Математика-2-й семестр (курс лекций)

В частности, как показал Пеано, с помощью параметра можно задать кривую, заполняющую квадрат. Параметрическое задание кривой неоднозначно в том смысле, что одну и ту же кривую можно задать различными равенствами.

Если удаётся найти обратную к x(t) функцию x 1 t(x) , то сложная функция y(x) y(t(x)) позволяет перейти от парамет-

рического задания к явному.

Задавая три координаты как функции одной переменной, получаем кривую в пространстве, заданную параметрически

Приведем примеры параметрически заданных кривых. Окружность радиуса a 0 с центром в начале координат

может быть задана в виде

а эллипс с полуосями a 0 , b 0 задается следующим образом

z f (x, y) описывает некоторое множество точек в пространстве, состоящее из точек графика функции f . Это множество

точек можно определить, задавая каждую координату в отдельности как функцию некоторых переменных, следующим образом

отношениями (1.4), задана параметрически. Если x(u,v), y(u,v) , z(u,v) – непрерывные функции (термин будет определён поз-

31

же), то соотношениями (1.4) описывается некоторая поверхность про которую говорят, что она задана параметрически.

Отметим, что параметрическое задание кривых и поверхностей эквивалентно их заданию в виде вектор-функций

r r(t) (x(t), y(t), z(t))T , r r(u, v) (x(u, v), y(u,v), z(u,v))T

одной и двух переменных соответственно, рассмотренному в п.1.3.2.

1.4 Системы окрестностей в R и R n

1.4.1 Понятие окрестности

Идея предельного перехода – одна из важнейших и плодотворных в анализе. Для изучения предела нам необходимо понятие окрестности точки. К его изучению мы и приступаем.

Определение 1. Окрестностью конечной точки x0 из R назовем любой интервал (a,b) , содержащий эту точку.

Окрестность точки x0 будем обозначать U (x0 ) , т.е.

Рассмотрим частные виды окрестностей и введем для них соответствующие обозначения.

U (x0 ) – симметричная окрестность точки x0 радиуса 0 ,

U (x0 ) (x0 , x0 ) {x R : x0 x x0 } ,

или, что тоже самое,

U (x0 ) {x R : x x0 }.

U П (x0 ) – проколотая окрестность – окрестность U (x0 ) , из которой удалена точка x0

U П (x0 ) {x R : a x b, x x0}{x R :x0 1 x x0 2 , x x0}.

U П (x0 ) – симметричная проколотая окрестность.

U П (x0 ) {x R : x x0 , x x0} {x R :0 x x0 } .

32

Отметим на будущее, что каждая симметричная окрестность является просто окрестностью, и в каждой окрестности точки содержится ее симметричная окрестность.

Определение 2. Окрестностью бесконечно удаленной точки в R (обозначаемой U ( ) ) назовем внешность

некоторого отрезка, т.е. множество точек, не принадлежащих этому отрезку. Симметричной окрестностью точкиназовем внешность симметричного относительно нуля отрезка.

С помощью неравенств окрестность бесконечно удаленной точки в R может быть записана в виде

U ( ) {x R : x M1 или x M 2}

{x R : x M1} {x R : x M 2}

асимметричная ее окрестность - в виде

UM ( ) {x R : x M}.

На рисунках приведены соответственно окрестности и симметричные окрестности конечной x0 и бесконечно удаленнойточек на вещественной прямой.

Обобщение понятия окрестности для пространства Rn может быть проведено несколькими способами. Соответственно появляются окрестности нескольких видов: шары, параллелепипеды, эллипсоиды и т.д. В случае симметричных окрестностей шаровые и параллелепипедальные окрестности задаются соотношениями

n

U (x0 ) {x (1, 2 ,.., n ) Rn : (i i0 )2 2} ,

i 1

П 1 ,..., n (x0 ) {x ( 1, 2 ,.., n ) Rn : i i0 i , i 1,..n}.

33

Заметим, что в каждой окрестности U (x0 ) содержится некоторая окрестность П 1,..., n (x0 ) и, наоборот, в каждой окрестно-

сти П 1,..., n (x0 ) содержится некоторая окрестность U (x0 ) . Мы будем пользоваться теми из них, которые в данный момент удобнее, потому что, как будет показано ниже, они порождают одно и тоже понятие предела. На рисунках изображены окрестности U (x0 ) и П 1,..., n (x0 ) в R2 .

Окрестностью бесконечно удаленной точки в Rn (обозначаемой U ( ) ) назовём внешность любого шара или параллеле-

пипеда, а симметричной окрестностью бесконечно удаленной

точки в Rn назовем внешность симметричного относительно начала координат шара или параллелепипеда. Симметричные

и (x, y) - расстояние в нём. Назовём окрестностью точки x0 в

X множество

U (x0 , ) x X : (x0 , x)

и проколотой окрестностью этой точки множество

34

U П (x0 , ) U (x0 , ) \{x0} x X : x x0 , (x0 , x) .

В заключение разговора об окрестностях общего вида приведем несколько понятий, вводимых с их помощью и необходимых нам в дальнейшем.

Определение 3. Точка M 0 называется предельной точкой (точкой сгущения) множества X , если в любой её окрестности есть, по крайней мере, одна отличная от M 0 точка множества X .

Определение 4. Точка M 0 X называется внутренней

точкой множества X , если она входит во множество X вместе с некоторой своей окрестностью, т.е. существует окрестность U (M0 ) , полностью лежащая в X .

точки как принадлежащие множеству X , так и не принадлежащие ему. Совокупность всех граничных точек множества X называется его границей.

Определение 7. Множество X называется открытым, если каждая его точка внутренняя.

