Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Математика-2-й семестр (курс лекций)

..pdf
Скачиваний:
10
Добавлен:
05.02.2023
Размер:
11.03 Mб
Скачать

Знак «+» перед корнем ставится ввиду положительности cosy

при y

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(arccosx)x

 

1

 

 

1

 

 

1

 

 

1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(cos y) y

sin y

 

 

 

 

 

 

 

1 cos2 y

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как sin y 0 при

0 y , то перед корнем ставится знак

«+».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.6. Производная по направлению

Определение. Пусть f – функция многих переменных

f (x) f (x

, x ,..., x ) ,

x (x0

, x0

,..., x0 )T Rn

 

1

 

2

n

 

0

 

1

 

2

 

 

n

 

фиксированная точка,

a Rn

- фиксированный вектор, t

число. Предел

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

f (x0 at) f (x0 )

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 0

 

a

t

 

 

 

 

 

 

 

если он существует и конечен, называется производной

функции

f

в направлении

a ,

или производной Гато,

и

обозначается

 

f

(x0 ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть a ei

– единичный n - мерный вектор с i -ой коорди-

натой, равной единице, тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

f

lim

f (x eit) f (x)

 

f

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

ei

t 0

 

t

 

 

 

 

 

xi

 

 

Таким образом, мы получили, что производная в направлении координатной оси совпадает с частной производной по этой координате.

Найдем теперь выражение, связывающее производные f и

a

f . Для простоты вычислений и записи ограничимся случаем

двух переменных. Тогда

x (x0

, x0 )T ,

a ( ,

2

)T ,

 

0

1

2

1

 

at 1t, 2t T . Положив x1 (t) x10

1t ,

x2 (t) x20

2t , имеем

121

f

lim

f (x0

t, x0 t) f (x0 , x0 )

 

 

1

1

2

2

1

2

 

 

 

a

t 0

 

 

 

a

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

f (x1 (t), x2 (t)) f (x1

(0), x2 (0))

 

 

1

 

 

 

 

df

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

t 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По формуле (2.9) получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

df

 

f

 

 

 

dx1

 

 

f

 

dx2

 

f

 

 

 

f

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

x1

 

 

 

 

 

dt

 

 

x2

 

 

 

 

dt

 

x1

 

1

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

f (x0

, x

0 )

 

 

 

 

 

f (x0

, x0 )

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

x

2

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

a

 

 

 

 

 

2 2

 

– длина вектора a .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая, что

 

 

 

 

1

 

 

,

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

– направляющие косинусы вектора

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a , из последнего равенства находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

cos gradf ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gradf

 

 

 

cos(gradf , a).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично для функции любого числа переменных показывается, что

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

n

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos i gradf ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

x

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

i

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

f

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

,

,...,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gradf

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Далее можем записать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

cos gradf , a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos gradf , a .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gradf ,

 

 

a

 

 

 

 

 

gradf

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gradf

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

122

Таким образом, число f

принимает наибольшее значение,

a

 

если cos gradf , a 1, то есть, когда вектор gradf направлен в ту

же сторону, что и вектор

a , и наименьшее значение, если

cos gradf , a 1, то есть вектор gradf имеет направление про-

тивоположное направлению вектора a . Следовательно, направ-

ление grad f

– направление

наиболее

быстрого возрастания

функции f ,

а направление

grad f

направление наиболее

быстрого убывания функции

f . Этот факт используют в по-

строении градиентных методов поиска экстремума.

Пример. Найдите f

 

в точке

M (1,2, 1) , если

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x, y, z) x4 y2

4xyz3 2z2 , a (1,3, 2)T .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12 32 ( 2)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как

 

a

 

14 , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

1

 

 

 

 

3

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

 

 

 

 

14

 

 

 

14

 

 

 

 

 

 

 

 

Далее,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f 4x3 y2 4 yz3,

f

 

 

 

2x4 y 4xz3 ,

 

f

12xyz2 4z,

x

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

(1,2, 1) 8,

 

f

 

 

 

(1,2, 1) 0,

f

 

(1,2, 1) 28.

