Математика-2-й семестр (курс лекций)

– матрица оператора A в некотором базисе. Тогда

Ax Ax0 A(x x0 )

Применяя к правой части полученного соотношения неравенство Коши – Буняковского [1], имеем

71

лучаем требуемое.

Из доказанной непрерывности линейного оператора и теоремы 1.19 следует непрерывность линейной функции

f (x) a1 1 a2 2 ... an n ,

называемой в линейной алгебре линейным функционалом или линейной формой.

Пример 4. Функция

xy

, если (x, y) (0,0),

f (x, y) x2 y2

0, если (x, y) (0,0),

не является непрерывной в начале координат, т.к. не существует

Это мы показали в примере 2 п. 1.5.2.

Свойство непрерывности является наследственным для суперпозиции функций. Точнее, имеет место следующая теорема.

По определению непрерывности, для нее существует окрест-

72

следовательно, и включение ( f (x)) W ( ( f (x0 ))) , что и дока-

зывает непрерывность сложной функции.

Отметим без доказательства некоторые свойства непрерывных функций.

Теорема 1.21. . Все элементарные функции вещественной переменной непрерывны в своей области определения.

Теорема 1.22. Пусть скалярная функция f скалярной переменной задана на отрезке a, b и f (a) A , f (b) B . Если функция f непрерывна на a, b , то для всякого числа C , лежащего между A и B , существует точка c a, b такая, что f (c) C .

Теорема 1.22 обобщается на случай скалярных функций векторного аргумента или, что то же самое, на случай функций от

n скалярных аргументов f (x) f ( 1, 2 ,..., n ) .

Теорема 1.22(а). Если функция f : X Rn Y R непрерывна в области X и в точках x1, x2 X принимает значения f (x1) A , f (x2 ) B , то для всякого числа C , заключенного между A и B , существует точка x3 X

такая, что f (x3 ) C .

Прежде, чем сформулировать следующий результат, напом-

если оно содержит все свои граничные точки.

Теорема 1.23 (Первая теорема Вейерштрасса). Всякая

непрерывная на замкнутом ограниченном в Rn множестве функция ограничена на этом множестве.

73

Определение 8. Говорят, что точка x0 D есть точка наибольшего в области D значения функции f , если для всех x из D выполнено неравенство f (x) f (x0 ) .

Аналогично определяется точка наименьшего значения с заменой неравенства на противоположное.

Теорема 1.24 (Вторая теорема Вейерштрасса или теорема о достижении наибольшего и наименьшего значений). Всякая непрерывная на замкнутом ограниченном в

Rn множестве функция принимает на нем свои наибольшее и наименьшее значения.

зафиксируем его на процесс дальнейших рассуждений. Так как

Отметим следующий важный результат.

Теорема 1.25 (Кантора). Всякая непрерывная на замкнутом ограниченном в Rn множестве функция

равномерно непрерывна на нём.

Доказательство теорем 1.22-1.25 можно найти в [5-8]. Замечание. Для непрерывных функций имеет место соотно-

свойство часто используется при отыскании пределов.

74

этом использовались теоремы о пределе суммы, дроби и непрерывность функции x2 .

1.6.2. Классификация точек разрыва

Займемся теперь изучением точек, в которых происходит нарушение свойства непрерывности. Предварительно договоримся о терминах. Рассмотрим вначале случай, когда точка x0

есть внутренняя точка множества X , полученного из X присоединением к нему всех его граничных точек.

Определение 1. Точка x0 называется точкой разрыва функции f : X Y , если в этой точке функция f не является непрерывной.

Определение 2. Точка x0 называется изолированной точкой разрыва функции f : X Y , если существует окрестность точки x0 , в которой нет других точек разрыва функции f .

В общем случае точки разрыва могут заполнять некоторую поверхность или кривую в области определения. Например, у

одну точку разрыва (0,0). Мы будем заниматься классификацией изолированных точек разрыва. Наиболее просто точки разрыва выглядят для функции одной переменной. Их классификация основывается на нарушениях равенства

75

а также на изучении случаев, когда один или несколько элемен-

существуют, конечны, равны между собой, но либо функция f не определена в точке x0 , либо f (x0 ) не равно общему значению левостороннего и правостороннего пределов, т.е.

Такой разрыв называют устранимым, т.к. его можно ликвидировать, доопределив или переопределив функцию f в точке

x0 , положив

2. Оба односторонних предела существуют, конечны, но

Такой разрыв называют разрывом типа «скачок», или разрывом первого рода. В некоторых классификациях устранимый разрыв также причисляют к разрывам первого рода.

3. Все остальные нарушения соотношения (1.27), т.е. когда один или оба односторонних предела не существуют, один или оба односторонних предела равны бесконечности, относят к разрывам второго рода, не детализируя эти нарушения.

Пример 1. Функция f (x) arctg 1x имеет в точке x0 0 разрыв первого рода (разрыв типа скачок) т.к.

ют.

76

являющаяся внутренней, например, граничная. Тогда на понятия точек непрерывности и разрыва накладывается специфика индуцированной топологии.

Ограничимся случаем, когда f (x) – скалярная функция скалярного аргумента. Пусть функция f (x) задана в правосторонней окрестности точки x0 . Если f (x) непрерывна справа в точке x0 , то f (x0 ) существует и

Классификация точек разрыва в данном случае основывается на нарушениях вышеприведённого равенства, а также на изучении случаев, когда некоторые элементы этого равенства не существуют. Рассмотрим возможные ситуации.

но либо функция f не определена в точке x0 , либо f (x0 ) не равно значению правостороннего предела, т.е.

lim f (x) f (x0 ). x x0 0

Такой разрыв называют устранимым, т.к. его можно ликвидировать, доопределив или переопределив функцию f в точке

x0 , положив

2. Односторонний предел не существует или равен бесконечности. Такой разрыв называют разрывом второго рода.

77

Аналогичная классификация проводится для случая, когда функция определена в левосторонней окрестности точки x0 .

Всё вышесказанное можно рассмотреть и для бесконечно удалённой точки.

1.6.3. Линейные пространства непрерывных функций

линейным пространством, так как выполнены все аксиомы линейного пространства [1].

Рассмотрим множество C a,b непрерывных на отрезкеa, b функций. Это множество является подмножеством

относительно введённых линейных операций замкнуто, то есть результат операции снова есть элемент соответствующего

78

пространством, так как выполнены все аксиомы линейного пространства [1].

относительно введённых линейных операций, то есть результат

линейным пространством. В отличие от рассмотренных в

функций скалярного аргумента, бесконечномерны.

Заметим, что можно ввести в рассмотрение линейные пространства скалярных и векторных функций многих переменных, в том числе и непрерывных.

79

1.7. Замечательные пределы

1.7.1. Первый замечательный предел и его следствия

Покажем, что предел отношения sin x к x ( x измеряется в

Это соотношение называется первым замечательным пределом.

80