Определение 8. Множество X называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

Пример 1. Рассмотрим множество [0,1] {2}. Точки сгущения этого множества есть точки отрезка [0,1] , внут-

( ,0) (1,2) (2, ) , граничными являются точки множества {0,1,2} , множество замкнуто.

35

ки граничные, точка сгущения 1. Пример 3. Множество (0,1) открыто.

1.4.2.Односторонние окрестности в R

Весьма важным является понятие одностороннего предела. Без него трудно построить классификацию точек разрыва. Для введения понятия одностороннего предела необходимы односторонние окрестности в R . Они определяются следующим образом:

1) правосторонняя окрестность конечной точки x0 есть

множество

U (x0 ) {x R :x0 x x0 };

2) левосторонняя окрестность конечной точки x0 – это

множество

U (x0 ) {x R :x0 x x0} ;

3) окрестность точки записывается в виде

UM ( ) {x R : x M} ;

4)окрестностью точки является множество

UM ( ) {x R : x M} .

На рисунках показаны эти множества.

U П (x0 ) U (x0 ) U (x0 ) , UM ( ) UM ( ) UM ( ) .

Заметим, что пересечение двух окрестностей одного и того же типа снова есть окрестность того же типа. То есть, пересечение проколотых окрестностей точки есть проколотая окрест-

36

ность точки, пересечение правосторонних окрестностей точки есть правосторонняя окрестность точки и так далее.

1.4.3. Индуцированные системы окрестностей

Пусть E и L – некоторые множества, E L и в L введена система U окрестностей каждой точки. Введём в E систему V окрестностей точек следующим образом. Для каждой точки x из E окрестностью Vx этой точки назовём множество, являю-

щееся пересечением окрестности U x U этой точки в L с E , то есть Vx U x E . В этом случае говорят, что система V ок-

рестностей в E порождена (индуцирована) системой U окрестностей точек в L . В частности, рассмотренная выше система интервалов, являющаяся системой окрестностей точек из R , порождает на ограниченном интервале (a, b) односторонние

окрестности точек a и b соответственно. Всюду ниже, в случа-

ях, когда область определения X функции не совпадает с Rn , n 1, 2,... , будем считать, не оговаривая особо, что в X введена

индуцированная из Rn система окрестностей.

1.5. Предел функции

1.5.1. Понятие предела функции

Приступим к изучению понятия предела функции – основы многих построений математического анализа.

В рамках этого параграфа, если не оговорено противное, бу-

37

точки x , принадлежащей V П (x0 ) (x V П (x0 )) , имеет

место включение f (x) U ( A) ( f (V П (x0 )) U (A) ) . Факт, что A есть предел f при x x0 , обозначается запи-

сью

A lim f (x) . x x0

Часто вместо произвольных окрестностей в определении предела используют соответствующие симметричные окрестно-

при этом определение выглядит следующим образом.

лось. Просто, вместо одного типа окрестности поставили другой. Тем не менее, так как в определениях 1 и 2 участвуют разные типы окрестностей, то возникает вопрос о соотношении между пределами функции f при x x0 , получаемыми по

этим определениям. Оказывается, что в данном случае справедлива следующая теорема.

Теорема 1.3. Определения предела 1 и 2 эквивалентны

Возьмем произвольную симметричную окрестность U ( A) точки A и зафиксируем её на процесс дальнейших рассуждений.

38

Так как U ( A) является окрестностью точки A , то по определе-

– произвольная окрестность точки A . Зафиксируем её. Возьмём произвольную симметричную окрестность U ( A) , целиком лежащую в U (A) . Тогда по определению 2 существует окрест-

определению 1. Теорема доказана.

Аналогично показывается, что если в определениях предела 1 и 2 вместо шаровых окрестностей точки взять окрестности на основе параллелепипеда, то получаются понятия предела эквивалентные как исходным, так и между собой, потому что в каждой шаровой окрестности содержится окрестность на основе параллелепипеда и наоборот в каждой окрестности на основе параллелепипеда содержится шаровая окрестность точки. То же самое получится, если построить определение предела с помощью других типов окрестностей, обладающих тем же свойством: каждая окрестность выбранного семейства содержится в шаровой окрестности и в каждой окрестности семейства содержится шаровая окрестность точки.

Заметим, однако, что в общем случае определения предела, сформулированные с помощью разного типа окрестностей, не обязаны совпадать, например, вводимые далее в п. 1.5.3 определения левостороннего и правостороннего пределов, которые получаются с помощью односторонних окрестностей точки на вещественной прямой, не совпадают с данным выше определе-

39

нием предела. Возникающие на этом пути ситуации изучаются в топологии.

Введённое понятие предела можно использовать и в самом общем случае для любых множеств в которых введено понятие окрестности точки, в том числе и для метрических пространств.

Аналогично можно определить понятие предела функции при x . Для этого вместо окрестностей V П (x0 ) в определе-

нии 1 и V П (x0 ) в определении 2 нужно взять окрестности V ( ) , V ( ) соответственно. Предлагается самостоятельно

сформулировать эти определения.

Иногда удобнее пользоваться эквивалентными определениями предела, записанными с помощью неравенств. Вспоминая задание различных окрестностей неравенствами, приведем некоторые из них. Пусть f – скалярная функция одной пере-

менной, т.е. область задания X и область значений Y функции f являются подмножествами множества вещественных чисел

R . Пусть, далее, x0 X и A Y – конечные точки. В этом случае определение предела на языке неравенств приобретает сле-

f (x) A ( 0 0 : 0 x x0 f (x) A ).

Если A – бесконечно удаленная точка, то соответствующее

40