Математика-2-й семестр (курс лекций)

Доказательство. Предположим, что при

x x0

функция

f

имеет два предела

A1 и

A2 , причем

A1 A2 . Это означает,

что для всякой окрестности U ( A1)

точки

A1

существует проко-

лотая окрестность V П

(x )

точки

x

0

такая,

что для всех

x из

1

0

этой окрестности ( x V П (x ) ) имеет место включение

1

0

f (x) U ( A1) .

(1.5)

С другой стороны, для всякой окрестности

U ( A2 ) точки A2

существует

проколотая окрестность

V П

(x )

точки

x

0

такая,

2

0

что для всех x из этой окрестности ( x V

П (x ) ) имеет место

2

0

включение

f (x) U ( A2 ) .

(1.6)

Пусть U ( A1) и U ( A2 )

– непересекающиеся окрестности точек

A

и

A

; V П (x ) ,

V П (x )

– окрестности точки x

0

, для кото-

1

2

1

0

2

0

рых

выполнены

включения

(1.5)

и

(1.6);

положим

V П (x ) V

П (x ) V П (x ) . Тогда V

П (x ) – окрестность точки

0

1

0

2

0

0

x

0

такая, что для всякого x

из V П (x ) выполнены как включе-

0

точки x0

, то A lim f (x) ,

если же решение этого включения

x x0

не содержит проколотой

окрестности точки x0 , то

A

lim f (x) .

Для систем окрестностей, задаваемых неравен-

x x0

f (x) U ( A) эквивалентно вы-

ствами, выполнение включения

полнению неравенства

f (x) A

. Если решение этого нера-

венства или некоторая его часть содержит проколотую окрест-

ность точки x0 , то A

lim f (x) , если же решение неравенства

x x0

не

содержит

проколотую

окрестности

точки

x0 ,

x x0

Сделанное замечание позволяет сформулировать эквива-

лентное исходному определение предела.

Определение 6. Будем говорить, что

A lim f (x) , если

x x0

для всякой окрестности U (A) точки

A множество точек

{x X : f (x) U ( A)} , являющееся решением включения

f (x) U ( A) , содержит проколотую

окрестность точки

случае, когда

A – конечная точка, определение предела на язы-

ке неравенств.

Определение 7. Будем говорить, что A lim f (x) , ес-

всякого 0

x x0

ли для

множество решений неравенства

f (x) A

содержит

проколотую окрестность точки

Пример 1. Рассмотрим неравенство

x 2 9

. Его решени-

ем, при

любом

0 ,

является

объединение

интервалов

9 x

9

и

9 x

9 . Первый из них яв-

ляется окрестностью точки

x

0

3 и поэтому

lim x 2

9 , второй

x 3

есть окрестность точки

x

0

3 и поэтому

lim x2

9 . С дру-

x 3

гой стороны, при 5 ,

это решение не содержит точку x0 2 и

поэтому не может являться окрестностью точки x0 2 . Следо-

вательно,

lim x 2 9 .

x 2

Пример 2. Докажем, что lim sin x 0.

Пусть 0 – произ-

x 0

sin x 0

, со-

му, множество решений неравенства

sin x

, являю-

держит в себе множество решений неравенства

x

щееся интервалом x , содержащим точку

x 0 и, сле-

довательно,

окрестностью точки

x 0 .

Поэтому,

по определе-

нию 7,

lim sin x 0.

x 0

Пример 3. Покажем, что lim cos x 1 . Так как

1 cos x

2 sin

2

x

x2

x 0

1 cos x

, то множество решений неравенства

2

2

x2

. Реше-

содержит в себе множество решений неравенства

2

нием последнего является интервал

x

2 , содержащий точ-

ку x 0 и, следовательно, являющийся

окрестностью точки

x=0. Поэтому, по определению 7,

lim cos x 1.

x 0

Замечание. Пусть функции

f (x)

и

(x)

таковы, что

равенства, имеем

x 3

5

x 3

5

x 3

5

x 3

5

x 3 5

x 2

.

x 3

5

x

3

5

При

x 3

можем записать

x 3

5

5 2 .

Поэтому

x 2

x 2

. Решение

x 3 5

более

грубого

x

3

5

2

неравенства

x 2

содержит при любом 0 окрестность

2

точки

x0 2 , что и доказывает справедливость равенства

lim

x 3

5 .

x 2

Пример 5. Покажем теперь, что

lim loga (1 x) 0.

x 0

Из

неравенства

loga (1 x) 0

следует неравенство

loga (1 x) . Пусть

a 1.

Тогда

a 1 x a , т. е.

a 1 x a 1 .

