
Математика-2-й семестр (курс лекций)
..pdf
Знак «+» перед корнем ставится ввиду положительности cosy
при y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(arccosx)x |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(cos y) y |
sin y |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 cos2 y |
1 x2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Так как sin y 0 при |
0 y , то перед корнем ставится знак |
||||||||||||||
«+». |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.6. Производная по направлению
Определение. Пусть f – функция многих переменных
f (x) f (x |
, x ,..., x ) , |
x (x0 |
, x0 |
,..., x0 )T Rn |
– |
||||||||||||
|
1 |
|
2 |
n |
|
0 |
|
1 |
|
2 |
|
|
n |
|
|||
фиксированная точка, |
a Rn |
- фиксированный вектор, t |
– |
||||||||||||||
число. Предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
lim |
|
f (x0 at) f (x0 ) |
|
, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
t 0 |
|
a |
t |
|
|
|
|
|
|
|
||
если он существует и конечен, называется производной |
|||||||||||||||||
функции |
f |
в направлении |
a , |
или производной Гато, |
и |
||||||||||||
обозначается |
|
f |
(x0 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть a ei |
– единичный n - мерный вектор с i -ой коорди- |
||||||||||||||||
натой, равной единице, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
f |
|
f |
lim |
f (x eit) f (x) |
|
f |
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a |
|
ei |
t 0 |
|
t |
|
|
|
|
|
xi |
|
|
Таким образом, мы получили, что производная в направлении координатной оси совпадает с частной производной по этой координате.
Найдем теперь выражение, связывающее производные f и
a
f . Для простоты вычислений и записи ограничимся случаем
двух переменных. Тогда |
x (x0 |
, x0 )T , |
a ( , |
2 |
)T , |
|
|
0 |
1 |
2 |
1 |
|
|
at 1t, 2t T . Положив x1 (t) x10 |
1t , |
x2 (t) x20 |
2t , имеем |
121

f |
lim |
f (x0 |
t, x0 t) f (x0 , x0 ) |
|
||||||||
|
1 |
1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
||||||
|
|
|
||||||||||
a |
t 0 |
|
|
|
a |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
f (x1 (t), x2 (t)) f (x1 |
(0), x2 (0)) |
|
|
1 |
|
|
|
|
df |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
dt |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 0 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
По формуле (2.9) получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
df |
|
f |
|
|
|
dx1 |
|
|
f |
|
dx2 |
|
f |
|
|
|
f |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
x2 |
|
|
|
|
dt |
|
x1 |
|
1 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
f (x0 |
, x |
0 ) |
|
|
|
|
|
f (x0 |
, x0 ) |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
где |
|
a |
|
|
|
|
|
2 2 |
|
– длина вектора a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Учитывая, что |
|
|
|
|
1 |
|
|
, |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
– направляющие косинусы вектора |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a , из последнего равенства находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
cos gradf , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gradf |
|
|
|
cos(gradf , a). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично для функции любого числа переменных показывается, что
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
n |
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos i gradf , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
x |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
i |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
f |
|
f |
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
где |
|
|
, |
,..., |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x |
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
gradf |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Далее можем записать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
cos gradf , a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos gradf , a . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
gradf , |
|
|
a |
|
|
|
|
|
gradf |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gradf |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
122

Таким образом, число f |
принимает наибольшее значение, |
a |
|
если cos gradf , a 1, то есть, когда вектор gradf направлен в ту |
|
же сторону, что и вектор |
a , и наименьшее значение, если |
cos gradf , a 1, то есть вектор gradf имеет направление про- |
тивоположное направлению вектора a . Следовательно, направ-
ление grad f |
– направление |
наиболее |
быстрого возрастания |
функции f , |
а направление |
grad f – |
направление наиболее |
быстрого убывания функции |