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

Таким образом, окончательно получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

(1,2, 1) 8

 

1

 

 

 

0

 

3

 

28

2

 

 

48

 

.

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

 

14

 

14

14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим, что

 

f

 

определяет скорость изменения функции

 

 

 

 

a

 

 

 

 

в точке M в направлении вектора a , а знак величины

f

 

 

 

 

 

a

 

характер изменения функции (возрастание, убывание). В дан-

123

ном примере функция в точке M в направлении вектора a

убывает со скоростью 48 . 14

2.7. Производные высших порядков

Вначале рассмотрим скалярную функцию f

одной пере-

менной ( f : X Y , X ,Y R ). Пусть для всякого x

из X суще-

ствует производная

f

функции

f . Определим вторую произ-

водную f

функции f

как производную от первой производ-

ной, то

есть,

положим

f (x) ( f (x)) .

Аналогично

f (x) ( f (x)) ,…,

f (n) (x) ( f (n 1) (x)) .

 

Пример 1. Пусть

f (x) (ax b) , где a,b, – const. Найти

f (n) (x) .

f (x) (ax b) 1 a , f (x) ( 1)(ax b) 2 a2 ,… , f (n) (x) ( 1)...( n 1)(ax b) n an .

Пример 2. f (x) eax b , a и b – const. Найти f (n) (x) .

f (x) a eax b , f (x) a2 eax b , … , f (n) (x) an eax b.

Пример 3. f (x) sin x . Найти f (n) (x) . Имеем

f (x) cos x sin(x ) , f (x) cos(x ) sin(x 2 ) ,

2

 

 

 

 

 

 

2

2

f (x) cos(x 2 ) sin(x 3 ) ,…, f (n) (x) sin(x n ) .

2

 

2

 

 

 

 

 

2

Рассмотрим более подробно производные высших порядков

от сложной функции одной переменной. Пусть

f (x) и x(t)

дифференцируемые функции. Тогда по формуле (2.8) имеем

 

df

 

 

df

 

 

dx

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

dx

 

 

dt

 

Предположим, что функции

 

df

и

 

 

dx

также дифференцируемы.

 

 

 

dx

 

 

dt

 

Применяя к полученному выражению правило дифференцирования произведения, имеем

124

d 2 f

 

d df

 

d df

 

dx

 

d df

 

dx

 

df

 

d 2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

dt2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt2

 

dt dt

 

dt dx

 

dt

 

dt dx

 

dt

 

dx

 

 

Так как dfdx – сложная функция от переменной t , то по формуле

(2.8), получаем

 

d df

 

 

d

 

 

df

 

dx

 

 

d 2 f

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx2

 

 

 

 

 

 

 

 

dt dx

 

 

dx

dx

 

dt

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

и после подстановки этого результата в выражение для

d 2 f

dt

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

окончательно имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

2 f

 

d 2 f

 

dx

2

 

 

df

 

 

 

d 2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

dt2

dx2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

dx

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

Для вектор-функции одного аргумента

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

f (x)

f (x), f

 

(x),...,

f

 

 

 

T

 

 

 

f2 (x)

.

 

 

2

k

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.......

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fk (x)

 

 

 

полагаем, по аналогии с функцией одной переменной,

f (x)

f (n)

Пример 4. Пусть

 

 

 

f (x)

 

 

1

 

 

2

 

( f (x))

f (x)

 

 

 

 

.......

 

 

 

 

f (x)

 

k

 

(x) ( f (n 1) (x))

f (x) e2 x , cos3x T

 

 

 

 

f (x)

 

 

1

 

 

 

f (x)

 

 

2

 

 

.......

 

,

 

 

 

 

 

 

f (x)

 

 

k

 

 

f1(n) (x)

f2(n) (x) .

