Математика-2-й семестр (курс лекций)

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

(x 1)3 (x 2)

Пример 2. Найти

f (x) , если f (x)

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

11.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3512 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Докажем сначала лемму.

Лемма. Величина

(x0 )

x x0

ограничена для вся-

x x0

кого x из Rn .

Доказательство

леммы. По

определению

нормы в Rn

xi2

, виду матрицы Якоби и определению операции

i 1

умножения матрицы на вектор имеем

(x0 )

x x0

1 ( x0 )

...

1 ( x0 )

x1 x10

x x0

2 ( x0 )

21 ( x0 )

...

2 ( x0 )

x2 x20

x x0

...

k1 ( x0 )

k ( x0 )

xn xn 0

...

x x0

1 ( x0 ) xi xi 0

x x0

i 1

2 ( x0 ) xi xi 0

x x0

i 1

.......... .......... .......

k ( x0 ) xi xi 0

x x0

i 1

1 2

j ( x0 )

xi xi 0

x x0

j 1

i 1

1 2

j ( x0 )

xi xi 0

x x0

j 1

i 1

111

(x) (x0 ) 0 . Тогда

j ( x0 )

2 1 2

j 1

i 1

в силу того, что

xi xi0

x x0

для всякого i 1,2,..., n. . Лемма доказана.

Доказательство теоремы. Рассмотрим приращение

( f )(x) ( f )(x0 ) f ( (x)) f ( (x0 )) . Имеем

f ( (x)) f ( (x0 )) f ( (x0 )) ( (x) (x0 )) 1( (x0 ), (x) (x0 ))

f ( (x0 )) ( (x0 )(x x0 ) 2 (x0 , x x0 )) 1( (x0 ), (x) (x0 ))

f ( (x0 )) (x0 )(x x0 ) f ( (x0 )) 2 (x0 , x x0 )

1( (x0 ), (x) (x0 )) ,

и, так как

f ( (x0 )) ( (x0 ) ( f )( x0 ) (x0 )) ,

то для доказательства теоремы осталось показать, что

(x0 , x x0 ) f ( (x0 )) 2 (x0 , x x0 )) 1( (x0 ), (x) (x0 ))

есть бесконечно малая более высокого порядка малости, чем

x x0	, то есть, что	(x0 , x x0 )		0 .
x x0	, то есть, что
	lim
	x x0		x x
			0

Для первого слагаемого это следует из свойств предела и определения 2 (x0 , x x0 ) . Действительно,

lim	f ( (x0 )) 2		(x x0 )	f ( (x )) lim		2 (x x0 ) 0.

x x0		x x	0		x x0		x x

		0					0

Покажем, что и второе слагаемое есть бесконечно малая более высокого порядка малости, чем x x0 . При (x) (x0 ) 0 это очевидно, так как в этом случае 1( (x0 ), (x) (x0 )) 0 . Поэтому предположим, что

lim	1	( (x0 ), (x) (x0 ))
lim			x x
x x0			x x
			0

112

lim

x x0

из чего

lim

1( (x0 ), (x) (x0 ))

(x) (x0 )

(x) (x )

x x

x x0

(x0 ), (x) (x0 ))

0 ) (x x0 )

2 (

x0 , x x0 )

(x) (x0 )

x x0

следует утверждение об

и, следовательно, утверж-

дение теоремы. Теорема доказана.

Рассмотрим частные случаи формулы (2.8), наиболее часто встречающиеся на практике.

Случай 1. Если n k m 1, то соотношение (2.8) является правилом дифференцирования суперпозиции скалярных функций одного скалярного аргумента (сложной функции одного аргумента), известного из курса средней школы.

Например:

(sin ln x) cosln x ; (cos2 x) 2cosx ( sin x) ; x

(ecos2 5x ) ecos2 5x 2cos5x ( sin 5x) 5 .

Теперь получим оставшиеся формулы из таблицы производных.

Вспоминая определение гиперболических функций, запишем

shx ex e x

, chx ex e x ,

thx

ex e x

cthx ex e x

ex e x

имеем

ex ( e x )

ex e x

chx ;

(shx)

ex e x

shx ;

(chx)

shx

(shx) chx (chx) shx

ch2x sh2x

(thx)

ch2x

chx

так как

113

ex e x 2

e2x 2exe x e 2x (e2x 2exe x e 2x ) 1 ;

chx

(chx) shx (shx) chx

x ch

(cthx) shx

Часто встречаются степенно-показательные функции, т.е. функции вида u(x)v(x). Для нахождения производных от них рекомендуется воспользоваться основным логарифмическим тождеством a eln a , тогда u(x)v( x) ev(x) lnu(x) , либо предварительно прологарифмировать функцию. Оба приёма эффективны