f . Этот факт используют в по- |
строении градиентных методов поиска экстремума. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример. Найдите f |
|
в точке |
M (1,2, 1) , если |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
f (x, y, z) x4 y2 |
4xyz3 2z2 , a (1,3, 2)T . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
12 32 ( 2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Так как |
|
a |
|
14 , то |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
14 |
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Далее, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f 4x3 y2 4 yz3, |
f |
|
|
|
2x4 y 4xz3 , |
|
f |
12xyz2 4z, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|||
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
(1,2, 1) 8, |
|
f |
|
|
|
(1,2, 1) 0, |
f |
|
(1,2, 1) 28. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Таким образом, окончательно получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
f |
(1,2, 1) 8 |
|
1 |
|
|
|
0 |
|
3 |
|
28 |
2 |
|
|
48 |
|
. |
|||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
14 |
|
14 |
|
14 |
14 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что |
|
f |
|
определяет скорость изменения функции |
||
|
|
|||||
|
|
a |
|
|
|
|
в точке M в направлении вектора a , а знак величины |
f |
– |
||||
|
|
|
|
|
a |
|
характер изменения функции (возрастание, убывание). В дан-
123

ном примере функция в точке M в направлении вектора a
убывает со скоростью 48 . 14
2.7. Производные высших порядков
Вначале рассмотрим скалярную функцию f |
одной пере- |
||||
менной ( f : X Y , X ,Y R ). Пусть для всякого x |
из X суще- |
||||
ствует производная |
f |
функции |
f . Определим вторую произ- |
||
водную f |
функции f |
как производную от первой производ- |
|||
ной, то |
есть, |
положим |
f (x) ( f (x)) . |
Аналогично |
|
f (x) ( f (x)) ,…, |
f (n) (x) ( f (n 1) (x)) . |
|
|||
Пример 1. Пусть |
f (x) (ax b) , где a,b, – const. Найти |
f (n) (x) .
f (x) (ax b) 1 a , f (x) ( 1)(ax b) 2 a2 ,… , f (n) (x) ( 1)...( n 1)(ax b) n an .
Пример 2. f (x) eax b , a и b – const. Найти f (n) (x) .
f (x) a eax b , f (x) a2 eax b , … , f (n) (x) an eax b.
Пример 3. f (x) sin x . Найти f (n) (x) . Имеем
f (x) cos x sin(x ) , f (x) cos(x ) sin(x 2 ) , |
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
||||
f (x) cos(x 2 ) sin(x 3 ) ,…, f (n) (x) sin(x n ) . |
||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
||||
Рассмотрим более подробно производные высших порядков |
||||||||||||
от сложной функции одной переменной. Пусть |
f (x) и x(t) |
|||||||||||
дифференцируемые функции. Тогда по формуле (2.8) имеем |
||||||||||||
|
df |
|
|
df |
|
|
dx |
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
dt |
|
|
dx |
|
|
dt |
|
||||
Предположим, что функции |
|
df |
и |
|
|
dx |
также дифференцируемы. |
|||||
|
|
|
dx |
|
|
dt |
|
Применяя к полученному выражению правило дифференцирования произведения, имеем
124

d 2 f |
|
d df |
|
d df |
|
dx |
|
d df |
|
dx |
|
df |
|
d 2 x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
dt2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt2 |
||||||||||||||
|
dt dt |
|
dt dx |
|
dt |
|
dt dx |
|
dt |
|
dx |
|
|
Так как dfdx – сложная функция от переменной t , то по формуле
(2.8), получаем
|
d df |
|
|
d |
|
|
df |
|
dx |
|
|
d 2 f |
|
|
dx |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
dt dx |
|
|
dx |
dx |
|
dt |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
и после подстановки этого результата в выражение для |
d 2 f |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dt |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
окончательно имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
d |
2 f |
|
d 2 f |
|
dx |
2 |
|
|
df |
|
|
|
d 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
dt2 |
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
dx |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Для вектор-функции одного аргумента |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
f (x) |
f (x), f |
|
(x),..., |
f |
|
|
|
T |
|
|
|
f2 (x) |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||
2 |
k |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
....... |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fk (x) |
|
|
|
полагаем, по аналогии с функцией одной переменной,
f (x)
f (n)
Пример 4. Пусть
|
|
|
f (x) |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
( f (x)) |
f (x) |
|
|
|
|
|
....... |
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
k |
|
(x) ( f (n 1) (x))
f (x) e2 x , cos3x T
|
|
|
|
f (x) |
|
||
|
1 |
|
|
|
f (x) |
|
|
2 |
|
||
|
....... |
|
, |
|
|
|
|
|
|
||
|
f (x) |
|
|
|
k |
|
|
f1(n) (x)
f2(n) (x) .
