Математика-2-й семестр (курс лекций)

x (t) i y (t) j z (t)k .

Если r(t) – закон движения материальной точки, то вектор r (t) есть вектор скорости движения этой точки по кривой r r(t) .

Случай 3. Пусть n – произвольно, а k 1, то есть X Rn ,

тора f (x0 ) . Для этого проварьируем (изменим) только координату с номером i вектора x оставив остальные без изменения, то есть возьмем x в виде x (0,...,0, xi ,0,...,0)T . Из соотношения (2.5) имеем

f(x0 x) f (x0 ) f (x0 ) x (x0 , x)

a1 0 a2 0 ... ai 1 0 ai xi ai 1 0 ... an 0

(x0 , xi ) ai xi (x0 , xi ) .

Так как

101

то, разделив левую и правую части полученного равенства на

Отметим ещё раз, что частная производная функции многих переменных по переменной xi вычисляется при фиксированных

значениях остальных.

Таким образом, для скалярной функции n переменных про-

и называют производной скалярной функции по вектору, а век-

f : X Rk – вектор-функция многих переменных. Тогда функцию f можно записать в виде

102

Переходя в последнем равенстве к координатной записи и учитывая, что

103

получим

му матрица f (x) может быть записана в виде

и называется производной вектор-функции по векторному аргументу. Последние два представления производной являются представлением через столбцы и строки соответственно.

Попутно мы доказали, что если функция f дифференци-

руема в точке x , то в этой точке существует производная функции f , а следовательно и производная матрица состоящая или

из производных компонент в случае вектор-функции скалярного аргумента или из частных производных компонент в случае век- тор-функции векторного аргумента. Обратное, как мы уже указывали, неверно, то есть может существовать производная функции f , а функция не быть дифференцируемой. Подробнее

об этом мы поговорим позднее при рассмотрении вопроса о достаточных условиях дифференцируемости.

104

2.3. Некоторые свойства производных. Таблица производных

Рассмотрим некоторые свойства производных.

Свойство 1. Если функции f1 : X Y и f2 : X Y

дифференцируемы, то их сумма и разность дифференцируемы и

Доказательство для суммы вытекает из следующей цепочки вычислений

f1(x x) f2 (x x) f1(x) f2 (x)

f1(x x) f1(x) f2 (x x) f2 (x)

f1(x) x 1( x) f2 (x) x 2 ( x)

f1(x) f2 (x) x 1( x) 2 ( x) .

Для разности доказательство аналогично. Доказанное свойство легко распространяется на любое конечное число слагаемых.

Свойство 2. Если функция f : X Y дифференцируема, то для любой константы C функция C f (x) дифференцируема и

C f (x) C f (x)

Доказательство.Для приращения C f (x x) C f (x) име-

ем

C f (x x) C f (x) C f (x x) f (x)C f (x) x ( x) C f (x) x C ( x) ,

что и доказывает свойство 2.

Ранее нами были рассмотрены пространства M[a,b] заданных на отрезке [a,b] ограниченных функций и C[a,b] непрерывных на отрезке [a,b] функций. Обозначим через C1[a,b] множество функций заданных на отрезке [a,b] и имеющих непрерывную первую производную. Линейные операции введём

105

чают, что пространство C1[a,b] замкнуто относительно сложе-

ния функций и умножения функции на скаляр, то есть сумма дифференцируемых функций есть дифференцируемая функция, произведение дифференцируемой функции на скаляр так же

дифференцируемо. Следовательно C1[a,b] является линейным подпространством пространств M[a,b] и C[a,b] и поэтому само есть линейное пространство. Из свойств 1 и 2 также следует,

дифференцирования линейна.

Аналогично вводится пространство Ck1[a,b] вектор-функций скалярного аргумента заданных на [a,b] и имеющих там непрерывную производную.

В рассматриваемых далее свойствах 3 и 4 функции f1(x) и f2 (x) предполагаются скалярными функциями одного или мно-

f1(x) f2 (x x) , получаем

f1(x x) f2 (x x) f1(x) f2 (x) f1(x x) f2 (x x)

f1(x) f2 (x x) f1(x) f2 (x x) f1(x) f2 (x)

f1 (x x) f1 (x) f 2 (x x) f1 (x) f 2 (x x) f 2 (x)f1(x) x 1( x) f2 (x) 2 ( x) f1(x) f2 (x) x 3 ( x)

106

1( x) 2 ( x) 3 ( x) f1(x) , что и доказывает свойство 3. Правило дифференцирования произведения можно распро-

странить на любое конечное число сомножителей, например,

жителей.

Из правил дифференцирования суммы и произведения следует правило дифференцирования функциональных определителей. Пусть элементами определителя служат дифференцируемые скалярные функции одного скалярного аргумента, тогда

декартовой системы координат, то используя формулы дифференцирования произведения и правило дифференцирования определителя, легко получить формулы дифференцирования скалярного и векторного произведений

a(t), b(t) a (t), b(t) a(t), b (t) ;

a(t), b(t) a (t), b(t) a(t), b (t) .

Предлагаем читателю получить эти соотношения самостоятельно.

107

Доказательство. Имеем

Далее, пользуясь определением дифференцируемости функций f1 (x) и f 2 (x) и непрерывностью f 2 (x) нетрудно получить ут-

верждение теоремы. Предлагается проделать это самостоятельно.

В подразделе 2.2 было показано, что для нахождения элементов матрицы Якоби f (x) нужно уметь вычислять произ-

водную функции одной переменной. Последнюю находят, пользуясь таблицей производных, свойствами 1 - 4, доказанными выше, и правилами дифференцирования суперпозиции отображений и обратного отображения, которые будут рассмотрены ниже.

Таблица производных:

108