Последнее неравенство определяет окрест-

ность

V (x ) точки

x 0

, так как a 1 0 , а a 1 0 . Таким

0

0

образом, для всякого x из (a 1,a 1)

справедливо

неравен-

ство

loga (1 x)

, означающее,

что lim loga (1 x) 0. Анало-

гично, в случае 0 a 1,

x 0

нужная нам окрестность точки x0 0

задана неравенством a 1 x a 1 .

Пример 6.

Предлагается доказать

самостоятельно,

что

lim a x 1 .

x 0

Пример 7. Докажем, что

lim

(x2 y2 ) 2.

Пусть 0

( x, y) (1,1)

– произвольно. Множество

2

V (1,1)

= (x, y) R

:

1

x 1

,

1

y 1

1 2

2

2

2

2

1

1 при любом

0 , и входит в множество решений не-

2

равенства

2 x2

y2

.

Действительно,

(x, y) V

(1,1)

1 2

выполняется неравенство

2

2

2 1

1

2

x

y

2 1

1

или, после

2

2

2

2

приведения подобных, неравенство

2 x2 y2

, эквива-

лентное

исходному.

Следовательно,

по

определению

7,

lim

(x2 y2 ) 2.

( x, y) (1,1)

торной. В случае, когда an

– функции, имеем функциональную

последовательность.

Примеры последовательностей:

f (n) a

1

;

1,

1

,

1

,

1

,...,

1

,...

;

n

n

n

2

3

4

f (n) a

1

;

1,

1

, 1 ,

1

,...,

1

,... ;

n

n2

4

9

16

n2

1

1

1

1

1

1

1

1

f (n) an

n 1

,

n 2

;

2

,

3 , 3

,

4

,...,

n 1

,

n 2

,... ;

fn 1(x) cos(n 1)x;

1,

cos x, cos2x, ..., cos(n 1)x, ... ;

f (n)

n 1

является возрастающей, последовательность

n

f (n)

n 1

– убывающая, а последовательность f (n) 1 ( 1)n

n

a (a1

, a2

,..., ak ),

n 1,2,... ,

a Rk , при выбранном базисе в

n

n

n

n

n

Rk

равносильно

заданию

k

числовых последовательностей

{a1

}, {a2}, …,{ak },

n 1,2,...,

называемых координатными

n

n

n

последовательностями.

Сформулируем определение предела последовательности.

Поскольку множество

N натуральных чисел имеет единствен-

ную предельную точку ,

то для функций f (n) имеет смысл

VM ( ) {n N : n M} VN ( ) {n N : n N} , где

N [M ]

– целая часть числа M .

Определение 2. Точка

A называется пределом после-

довательности {an}1 при

n , стремящемся к бесконечно-

сти (A lim

a ) ,

если

для всякой окрестности

U

( A)

n

n

точки

A существует окрестность VN ( ) , зависящая от

выбора

окрестности

U ( A) ,

такая, что для

всех

n VN ( ) выполнено включение an U ( A) .

Используем в определении 2 запись окрестностей в R и Rk

в виде неравенств. Тогда, если

{an}1

– числовая последова-

тельность и

A – конечное число, то на языке неравенств соот-

ветствующее определение примет нижеследующий вид.

Определение 3. Число

A называется пределом число-

вой последовательности {an}1 при n , стремящемся к

бесконечности

(A lim

an ) , если для всякого

0 су-

n

ществует число

N N( )

такое, что для всех

n N( )

выполнено неравенство

an A

.

Если {a } Rk

( a

n

– точки k -мерного пространства) и

n 1

приобретает нижеследующий вид.

Определение 4. Точка

A A1, A2 ,..., Ak есть предел

1 2

k

1

последовательности an 1

an , an

,..., an

при n , стре-

мящемся к бесконечности (A lim

a ) ,

если для всякого

n

n

0 существует число

N N( )

такое,

что для всех

(A lim

an ) , если для всякого 0

существует число

n

N N( )

такое, что для всех n N( )

выполнено нера-

щейся.

Отметим следующий результат.

Теорема

1.5. Для

того, чтобы последовательность

{a } {(a1 , a2

,..., ak }

точек (векторов)

пространства

n

1

n

n

n

1

Rk

сходилась к точке (вектору)

A (A1, A2,..., Ak ) , т.е.

чтобы

A lim

a , необходимо и достаточно, чтобы каж-

n

n

дая координатная последовательность

{ai } , i 1,2,..., k,

n 1

сходилась

и

при

этом имело

место

соотношение

lim

ani

Ai .

n

Доказательство.

Необходимость. Пусть

A lim

a . Это

n

n

означает,

что для всякого 0 существует число

N N( ) та-

кое, что для всех n N имеет место неравенство

k

(ani

Ai )2 2.

(1.7)

k

(ani Ai )2

(anj A j )2 , i 1,2,..., k ,

j 1