.......
fk(n) (x)
,тогда
125
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|||
|
2e |
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2e |
2x |
|
|
|
|
4e |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
f (x) |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||
|
3sin 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3sin 3x |
|
|
9 cos3x |
||||||||||||||||||
Для скалярной |
функции |
|
многих переменных ( f : X Y , |
||||||||||||||||||||||||||||||
X Rn , Y R , |
|
f (x) f (x , x |
|
|
,..., x |
|
) ) положим |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
f (x) |
|
f |
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
,..., |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
f |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
||
x1 |
|
|
x1 |
|
x1 |
|
|
|
|
x2 x1 |
|
|
|
xn |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
||||||||||||||||||
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
... |
|
|
|
f |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
x2 |
|
x1 |
|
x2 |
|
|
|
|
x2 x2 |
|
|
xn x2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
||||||||||||||||||||
... |
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
||||||||||||||
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
... |
|
|
|
|
f |
|
|||||
|
x |
|
|
|
|
x x |
|
|
|
|
x x |
|
|
x |
x |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
2 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
n |
|
Неформальное введение производных более высокого порядка в только что рассмотренном и более общем случае век- тор-функции многих переменных, по использованной для скалярной функции и вектор-функции одной переменной схеме, требует дополнительных, выходящих за рамки курса технического вуза, знаний. С соответствующим изложением можно ознакомиться в [5,6] и в других изданиях.
Отметим, что в нашем случае функциональная матрица со-
стоит из элементов |
|
|
|
|
f |
, называемых частными производ- |
|||||||
|
x |
j |
|
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
||
ными второго порядка и обозначаемых |
2 f |
, или f xi x j |
. При |
||||||||||
x j xi |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
i j |
пишут |
2 f |
, f 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По аналогии с частными производными второго порядка вводятся частные производные третьего, четвертого и более высоких порядков, например,
126
3 f |
|
2 f |
, |
3 f |
|
|
|
2 f |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x2 x12 |
x2 x12 |
x22 x1 |
x2 x2 x1 |
||||||||
|
|
|
|
Частные производные высших порядков, полученные дифференцированием по различным переменным, называются смешанными.
Пример 5. Пусть f (x, y) y exp( x2 ) cos y . Тогда
f 2xy exp( x2 ), |
f exp( x2 ) sin y, |
f |
|
cos y, |
||||
x |
|
|
y |
|
|
|
yy |
|
f |
|
4x2 y exp( x2 ) 2y exp( x2 ), |
f |
2x exp( x2 ), |
||||
|
xx |
|
|
xy |
|
|
|
|
f 2x exp( x2 ).
yx
Замечание. exp( x) ex .
В рассмотренном примере совпали смешанные частные производные
2 f |
, |
2 f |
, |
x y |
y x |
поэтому возникает закономерный вопрос о совпадении, в общем случае, частных производных по одним и тем же переменным, взятых в разном порядке. Ответ на него заключен в теореме.
Теорема 2.4. Если смешанные частные производные
|
|
|
2 f |
|
, |
2 f |
|
|
||
|
|
|
x x |
j |
x |
j |
x |
|
||
|
|
|
i |
|
|
i |
|
|||
определены |
в |
некоторой |
|
окрестности |
точки |
|||||
x (x1, x2 ,..., xn ) |
и непрерывны в этой точке, то они равны |
между собой в этой точке.
Доказательство проведем позже.
Следствие. Смешанные частные производные любого порядка, отличающиеся порядком дифференцирования, определённые в окрестности точки и непрерывные в точке, равны в этой точке между собой.
Рассмотрим более подробно частные производные высших порядков от сложной функции для функции двух переменных.
