Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика-2-й семестр (курс лекций)

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

11.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 357 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Теорема 1.10. Всякая функция, имеющая при x x0 конечный предел, ограничена в некоторой проколотой

	окрестности точки x0 .
Доказательство проведем для скалярной функции f					. Пусть
lim	f (x) A и A – конечно. Тогда для всякого 0 сущест-
x x0
вует	проколотая окрестность V П (x ) такая, что для всякого
		0
x V	П (x ) выполнено неравенство		f (x) A	, или,	что то
x V	П (x ) выполнено неравенство		f (x) A	, или,	что то
	0

же самое, A f (x) A . Последнее и означает утверждение теоремы.

Теорема

1.11.

Пусть f , :

X Rn Y Rk

lim f (x) A ,

lim (x) B

( A

конечны).

Тогда

x x0

lim f

(x) lim f (x) (x)

существует

равен

x x0

A B.

Доказательство.

Докажем

теорему

для

случая

f , : X Rn Y R , т.е.

для скалярнозначных функций f

. Так как

lim

f (x) A ,

то для всякого 0 существует ок-

x x0

рестность V

П (x ) точки x

такая, что для всех x из этой окре-

стности

f (x) A

(1.14)

Далее, так как B lim (x) , то для всякого 0 существует

x x0

окрестность

V П (x )

точки

такая,

что для всех

x из этой

окрестности

(x) B

(1.15)

Положим V П (x0 ) V1П (x0 ) V2П (x0 ) . Тогда для всякого x из V П (x0 ) одновременно выполнены неравенства (1.14) и (1.15) и, следовательно, неравенство

f (x) (x) (A B)

f (x) A (x) B

f (x) A

(x) B

что и доказывает утверждение теоремы.

Теорема

1.12.

Пусть

f , : X Rn Y R

lim

f (x) A , lim (x) B ( A и B конечны). Тогда су-

x x0

ществуют пределы

lim f (x) (x) и

lim f (x) (x) (при

x x0

B 0 ), равные соответственно

A B ( lim f (x) (x) A B )

x x0

и A B ( lim

f (x) (x) A B ).

x x0

Справедливость теоремы следует из цепочки соотношений

AB f (x) (x)

AB A (x) A (x) f (x) (x)

B (x)

(x)

A f (x)

f (x)

A (x) B f (x)

A (x) A B A B B f (x)

(x)

B (x)

(x)

(x) B

A f (x)

(x)

и ограниченности функции, имеющей конечный предел, в окрестности предельной точки. Дальнейшее оформление доказательства предлагается проделать самостоятельно.

Доказанные теоремы о пределах можно использовать при практическом отыскании предела.

Пример 1. Найдем lim n2 3n 2 . Поделив числитель и n 1 2n 2n2

знаменатель дроби на n2 , получим

	1			3		2		1
	1			n
lim				n		n	2		,
						n
		1			2	2		2
n		1			2
n					n
		n	2		n
		n

так как

lim

2 lim

lim

2 0 0 2 2 0

n n2

n n

по

теореме

пределе

суммы.

По

этой

же

теореме

lim

По теореме о пределе дроби получаем,

что

данный предел равен

1 .

Пример 2.

lim

n 1

4n 2

lim

n2 n 1 n2 4n 2

lim

3n 3

n2 n 1 n2 4n 2

lim

Мы использовали здесь теоремы о пределе суммы, дроби, а

также

недоказанное

еще

утверждение

том,

что

lim

lim a

которое будет доказано позднее.

Пример 3.

lim

(x 1)( x2 x 1)

(x 1)( x 1)

x 1 x2

x 1

Так как в определении предела рассматриваются проколо-

тые окрестности предельной точки, то x 1,

а потому x 1 0 и

можно

последнюю

дробь

сократить на

x 1

получить

x3 1

x2 x 1

lim (x2 x 1)

lim

x 1

. Равенства

x 1 x2 1

x 1

lim (x 1)

x 1

lim (x 2 x 1) 3

lim (x 1) 2

нетрудно установить исходя

x 1

из определения. Предлагается сделать это самостоятельно.

