет порядок малости k относительно бесконечно малой (x) , если бесконечно малые (x) и (x) k – одного порядка малости, т.е. если

lim

(x)

C ,

( (x))k

x x0

где C –

константа, отличная от нуля и бесконечности.

При этом бесконечно малую

C (x) k , эквивалентную

(x) ,

называют главной частью бесконечно малой (x)

относительно (x) .

Обычно в качестве эталонной бесконечно малой в точке x0

принимают функцию (x) x x0 .

Пример

Найти

порядок

малости

бесконечно малой

1 cos x относительно бесконечно малой

x при x 0. Имеем

1 cos x

2sin

при k 2,

lim

при k 2,

x 0

при k 2.

Таким образом, порядок малости

(x) 1 cos x относительно

x равен 2 и ее главной частью является величина (x) 0,5 x2. Пример 2. Найти порядок малости бесконечно малой

esin x 1 относительно бесконечно малой x . Имеем

	esin x	1		(esin x 1)		0		при k 1,
	esin x	1		(esin x 1)	sin x
lim			lim				1	при k 1,
lim			lim		xk		1	при k 1,
x 0 xk			x 0	sin x	xk			при k 1.
								при k 1.

Из последнего получаем, что порядок малости esin x 1 относительно x равен 1.

Теорема 1.31. Бесконечно малые (x) и (x) эквива-

лентны тогда и только тогда, когда бесконечно малая(x) (x) имеет более высокий порядок малости, чем

каждая из бесконечно малых (x) , (x) .

Доказательство. Необходимость. Пусть (x) и (x) – эк-

вивалентные бесконечно малые. Тогда

(x) (x)

(x)

lim

1 lim

(x)

x x0

(x)

x x0

lim	(x) (x)	lim	(x)		lim	(x)	1	1 1 0 .
lim		lim		1	lim		1	1 1 0 .
	(x)		(x)			(x)
x x0	(x)	x x0	(x)		x x0	(x)

Это означает, что бесконечно малая (x) (x) имеет более

высокий порядок малости, чем каждая из бесконечно малых

(x) и (x) .

Достаточность. Пусть бесконечно малая (x) (x) имеет

более высокий порядок малости, чем каждая из бесконечно малых (x) , (x) . Тогда

(x) (x)

(x)

lim

lim 1

1 lim

(x)

x0 (x)

x x0

(x)

откуда следует равенство

lim

(x)

1 ,

x x0

(x)

означающее эквивалентность бесконечно малых (x)

и (x) .

Теорема доказана.

Теорема 1.32. Пусть (x) , 1 (x) ,

(x) ,

1(x) беско-

нечно

малые в

точке

x0 ,

причем

(x)

эквивалентна

1 (x) , (x) эквивалентна 1(x) . Если

lim

(x)

K , то и

(x)

x x0

lim

(x)

K .

x x0

(x)

Действительно

lim

(x)

lim

(x) 1(x) 1 (x)

(x)

(x) (x) (x)

x x0

(x)

lim

K .

(x)

x x0

(x)

x x0

Теорема 1.33. Сумма конечного числа бесконечно малых функций эквивалентна слагаемому, имеющему наименьший порядок малости, относительно всех других слагаемых.

Действительно, если в сумме 1 (x) 2 (x) ... n (x) бес-

конечно малых в точке x0 1 (x) имеет наименьший порядок малости, чем все остальные, то

lim	(x)		(x) ...	(x)	lim			(x)	...		(x)	1 ,
lim	1	2	n		lim	1	2		...	n		1 ,
x x0		(x)			x x0		(x)				(x)
			1				1			1

т.е. 1 (x) 2 (x) ... n (x) эквивалентна 1 (x) .

Теоремы 1.32 и 1.33 можно использовать при нахождении пределов.

Аналогично строится шкала сравнения бесконечно больших в точке x0 функций. Приведем её.

Определение 7. Бесконечно большие в точке x0 функ-

ции U (x) и V (x) называются эквивалентными бесконеч-
но большими, если	lim	U (x)	1.
		V (x)
	x x0
Определение 8.	Говорят,		что бесконечно большие в

точке x0 функции U (x) и V (x) имеют один и тот же по-

рядок роста, если lim	U (x)	C,	где C – константа, от-
	V (x)
x x0

личная от нуля и бесконечности.

Определение 9. Говорят, что бесконечно большая в точке x0 функция U (x) имеет более высокий порядок

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 359 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023641.56 Кб2Математика (семестр 2, часть 2).-1.pdf
#
05.02.2023938.68 Кб3Математика (семестр 2, часть 2)..pdf
#
05.02.2023722.47 Кб5Математика 3 семестр..pdf
#
05.02.20231.9 Mб20Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 1.pdf
#
05.02.20234.98 Mб6Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 2.pdf
#
05.02.202311.03 Mб10Математика-2-й семестр (курс лекций)..pdf
#
05.02.20234.95 Mб6Математика-3-й семестр(курс лекций)..pdf
#
05.02.20231.56 Mб4Математика. Дополнительные главы.pdf
#
05.02.2023984.92 Кб13Математика. Математический анализ.pdf
#
05.02.20232 Mб5Математика.-1.pdf
#
05.02.20232.61 Mб4Математика.-2.pdf