и	при		вычислении			производной	функций			вида
f (x)		u1 (x)u2 (x)...ul (x)
					.
		v1 (x)v2 (x)...vm (x)			.
	Пример 1. Найти					если f (x) (sin x)		cosx	. Находим
	Пример 1. Найти				f (x) ,	если f (x) (sin x)			. Находим
ln f (x) cos x ln sin x .				Дифференцируя обе части и используя

теоремы о дифференцировании сложной функции и произведения, имеем

	f (x)	sin x ln sin x			cos x	cos x,
	f (x)	sin x ln sin x			sin x	cos x,
	f (x)				sin x
из чего получаем
			cos x			cos x
f (x) (sin x)				sin x ln sin x			cos x
						sin x
(sin x)cosx 1 cos2 x sin2 x ln sin x ..

Тот же результат получим, если продифференцируем функцию f (x) (sin x)cosx ecosx lnsinx , совпадающую с исходной.

Логарифмируя обе части, получаем

114

ln f (x) 3ln(x 1) 4ln(x 2) 5ln(x2 1) 2ln(x 4) 6ln(x 3).

Дифференцируя обе части последнего выражения и используя теоремы о дифференцировании сложной функции, имеем

f (x)

10 x

x 2

x2 1

x 4

x 3

f (x) x 1

Умножая обе части полученного выражения на

f (x)

(x 1)3 (x 2)4 (x2

1)5

4)2 (x 3)6

окончательно получаем

(x 1)3 (x 2)4 (x2 1)5

10x

f (x)

(x 4)2 (x 3)6

x 2

x 1

x 3

Случай 2. Пусть n 1, k	– произвольно,	m 1. Для супер-
позиции отображений, приведенной на схеме,
имеем, что	f ( y1, y2,..., yk )	есть	скалярная
функция	k	переменных,
(x) y1(x), y2 (x),..., yk (x) T		– вектор-функция
одного	скалярного		аргумента,
f (x) f y1(x), y2 (x),..., yk (x)			скалярная

функция скалярного аргумента. Следовательно, можем записать

					f		f			f
f ( y , y		,..., y		)	f	,	f		,...,	f		,
f ( y , y		,..., y		)	y	,	y		,...,	y		,
1	2		k		y		y	2		y
					1			2			k

dy1

dy2

dyk

(x)

(x),

(x),...,

(x) ,

f (x)

(x), y2 (x),...,

yk (x) ,

y (x), y

(x),..., y

(x) ,...,

y (x), y

(x),...,

(x)

115

(x),

(x),...,

(x) ,

далее, перемножая матрицы

f (x)

и (x) , имеем

f (x) (x)

dy1

dy2

dyk

(x),

(x),...,

(x)

(x),

(x),...,

(x)

dy1

(x)

dy2

(x) ...

(x)

dyk

(x)

dy1

y1(x), y2 (x),..., yk

(x)

i 1

и получаем в результате

y1(x), y2 (x),..., yk (x)

(2.9)

i 1

Пример 3. Для функции

f ( y , y

)

найти

если

sin t ,

y2 cost . По формуле (2.9) находим

cost

sin t .

Интересен случай функции двух переменных

f (x, y) , когда

переменная

y зависит от переменной x , то есть функции вида

f (x, y(x)) . Этот случай ни чем не отличается от предыдущего, если ввести новую переменную t и положить x t . Тогда dxdt 1 , dydt dydx dxdt dydx . Поэтому, с одной стороны,

dfdt dfdx dxdt dfdx ,

с другой стороны

Приравнивая правые части полученных соотношений, окончательно получаем

116

df f f dy . dx x y dx

Производная df называется в этом случае полной, в отличие от dx

частной производной f , которая вычисляется при фиксиро-

ванном значении y .

Аналогично

рассматривается случай,

когда

функции

f (x, y1, y2 ,..., yk )

переменные y1, y2 ,..., yk зависят от переменной

x , то есть функции вида f (x, y1 (x), y2 (x),..., yk (x)) . Тогда

dyi

(x), y2 (x),..., yk (x)

i 1

Случай 3. Пусть n и k

– произвольны,

m 1. Для суперпо-

зиции отображений, приведенной на схеме,

имеем

что

f ( y1, y2,..., yk )

есть

скалярная

функция

переменных,

(x) y1(x), y2 (x),..., yk (x) T

– вектор-функция

векторного

аргумента

f (x) f

y1(x), y2 (x),..., yk (x)

– скалярная

функция векторного аргумента. Следовательно, можем записать

							f			f
f ( y , y		,...,	y		)		f		,	f
f ( y , y	2	,...,	y	k	)				,
1	2			k			y			y
							y			y	2
								1			2
		y1				y1
									...
			x1			x2			...
			x1			x2
			y2			y2			...
(x)			x1			x2			...
(x)

							... ...
		...					... ...
			yk			yk			...
			x			x			...
			x			x		2
					1			2

,..., ,

xny2xn ,

...

ykxn

117

(x)

y1(x), y2 (x),..., yk

y (x), y

(x),..., y

(x) ,...,

y (x), y

(

(x),

(x),...,

(x)

и далее, перемножая матрицы f (x) и (x)

f (x) (x)

(x),

(x),...,

(x)

...