.......

fk(n) (x)

,тогда

125

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

2e

2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2e

2x

 

 

 

 

4e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

 

 

 

 

 

 

,

 

 

f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

3sin 3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3sin 3x

 

 

9 cos3x

Для скалярной

функции

 

многих переменных ( f : X Y ,

X Rn , Y R ,

 

f (x) f (x , x

 

 

,..., x

 

) ) положим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

 

f

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

,...,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

 

x1

 

x1

 

 

 

 

x2 x1

 

 

 

xn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

f

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

...

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

x2

 

x1

 

x2

 

 

 

 

x2 x2

 

 

xn x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

...

 

 

 

...

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

...

 

 

 

 

f

 

 

x

 

 

 

 

x x

 

 

 

 

x x

 

 

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

1

 

 

 

n

 

 

 

2

 

 

 

n

 

 

 

 

 

n

n

 

Неформальное введение производных более высокого порядка в только что рассмотренном и более общем случае век- тор-функции многих переменных, по использованной для скалярной функции и вектор-функции одной переменной схеме, требует дополнительных, выходящих за рамки курса технического вуза, знаний. С соответствующим изложением можно ознакомиться в [5,6] и в других изданиях.

Отметим, что в нашем случае функциональная матрица со-

стоит из элементов

 

 

 

 

f

, называемых частными производ-

 

x

j

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

ными второго порядка и обозначаемых

2 f

, или f xi x j

. При

x j xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i j

пишут

2 f

, f 2 .

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По аналогии с частными производными второго порядка вводятся частные производные третьего, четвертого и более высоких порядков, например,

126

3 f

 

2 f

,

3 f

 

 

 

2 f

.

 

 

 

 

 

 

 

x2 x12

x2 x12

x22 x1

x2 x2 x1

 

 

 

 

Частные производные высших порядков, полученные дифференцированием по различным переменным, называются смешанными.

Пример 5. Пусть f (x, y) y exp( x2 ) cos y . Тогда

f 2xy exp( x2 ),

f exp( x2 ) sin y,

f

 

cos y,

x

 

 

y

 

 

 

yy

 

f

 

4x2 y exp( x2 ) 2y exp( x2 ),

f

2x exp( x2 ),

 

xx

 

 

xy

 

 

 

 

f 2x exp( x2 ).

yx

Замечание. exp( x) ex .

В рассмотренном примере совпали смешанные частные производные

2 f

,

2 f

,

x y

y x

поэтому возникает закономерный вопрос о совпадении, в общем случае, частных производных по одним и тем же переменным, взятых в разном порядке. Ответ на него заключен в теореме.

Теорема 2.4. Если смешанные частные производные

 

 

 

2 f

 

,

2 f

 

 

 

 

 

x x

j

x

j

x

 

 

 

 

i

 

 

i

 

определены

в

некоторой

 

окрестности

точки

x (x1, x2 ,..., xn )

и непрерывны в этой точке, то они равны

между собой в этой точке.

Доказательство проведем позже.

Следствие. Смешанные частные производные любого порядка, отличающиеся порядком дифференцирования, определённые в окрестности точки и непрерывные в точке, равны в этой точке между собой.

Рассмотрим более подробно частные производные высших порядков от сложной функции для функции двух переменных.

127

Пусть f (x, y) , x(t) , y(t) дифференцируемые функции. То-

гда, по формуле (2.9) имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

df

 

f

 

dx

 

f

dy

 

.

(2.13)

 

 

x

 

 

 

 

 

dt

 

dt

y

dt

 

 

 

 

 

 

f

 

 

dx

f

 

dy

 

Предположим, что функции

x

,

 

 

, y

,

 

 

также дифферен-

dt

 

 

dt

цируемы. Пользуясь формулами дифференцирования суммы и произведения, из (2.13) имеем

d 2 f

 

d f

 

 

dx

 

f

 

d 2 x

 

d

 

f

 

 

dy

 

f

 

d 2 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. (2.14)

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

dt

 

dt x

 

dt

 

x

 

dt

 

 

 

 

 

 

dt

 

y

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

y

 

 

 

 

 

Так как

f

и

f

 