1.5.6. Теоремы о пределах в неравенствах

Всюду в этом параграфе f			– скалярнозначная функция.
		Теорема 1.13. Пусть		lim f (x) A , lim (x) A и в
				x x0				x x0
	некоторой окрестности точки x выполнено неравенство
		f (x) (x) (x).						(1.16)
Тогда		lim (x) существует и равен A .
		x x0
Доказательство. Пусть 0 – произвольное число. Так как
lim	f (x) A , то по определению предела для этого найдет-
x x0
ся проколотая окрестность V П (x ) точки x							0	такая, что для всех
		1		0			0
x из V П					f (x) A				, или, что то
x из V П		(x ) выполнено неравенство			f (x) A				, или, что то
	1	0
же самое,
		A f (x) A .						(1.17)
Аналогично, так как lim (x) A , для того же существует
		x x0
проколотая окрестность V П (x )				точки	x	0		такая, что для всех
		2	0			0
x V П (x ) выполнено неравенство
2	0
		A (x) A .						(1.18)

Пусть V3 (x0 ) – окрестность точки x0 , в которой выполнено неравенство (1.16). Положим V П (x0 ) V1П (x0 ) V2П (x0 ) V3(x0 ) .

Заметим, что V П (x0 ) – проколотая окрестность точки x0 и

для каждой точки x V П (x0 ) выполнены одновременно нера-

венства (1.16) - (1.18). Тогда можем записать

A f (x) (x) (x) A ,

Отсюда A (x) A . Последнее неравенство эквивалентно неравенству (x) A , которое выполняется для всех x из V П (x0 ) . Теорема доказана.

Теорема 1.14. Пусть в некоторой окрестности точки

x0 выполнено неравенство
f (x) B.	(1.19)
Тогда, если существует конечный предел	lim f (x) A ,
	x x0
то A B .

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что условия теоремы выполнены и, тем не менее,

				lim f (x) A B .
				x x0
Положим			A B . Тогда,		по определению предела,				для
этого		найдется		окрестность	V П (x )			такая, что для	всех
					1	0
x V	П (x ) выполнено неравенство
1		0
				A f (x) A .				(1.20)
Пусть V П (x )				– окрестность точки x			0	, в которой выполне-
		2	0				0

но неравенство (1.19) и V П (x0 ) V1П (x0 ) V2П (x0 ) . Тогда для всякого x V П (x0 ) выполнено неравенство (1.20) и, следова-

тельно,

f (x) A A (A B) B .

Полученное противоречие с неравенством (1.19) доказывает теорему.

Теорема 1.15. Пусть в некоторой окрестности точки

x0 выполнено неравенство

f (x) (x)
и пусть существуют lim f (x) A ,	lim (x)
x x0	x x0
A B .

Доказательство. Допустим противное, т.е., что нении условий теоремы, тем не менее, A B.

	A B	. Так как	lim f (x) A , то для		A B

2			x x0	2

(1.21)

B . Тогда

при выполПоложим

существует

окрестность V П (x ) точки x		0	такая, что для всех	x V П (x )
1	0			1	0
	A f (x) A .				(1.22)

Аналогично, так как

B lim (x) ,

то для

A B

сущест-

x x0

вует

окрестность

V П (x )

точки x

такая,

что

для всех

x V П (x ) справедливо

B (x) B .

(1.23)

Пусть,

далее,

V П (x )

–

окрестность точки

в которой

выполнено

неравенство

(1.21).

Положим

V П (x )

V П (x ) V П (x ) V П

(x ) . Тогда

V П (x )

–

окрестность

точки

и для всех

x V

П (x ) выполнены одновременно не-

равенства (1.21) – (1.23). Далее, из неравенств (1.22), (1.23),

имеем для всех x V П (x )
0
f (x) A A A B A B B A B B (x).
2	2	2

Полученное противоречие с неравенством (1.21) доказывает теорему.