(x) ,
x),..., y
x),..., y	k	(x)
	k

, имеем

...

... y2

... ...

... yk

,...,

i 1

или, записывая по координатам, окончательно получаем

...

i 1

...

(2.10)

i 1

.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .

...

i 1

Пример

Пусть

f (x, y, z) x3 y y3z2

z3,

x u2 v,

y cosu v, z sin(uv) v2 , тогда

118

f	3(u2 v)2 (cosu v) 2u
u

((u2 v)3 3(cosu v)2 (sin(uv) v2 )2 ) ( sin u)

(2(cosu v)3(sin(uv) v2 ) 3(sin(uv) v2 )2 ) cos(uv) v.

Аналогично вычисляется

f	3(u2 v)2 (cosu v) 1
v

((u2 v)3 3(cosu v)2 (sin(uv) v2 )2 ) 1

(2(cosu v)3 (sin(uv) v2 ) 3(sin(uv) v2 )2 ) (cos(uv) u 2v).

Случай 4. Пусть

x x1, x2 ,..., xn ,

y y1, y2 ,..., yk .

Тогда

f (x, y) f x1, x2 ,..., xn , y1, y2 ,..., yk Пусть,

далее,

y j y j x1, x2 ,..., xn , j 1,2,..., k . Тогда

yi ,

i 1

(2.11)

i 1

.......... .......... .......... .......... .

i 1 yi

2.5. Производная обратной функции

Применим результаты о производной сложной функции, полученные выше, для нахождения производной обратного отображения.

Теорема	2.3. Пусть	X Rn , Y Rn , f : X Y и
f 1 :Y X	– обратное к	f отображение. Пусть, кроме

того, f дифференцируема в точке x0 , y0 f (x0 ) , и су-

ществует ( f (x0 )) 1 . Тогда f 1 дифференцируема в точке y0 и

119

( f 1) ( y	) ( f (x	)) 1 ,	(2.12)
0	0

то есть производная матрица обратного отображения равна обратной матрице к производной матрице исходного отображения.

Доказательство. По определению обратного отображения имеет место соотношение ( f 1 f )(x) x для любого x из

X Rn . По теореме о производной сложной функции, в предположении дифференцируемости f 1 , имеем

( f 1 f ) (x0 ) (( f 1 ) f )(x0 ) f (x0 )

( f 1) ( f (x0 )) f (x0 ) ( f 1) ( y0 ) f (x0 ) E.

Умножая полученное соотношение справа на ( f (x0 )) 1 , получаем равенство (2.12). Для завершения доказательства теоремы осталось показать дифференцируемость f 1 , которое мы опус-

каем и отсылаем читателя к [2-8].

Замечание. Для функции одного переменного

( f (x		)) 1			1
	0
					f (x0 )


и поэтому
( f 1) ( y				)	1	.
			0
					f (x0 )

Применим теорему 2.3 для доказательства оставшихся формул из таблицы производных:

(arctgx)

cos2

;

(tgy) y

1 tg2 y

1 x2

(arcctgx)

sin2

;

(ctgy) y

1 ctg2 y

1 x2

(arcsinx)x

(sin y) y

cos y

1 sin2 y

1 x2

120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3512 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023641.56 Кб2Математика (семестр 2, часть 2).-1.pdf
#
05.02.2023938.68 Кб2Математика (семестр 2, часть 2)..pdf
#
05.02.2023722.47 Кб4Математика 3 семестр..pdf
#
05.02.20231.9 Mб12Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 1.pdf
#
05.02.20234.98 Mб3Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 2.pdf
#
05.02.202311.03 Mб8Математика-2-й семестр (курс лекций)..pdf
#
05.02.20234.95 Mб4Математика-3-й семестр(курс лекций)..pdf
#
05.02.20231.56 Mб2Математика. Дополнительные главы.pdf
#
05.02.2023984.92 Кб12Математика. Математический анализ.pdf
#
05.02.20232 Mб4Математика.-1.pdf
#
05.02.20232.61 Mб3Математика.-2.pdf