127

Пусть f (x, y) , x(t) , y(t) дифференцируемые функции. То-
гда, по формуле (2.9) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
df |
|
f |
|
dx |
|
f |
dy |
|
. |
(2.13) |
||
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||
|
dt |
|
dt |
y |
dt |
|
|
|
|||||
|
|
|
f |
|
|
dx |
f |
|
dy |
|
|||
Предположим, что функции |
x |
, |
|
|
, y |
, |
|
|
также дифферен- |
||||
dt |
|
|
dt |
цируемы. Пользуясь формулами дифференцирования суммы и произведения, из (2.13) имеем
d 2 f |
|
d f |
|
|
dx |
|
f |
|
d 2 x |
|
d |
|
f |
|
|
dy |
|
f |
|
d 2 y |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. (2.14) |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||
dt |
|
dt x |
|
dt |
|
x |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
y |
|
dt |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
y |
|
|
|
|
|
Так как |
f |
и |
f |
|
являются сложными функциями от перемен- |
|||||||||||||||||||
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ной t , то применяя формулу (2.13), получаем |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
d |
f |
|
2 f |
|
dx |
|
2 f |
|
|
dy |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
dt |
y x |
dt |
|
||||||||||||||
|
|
|
dt |
x |
|
|
|
|
|
|
|
(2.15) |
||||||||||||
|
|
|
|
d |
|
|
f |
|
|
2 f |
|
|
dx |
|
|
2 f |
|
|
dy |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt y |
|
|
x y |
|
dt |
|
|
y |
|
|
|
dt |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя (2.15)
тельно имеем
d 2 f 2 f dt2 x2
в (2.14), и считая, что |
|
|
2 f |
|
|
2 f |
|
, оконча- |
||||||||||||
|
x y |
y x |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
dx 2 |
|
|
|
2 f |
|
|
dx |
|
dy |
|
|
2 f |
dy 2 |
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
dt |
|
|
y x |
dt dt |
|
|
dt |
|
|
|||||||||||
|
|
|
f |
|
|
d 2 x |
|
f |
|
d 2 y |
|
. |
|
|
|
|
|
(2.16) |
||
|
|
x |
|
dt 2 |
y |
dt |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким же способом можно найти производные и более высоких порядков.
Пусть дана функция f (x, y) , причем x x(u, v) , y y(u, v) . Тогда имеем сложную функцию (u,v) f (x(u,v), y(u,v)) . Будем считать функции f (x, y) , x(u,v) , y(u,v) дифференцируе-
128
мыми и имеющими дифференцируемые производные первого порядка.
В подразделе 2.4 показано, что
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
f |
|
x |
|
|
|
f |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
x |
u |
|
y |
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.17) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
f |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
v x v |
|
|
y |
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из первого соотношения в (2.17) находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 f |
|
f |
x |
|
|
|
|
f |
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
y |
|
|
f |
|
2 y |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||
u |
|
u x |
u |
|
|
|
|
x |
|
|
u |
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
y |
|
u |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Так как |
f |
и f |
|
являются сложными функциями переменных |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
u и v , то применяя формулы (2.17), получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
2 f |
|
|
|
x |
|
|
|
2 f |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x2 |
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
y x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.18) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
2 f |
|
|
|
|
x |
|
|
|
2 f |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
v y |
|
|
|
x y v |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Подставляя соотношения (2.18) в (2.17) и считая, что |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 f |
|
|
|
|
|
2 f |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
y x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
окончательно имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 f |
|
2 f |
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 f |
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
2 f |
|
y |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
u 2 |
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
y x |
|
|
u |
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
2 x |
|
f |
|
|
2 y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
u |
2 |
|
y |
u 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Таким же способом можно найти производные |
2 f |
, |
|
|
2 f |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
v2 |
|
u v |
Предлагаем проделать это самостоятельно в качестве упражнения.
129
2.8. Производная функции, заданной параметрически
Пусть скалярная функция задана параметрически
x x(t), |
|
|
t , , |
y y(t), |
где x(t) и y(t) – достаточное число раз дифференцируемые функции и x (t) 0 . Предположим, что удалось найти обратную
к x(t) функцию |
x 1 t(x) , |
тогда y(x) y(t(x)) – сложная |
||||||
функция и |
y |
y t |
y |
1 |
|
yt |
. Таким образом, производная |
|
|
x |
|||||||
|
x |
t |
x |
t x |
|
|
||
|
|
|
|
|
t |
|
t |
|
функции, заданной параметрически, вычисляется по формуле
|
|
|
|
|
dy |
|
|
yt |
|
|
|
|
|
|
||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x , |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
(2.19) |
|||||
|
|
x x(t). |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Как видим, производная |
y этими соотношениями задана |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
также параметрически. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для нахождения второй производной y |
воспользуемся со- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xx |
|
отношениями (2.19) еще раз: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
dy |
' |
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
yxx |
|
|
|
|
xt |
|
|||||||||
|
|
|
|
dx t |
|
|
|
|||||||||
|
x(t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|||||
Вычислив производную дроби |
|
|
|
|
, получаем |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx t |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
|
|
ytt xt |
yt |
xtt |
, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
xx |
|
|
|
|
|
(x )3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x(t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично могут быть получены выражения для третьей, четвертой и т.д. производных функции, заданной параметрически.
Пример. Для параметрически заданной функции
130