Заметим, что теорема 1.14 есть частный случай теоремы 1.15 при (x) B .

Заметим также, что если в теоремах 1.14 и 1.15 вместо неравенств (1.19) и (1.21) поставить строгие неравенства f (x) B и

f (x) (x) соответственно, то в заключениях теорем мы всё

равно должны оставить нестрогие неравенства A B .

Теорема 1.16. Всякая возрастающая ограниченная сверху числовая последовательность имеет предел.

Теорема 1.16(а). Всякая убывающая ограниченная снизу числовая последовательность имеет предел.

Доказывать эти теоремы не будем.

1.6. Непрерывность функции

Происходящие в природе процессы и явления можно разделить на меняющиеся плавно (непрерывно) и переходящие из одного состояния в другое скачкообразно. Уточнению и форма-

лизации интуитивно ясных понятий непрерывности и разрыва посвящен данный подраздел.

1.6.1 Основные понятия и теоремы

Определение 1. Функция f называется непрерывной в

точке x0 , если f

определена в этой точке и

lim f (x) f (x0 ). Функция, непрерывная в каждой точке

x x0

некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Вспоминая определение предела с помощью окрестностей и неравенств, определение непрерывности функции в точке можно записать в следующем виде.

Определение 2. Функция f называется непрерывной в точке x0 , если f определена в этой точке и для всякой окрестности U ( f (x0 )) точки f (x0 ) существует окрестность V (x0 ) точки x0 такая, что для всех x V (x0 ) имеет место включение f (x) U ( f (x0 )) , или, что то же самое, если для всякой окресности U ( f (x0 )) точки f (x0 ) множество решений включения f (x) U ( f (x0 )) или некоторая его часть содержит окрестность точки x0 .

На языке неравенств это же определение для скалярной функции одной переменной имеет следующий вид.

Определение 3. Функция f называется непрерывной в точке x0 , если она определена в этой точке и для всякого0 существует 0 такое, что для всех x , удовлетво-

ряющих неравенству		x x0		, выполнено неравенство

	f (x) f (x0 )	, или, что то же самое,	если для всякого

0 множество решений неравенства				f (x) f (x0 )

или некоторая его часть содержит окрестность точки x0 .

Аналогично формулируется с помощью неравенств определение непрерывности и для вектор-функций.

Величину x x x0 называют приращением аргумента, аf f (x) f (x0 ) - приращением функции при переходе из точки x0 в точку x.

Определение 3 может быть сформулировано и на языке приращений.

Определение 4. Функция f называется непрерывной в точке x0 , если она определена в этой точке и из условияx 0 следует, что f 0.

При переходе в определениях 3 и 4 от модулей элементовx и f к их нормам получаем сразу же обобщение понятия

непрерывности на общий случай отображения нормированных пространств, в частности из Rn в Rk , даваемое с помощью шаровых окрестностей. Напомним, что x x0 есть расстояние между точками x и x0 , которое иногда обозначают (x, x0 ) , а f (x) f (x0) – расстояние между образами этих точек. Тогда из определения 4 следует, что для непрерывных функций из

условия (x, x0 ) 0 следует,	что ( f (x), f (x0 )) 0.
Используя определение односторонних окрестностей для
функции f : X R Y R,	можно ввести понятие одно-

сторонней непрерывности.

Определение 5. Пусть скалярная функция скалярного

аргумента		f : X R Y R определена в правой полу-
окрестности x0 , x0				точки	x0 . Функция f (x) называ-
ется	непрерывной			справа	в	точке	x0 ,	если
f (x0	0)	lim	f (x) f (x0 ) .
		x x0 0
Определение 5а. Пусть скалярная функция скалярного
аргумента		f : X R Y R			определена в левой полу-
окрестности x0			, x0	точки	x0 . Функция f (x) называ-
ется	непрерывной			слева	в	точке	x0 ,	если
f (x0	0)	lim	f (x) f (x0 ) .
		x x0 0

Заметим, что в определениях 5 и 5а функция f (x) предполагается определённой в точке x0 .

