Математика-2-й семестр (курс лекций)

описываемая уравнением z f (x, y) , есть график функции f (x, y) .

Наглядную характеристику скалярной функции двух переменных (скалярного поля) f (x, y) можно дать с помощью линий

уровня (изобары, изотермы и т.д.). При этом под линией уровня будем понимать линию на плоскости XOY , во всех точках которой функция f принимает одно и то же значение. Линии

уровня описываются уравнением f (x, y) const .

Для скалярной функции трех переменных (скалярного поля) f (x, y, z) , (x, y, z) R3 , аналогично вводится понятие поверхно-

функция одной переменной, ставящая в соответствие каждому вещественному числу x из X вектор y f (x) из R m , т.е. каждая координата вектора f (x) есть скалярная функция скалярного переменного x

Функции f1(x), f2 (x),..., fm (x) называют координатными.

При m 3 можем записать

21

f (x) f1(x), f2 (x), f3(x) T f1(x) i f2 (x) j f3(x) k где i, j, k – векторы декартова базиса. В случае m = 2 эта запись

опишут в R3 некоторую кривую, называемую годографом век- тор-функции f (x) . Эта функция широко используется в физи-

ке для описания движения материальной точки M , так как, чтобы знать положение точки в момент времени t , необходимо указать координаты этой точки как функцию времени, т.е. задать ее в виде M (x(t), y(t), z(t)) . Например, функция

определяет движение точки по винтовой линии, а функция

a cost f (t) a sin t

– движение точки по окружности. Зафиксировав момент времени t t0 , мы найдем положение точки в этот момент.

f (x) f ( 1, 2,..., n ) ( f1( 1, 2,..., n ),..., fm ( 1, 2,..., n ))T

22

вать координатными. Примером функции этого типа является

этом случае говорят, что задано векторное поле плоское или пространственное. Векторными полями являются: поле скоростей текущей жидкости, магнитное и электрическое поля и другие, примеры которых можно найти в физике, технике, механике.

Отображения классов 1, 2, 3 получаются из класса 4 при различных m и n .

Таким образом, изучение всех типов отображений сводится к изучению скалярных функций одного скалярного аргумента и скалярной функции многих скалярных аргументов.

В заключение параграфа приведем пример отображения, которое нам понадобится в дальнейшем. Пусть X – произвольное множество. Положим Id (x) x для всякого x из X . Этим мы

определили отображение Id X : X X множества X в себя, называемое тождественным или единичным отображением. Очевидно, что Id X – биективное отображение. Иногда его обозна-

23

чают также буквами I или E . Если это не приведет к неясности, будем вместо Id X писать Id .

1.3.3. Суперпозиция (композиция) отображений (сложная функция). Обратная функция

Иногда возникает необходимость в рассмотрении отображения от отображения (функции от функции). Такая конструкция носит название суперпозиции отображений или сложной функции. Формальное определение выглядит при этом следующим образом.

Определение 1. Пусть

: X Rn Y1 Rm, :Y Rm Z Rk и Y1 Y .

Отображение

f : X Rn Z Rk

называется суперпозицией (композицией) отображений и и обозначается f , если для всякого x из X имеет место соотношение f (x) ( )(x) ( (x)) .

( )( x) ( 1(x), 2 (x),..., n (x)) .

24

Замечание. Рассматривают суперпозицию трех, четырех и более отображений при соответствующем согласовании областей определения и областей значений.

Важным и весьма полезным является понятие обратного отображения, вводимое с использованием понятия суперпозиции отображений.

Определение 2. Пусть f : X Y – биективное отображе-

этом случае пишут f 1.

Приведем примеры функций, обратных к скалярным функциям скалярного аргумента.

ществляемое по тому же, что и в предыдущем примере, закону

f 1( y) arcsin y . Для функции, заданной тем же соотношением

25

f 1( y) arcsin y .

Представляет интерес вопрос об условиях существования обратной функции. Так как для скалярной функции одного скалярного переменного строго монотонная функция f осуществ-

ляет биективное отображение области определения X на множество значений f ( X ) , то для нее ответ на данный вопрос со-

вует к ней обратная.

Рассмотренные примеры 3-5 показывают, что для отображений, осуществляемых по одним и тем же законам, но заданных в разных областях определения, в которых эти отображения биективны, обратные отображения получаются разными.

Заметим, что графики {(x, f (x)) : x X} , {( f 1(y), y) : y Y},

прямой и обратной функций соответственно, состоят из одних и тех же точек.

Если f : X Y – сюръективное отображение, не являющее-

ся биективным, то для некоторых y Y множества { f 1( y)}

содержат более чем один элемент и поэтому однозначного отображения, обратного к f , в этом случае нет. Если допустить

многозначные отображения, то для сюръективного отображения обратное определяется как отображение, ставящее всякому y из

и, кроме того, встает проблема выделения однозначных ветвей обратных отображений.

Следует упомянуть еще об одной проблеме. В силу сложившихся традиций обозначать независимую переменную буквой x , а зависимую переменную – буквой y , в уравнениях кривых

x arcsin y , x arccosy и так далее, буквы x и y меняют мес-

тами и говорят, что функция arcsinx обратна функции sin x , arccos x обратна cos x и т.д., хотя на самом деле arcsinx обратна функции sin y , arccos x обратна cosy . При такой замене

графики прямой и обратной функций симметричны друг другу относительно биссектрисы первого координатного угла.

1.3.4. Основные элементарные функции

Среди отображений f : X R Y R выделяют класс ос-

новных элементарных функций, к которым относятся следующие:

1) степенная функция x , где R . В общем случае ее область определения X (0, ) . При некоторых значениях об-

ласть определения может быть шире. Например, при n N функция xn определена на всей числовой оси;

2)показательная функция a x , a 0 , a 1. Ее область определения – вся числовая ось R . При a 1 показательная функция строго возрастающая, а при 0 a 1 – строго убывающая;

3)логарифмическая функция loga x , a 0 , a 1. Область

определения X R (0, ) , область значений – вся числовая ось R ( , ) ;

4) тригонометрические функции sin x , cos x , tg x , ctg x . Функции sin x , cos x определены на всей числовой оси, область их значений Y есть отрезок 1,1 . Функция tg x определена

при x k а ctg x определена при x k , где k – любое

2

целое число;

27