Математика-2-й семестр (курс лекций)

при y

.

2

2

(arccosx)x

1

1

1

1

.

(cos y) y

sin y

1 cos2 y

1 x2

Так как sin y 0 при

0 y , то перед корнем ставится знак

«+».

f (x) f (x

, x ,..., x ) ,

x (x0

, x0

,..., x0 )T Rn

–

1

2

n

0

1

2

n

фиксированная точка,

a Rn

- фиксированный вектор, t

–

число. Предел

lim

f (x0 at) f (x0 )

,

t 0

a

t

если он существует и конечен, называется производной

функции

f

в направлении

a ,

или производной Гато,

и

обозначается

f

(x0 ) .

a

Пусть a ei

– единичный n - мерный вектор с i -ой коорди-

натой, равной единице, тогда

f

f

lim

f (x eit) f (x)

f

.

a

ei

t 0

t

xi

двух переменных. Тогда

x (x0

, x0 )T ,

a ( ,

2

)T ,

0

1

2

1

at 1t, 2t T . Положив x1 (t) x10

1t ,

x2 (t) x20

2t , имеем

f

lim

f (x0

t, x0 t) f (x0 , x0 )

1

1

2

2

1

2

a

t 0

a

t

lim

f (x1 (t), x2 (t)) f (x1

(0), x2 (0))

1

df

.

a

t

a

dt

t 0

t 0

По формуле (2.9) получаем

df

f

dx1

f

dx2

f

f

.

2

dt

x1

dt

x2

dt

x1

1

x2

Следовательно,

f

f (x0

, x

0 )

f (x0

, x0 )

2

1

1

1

1

1

,

a

x

a

x

2

a

1

где

a

2 2

– длина вектора a .

1

2

Учитывая, что

1

,

2

– направляющие косинусы вектора

a

a

a , из последнего равенства находим

f

f

f

a

cos

cos gradf ,

a

x

x

a

1

a

2

f

gradf

cos(gradf , a).

a

f

n

f

a

cos i gradf ,

,

a

x

a

i 1

i

T

f

f

f

где

,

,...,

x

x

x

gradf

.

1

2

n

Далее можем записать

f

a

cos gradf , a

cos gradf , a .

gradf ,

a

gradf

gradf

a

a

a

Таким образом, число f

принимает наибольшее значение,

a

если cos gradf , a 1, то есть, когда вектор gradf направлен в ту

же сторону, что и вектор

a , и наименьшее значение, если

cos gradf , a 1, то есть вектор gradf имеет направление про-

ление grad f

– направление

наиболее

быстрого возрастания

функции f ,

а направление

grad f –

направление наиболее

быстрого убывания функции

f . Этот факт используют в по-

строении градиентных методов поиска экстремума.

Пример. Найдите f

в точке

M (1,2, 1) , если

a

f (x, y, z) x4 y2

4xyz3 2z2 , a (1,3, 2)T .

12 32 ( 2)2

Так как

a

14 , то

a

1

3

2

,

,

.

a

14

14

14

Далее,

f 4x3 y2 4 yz3,

f

2x4 y 4xz3 ,

f

12xyz2 4z,

x

y

z

поэтому

f

(1,2, 1) 8,

f

(1,2, 1) 0,

f

(1,2, 1) 28.

x

y

z

Таким образом, окончательно получаем

f

(1,2, 1) 8

1

0

3

28

2

48

.

a

14

14

14

14

Заметим, что

f

определяет скорость изменения функции

a

в точке M в направлении вектора a , а знак величины

f

–

a

Вначале рассмотрим скалярную функцию f

одной пере-

менной ( f : X Y , X ,Y R ). Пусть для всякого x

из X суще-

ствует производная

f

функции

f . Определим вторую произ-

водную f

функции f

как производную от первой производ-

ной, то

есть,

положим

f (x) ( f (x)) .

Аналогично

f (x) ( f (x)) ,…,

f (n) (x) ( f (n 1) (x)) .

Пример 1. Пусть

f (x) (ax b) , где a,b, – const. Найти

f (x) cos x sin(x ) , f (x) cos(x ) sin(x 2 ) ,

2

2

2

f (x) cos(x 2 ) sin(x 3 ) ,…, f (n) (x) sin(x n ) .

2

2

2

Рассмотрим более подробно производные высших порядков

от сложной функции одной переменной. Пусть

f (x) и x(t)

дифференцируемые функции. Тогда по формуле (2.8) имеем

df

df

dx

.

dt

dx

dt

Предположим, что функции

df

и

dx

также дифференцируемы.

dx

dt

d 2 f

d df

d df

dx

d df

dx

df

d 2 x

.

dt2

dt2

dt dt

dt dx

dt

dt dx

dt

dx

d df

d

df

dx

d 2 f

dx

dx2

dt dx

dx

dx

dt

dt

и после подстановки этого результата в выражение для

d 2 f

dt

2

окончательно имеем

d

2 f

d 2 f

dx

2

df

d 2 x

.

dt2

dx2

2

dt

dx

dt

Для вектор-функции одного аргумента

f (x)