Непосредственно из определения непрерывности и теоремы 1.8 следует справедливость следующего утверждения.

скалярного аргумента	f (x)	была непрерывна в точке x0 ,
необходимо и достаточно, чтобы			она была непрерывна
справа и слева в этой точке, то есть существовали одно-
сторонние пределы	lim	f (x) и	lim f (x)	и для них
Теорема 1.17. Для того, чтобы скалярная				функция

x x0 0

выполнялись соотношения

lim

f (x)

lim

f (x) f (x0 ) .

x x0

Теорема 1.18. Если функции

f , : X Rn Y R

непрерывны

в точке

x0 ,

то

функции

( (x0 ) 0 ) также непрерывны в точке x0 .

Справедливость теоремы следует из определения непрерыв-

ности и теорем о пределе суммы, произведения и дроби.

Теорема

1.19.

Для

того,

чтобы

функция

f (x)

f ( 1, 2

,..., n )

f : X Rn Y Rk ,

f (x)

(x)

( 1, 2

,..., n )

........

.......... .......... ....

,...,

)

fk (x)

( ,

была непрерывна в точке x

( 1

, 2

,..., n ) ,

необходимо и

достаточно,

чтобы

все

координатные

функции

fi ( 1, 2 ,..., n ) были непрерывны в этой точке.

Справедливость теоремы следует из определения непрерывности и теоремы 1.7.

Приведем некоторые примеры.

Пример 1. Функция f (x) x2 непрерывна в каждой точке числовой оси. Действительно, пусть x0 – произвольная точка на числовой прямой. Тогда f (x0 ) x02 и для доказательства непре-

рывности

нам достаточно показать,

что

lim x2 x2. Пусть

x x0

0 – произвольное число. Рассмотрим неравенство

x2 x

(1.24)

Его решение состоит из интервалов

Действительно, неравенство (1.24) эквивалентно неравенст-

ву

, откуда имеем

x2 x

или

Если x

положительно,

то интервал

x0 ,

а для от-

является окрестностью точки

рицательного

окрестностью

точки

будет

интервал

x0 ,

что и доказывает непрерывность функции

f (x) x2

в каждой точке числовой оси, т.к. для произвольного

0 мы можем указать окрестность точки

x0 ,

для всякого x

из которой выполнено неравенство (1.24).

Пример 2. Функция

f (x) ax

непрерывна на всей числовой

оси. Действительно,

пусть x0

–

произвольная точка числовой

прямой.

Тогда

f (x

) ax0 .

Пусть

– произвольно и

ax ax0

. Тогда

ax0 ax ax0

или, что то же самое,

log

(ax0

) x log

(ax0

) ,

(1.25)

если a 1, и

log

(ax0

) x log

(ax0

)

(1.26)

при 0 a 1. Интервал (1.25) является окрестностью точки

при a 1, а

интервал

(1.26)

есть окрестность

точки x0

при

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 357 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023641.56 Кб2Математика (семестр 2, часть 2).-1.pdf
#
05.02.2023938.68 Кб3Математика (семестр 2, часть 2)..pdf
#
05.02.2023722.47 Кб5Математика 3 семестр..pdf
#
05.02.20231.9 Mб20Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 1.pdf
#
05.02.20234.98 Mб6Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 2.pdf
#
05.02.202311.03 Mб9Математика-2-й семестр (курс лекций)..pdf
#
05.02.20234.95 Mб5Математика-3-й семестр(курс лекций)..pdf
#
05.02.20231.56 Mб3Математика. Дополнительные главы.pdf
#
05.02.2023984.92 Кб13Математика. Математический анализ.pdf
#
05.02.20232 Mб5Математика.-1.pdf
#
05.02.20232.61 Mб4Математика.-2.pdf