Математика-2-й семестр (курс лекций)

вует число N N( ) такое, что для всех n, m N ( ) выполнено неравенство an am .

В силу теоремы 1.5 этот критерий легко распространяется и на случай векторных последовательностей.

Отметим понятие близкое к понятию предела последовательности.

Определение 6. Последовательность {an}1 точек метрического пространства называется фундаментальной, ес-

(an , am ) .

Легко показывается, что всякая сходящаяся последовательность точек метрического пространства является фундамен-

(an , am ) (an , a) (a, am ) 2 , что и доказывает наше утверждение. Обратное утверждение не для всех метрических пространств верно. Например, если в качестве метрического пространства взять множество рациональных чисел с обычным для числовой прямой расстоянием между числами равным модулю разности этих чисел, то любая последовательность рациональных чисел, сходящаяся к иррациональному числу, будет фундаментальной, но не сходящейся на множестве рациональных чисел. Метрические пространсва, в которых каждая фундаментальная последовательность сходится, называются полными метрическими пространствами. Отметим, что множества R и

Rk с обычным для них расстоянием между точками являются полными пространствами и критерий Коши сходимости последовательностей в этих пространствах есть не что иное, как утверждение о их полноте.

51

{0,2,0,2,...} предела не имеет, так как ее члены с ростом n не

приближаются ни к какому числу.

Основываясь на понятии предела последовательности, можно сформулировать определение предела функции на языке последовательностей, называемое в литературе определением Гейне, в отличие от определения на языке окрестностей, назы-

из области определения функции, сходящейся к точке x0

52

( lim x x ), последовательность точек { f (x )} имеет n 0 n 1

n

пределом точку A ( lim f (xn ) A) . n

Отметим справедливость весьма важной теоремы.

Теорема 1.7. Определения предела функции по Коши и Гейне эквивалентны в том смысле, что если A есть предел функции f при x , стремящемся к x0 , по определе-

нию Коши, то A является пределом функции f при x , стремящемся к x0 , по определению Гейне и наоборот.

Доказательство того, что если A lim f (x) по определе-

x x0

нию Коши, то A lim f (x) по определению Гейне, очевидно.

x x0

В обратную сторону доказательство значительно сложнее и желающие могут ознакомиться с ним в [8].

Мы будем пользоваться тем определением, которое нам в данный момент удобнее.

Пользуясь определением 7, докажем, что

Пусть {xn , yn}1 – некоторая последовательность точек, такая,

53

{xn , yn}1 , по определению 7 – равенство (1.9).

Теорема 1.4 и определение 7 удобны для показа отсутствия предела. Продемонстрируем это на примерах.

Пример 5. Покажем, с использованием определения 7, что

lim sin x не существует. Для этого достаточно подобрать две x

Таким образом, видим, что предел рассматриваемой функции зависит от углового коэффициента прямой, по которой мы приближаемся к началу координат, что и доказывает наше утверждение, так как, взяв разные k , получаем разные пределы, чего не может быть в силу единственности предела (теорема 1.4).

Следствием теоремы 1.5 и определения 7 является следующая теорема.

54

1.5.3. Односторонние пределы

Пусть f : X R Y Rk – функция одной переменной. В

этом случае есть возможность рассматривать так называемые односторонние пределы, получающиеся из определений 1 и 2 предыдущего параграфа при замене произвольных окрестностей односторонними окрестностями точек x0 и . Сформулируем,

например, определение левостороннего предела.

востороннего и x 0 для левостороннего предела.

55

Как видим, формально мало что изменилось. Качественно же получили совершенно другое понятие, что видно на примере функции sign x (знак x ), определяемой выражением

которая в точке x 0 предела не имеет, а правосторонний и левосторонний пределы существуют и равны, соответственно, 1 и 1 .

Приведем для скалярных функций одного переменного некоторые из определений односторонних пределов на языке не-

f (x) A , или, используя символическую запись,

( 0 0 : x0 x x0 f (x) A ).

Определение левостороннего предела аналогично, с учетом того, что левосторонняя окрестность точки x0 задается нера-

вует M такое, что для всех x M выполнено неравенст-

во f (x) A .

Определение предела при x , стремящемся к , предлагается сформулировать самостоятельно.

56

Если f – скалярная функция, то можно рассматривать также односторонние пределы в области значений, например,

lim f (x) и т.д. Их введение и формулировка опреде-

x x0

лений не представляет трудности и читателю предлагается проделать это самостоятельно.

Между пределами и односторонними пределами существует связь, выражаемая следующей теоремой.

Теорема 1.8. Если существует lim f (x) A , то су-

x x0

ронней и правосторонней окрестностей точки x0 . Действитель-

существование левостороннего и правостороннего пределов

57

1.5.4. Повторные пределы

В рамках этого параграфа, если не оговорено противное, будем предполагать, что f : X R2 Y R , т.е. f – скалярная

функция двух переменных, так как этого достаточно для показа особенностей, возникающих для функции многих переменных.

Зафиксируем y и рассмотрим lim f (x, y) . Этот предел,

x x0

если он существует, зависит от y . Обозначим его через ( y) и рассмотрим

58

называемого двойным.

Аналогично вводится второй возможный для функции двух переменных повторный предел

повторный предел (1.12), также равный A . Доказательство. Докажем первую часть теоремы о сущест-

вовании повторного предела (1.10). Вторая часть, о существовании предела (1.12), доказывается аналогично. Ограничимся случаем, когда A , x0 , y0 – конечные точки. Доказательство

59

Фиксируя y из {y R : 0 y y0 2} и переходя в (1.13) к пределу при x x0 , имеем

(y) A

для всякого y , удовлетворяющего неравенству 0 y y0 2 ,

что и завершает доказательство.

Аналогично могут быть введены повторные пределы и для функций большего числа переменных.

Отметим, что из существования повторных пределов вовсе не следует существование двойного предела. Рассмотрим при-

оба повторных предела для этой функции существуют и равны нулю.

Из существования двойного предела не следует существова-

1.5.5. Теоремы о пределах

Сформулируем и докажем несколько общих результатов, полезных при нахождении пределов.

60