являются сложными функциями от перемен-

 

x

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ной t , то применяя формулу (2.13), получаем

 

 

 

 

 

d

f

 

2 f

 

dx

 

2 f

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

x2

dt

y x

dt

 

 

 

 

dt

x

 

 

 

 

 

 

 

(2.15)

 

 

 

 

d

 

 

f

 

 

2 f

 

 

dx

 

 

2 f

 

 

dy

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt y

 

 

x y

 

dt

 

 

y

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя (2.15)

тельно имеем

d 2 f 2 f dt2 x2

в (2.14), и считая, что

 

 

2 f

 

 

2 f

 

, оконча-

 

x y

y x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx 2

 

 

 

2 f

 

 

dx

 

dy

 

 

2 f

dy 2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

y x

dt dt

 

 

dt

 

 

 

 

 

f

 

 

d 2 x

 

f

 

d 2 y

 

.

 

 

 

 

 

(2.16)

 

 

x

 

dt 2

y

dt

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким же способом можно найти производные и более высоких порядков.

Пусть дана функция f (x, y) , причем x x(u, v) , y y(u, v) . Тогда имеем сложную функцию (u,v) f (x(u,v), y(u,v)) . Будем считать функции f (x, y) , x(u,v) , y(u,v) дифференцируе-

128

мыми и имеющими дифференцируемые производные первого порядка.

В подразделе 2.4 показано, что

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

f

 

x

 

 

 

f

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

x

u

 

y

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.17)

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

f

 

 

 

x

 

 

 

 

 

f

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v x v

 

 

y

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из первого соотношения в (2.17) находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 f

 

f

x

 

 

 

 

f

 

 

2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

y

 

 

f

 

2 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

u

 

u x

u

 

 

 

 

x

 

 

u

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

y

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как

f

и f

 

являются сложными функциями переменных

 

x

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u и v , то применяя формулы (2.17), получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

2 f

 

 

 

x

 

 

 

2 f

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x2

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

y x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.18)

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

2 f

 

 

 

 

x

 

 

 

2 f

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v y

 

 

 

x y v

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя соотношения (2.18) в (2.17) и считая, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 f

 

 

 

 

 

2 f

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x y

 

y x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

окончательно имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 f

 

2 f

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

2 f

 

 

x

 

 

 

y

 

 

2 f

 

y

2

 

 

u 2

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

y x

 

 

u

 

 

 

u

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

2 x

 

f

 

 

2 y

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

u

2

 

y

u 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким же способом можно найти производные

2 f

,

 

 

2 f

 

.

v2

 

u v

Предлагаем проделать это самостоятельно в качестве упражнения.

129

2.8. Производная функции, заданной параметрически

Пусть скалярная функция задана параметрически

x x(t),

 

 

t , ,

y y(t),

где x(t) и y(t) – достаточное число раз дифференцируемые функции и x (t) 0 . Предположим, что удалось найти обратную

к x(t) функцию

x 1 t(x) ,

тогда y(x) y(t(x)) – сложная

функция и

y

y t

y

1

 

yt

. Таким образом, производная

 

x

 

x

t

x

t x

 

 

 

 

 

 

 

t

 

t

 

функции, заданной параметрически, вычисляется по формуле

 

 

 

 

 

dy

 

 

yt

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ,

 

 

 

 

 

 

 

x

 

dx

 

 

 

 

 

 

(2.19)

 

 

x x(t).

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Как видим, производная

y этими соотношениями задана

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

также параметрически.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для нахождения второй производной y

воспользуемся со-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xx

 

отношениями (2.19) еще раз:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

'

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yxx

 

 

 

 

xt

 

 

 

 

 

dx t

 

 

 

 

x(t).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

Вычислив производную дроби

 

 

 

 

, получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

dx t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

ytt xt

yt

xtt

,

 

 

 

 

 

 

xx

 

 

 

 

 

(x )3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x(t).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично могут быть получены выражения для третьей, четвертой и т.д. производных функции, заданной параметрически.

Пример. Для параметрически заданной функции

130