Математика-2-й семестр (курс лекций)

тельно бесконечно большой V (x) , если бесконечно боль-

бесконечности.

Заметим, что легко обобщить понятие бесконечно малой на случай вектор-функции скалярного и векторного аргумента следующим образом.

Определение 11. Вектор-функция

(x) 1(x), 2 (x),..., m (x) T

называется бесконечно малой в точке x0 , если каждая её координата есть бесконечно малая скалярная функция.

Если вектор-функция (x) : X Rn Y Rm является бесконечно малой в точке x0 , то, очевидно, и функция

(x) (x) 12 (x) 22 (x) ... 2m (x)

также бесконечно малая в этой точке.

Сравнение бесконечно малых вектор-функций (x) , (x) производят, сравнивая их модули (x) , (x) , являющиеся

скалярнозначными функциями. Исходя из этого, для векторфункций можно ввести понятия порядка малости одной бесконечно малой вектор-функции относительно другой, эквивалентных бесконечно малых вектор-функций и их главных частей.

Аналогично можно определить и бесконечно большую век- тор-функцию, как вектор-функцию, хотя бы одна координата которой является бесконечно большой функцией.

Приведённая выше теория бесконечно малых может быть использована для характеристики понятий предела и непрерывности. В частности, имеют место следующие результаты.

91

Теорема 1.34. Предел lim f (x) A тогда и только

x x0

тогда, когда функция (x) f (x) A является бесконечно малой в точке x0 .

Теорема 1.35. Функция f непрерывна в точке x0 тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента x x0 соответствует бесконечно малое прира-

щение функции f (x) f (x0 ) .

Доказательства этих результатов предлагается провести самостоятельно.

1.9. Асимптоты

При построении графика функции полезно иметь представление о поведении функции в случае, когда точка графика функции неограниченно удаляется от начала координат. Это может быть либо в точках разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности, либо при стремлении аргумента к бесконечности. И в том, и в другом случаях оказывается полезным следующее понятие.

Определение. Прямая L называется асимптотой графика функции f (x) , если при стремлении точки

графика к бесконечности расстояние между точкой графика функции f (x) и прямой L стремится к нулю.

Асимптоты обычно делят на вертикальные, задающиеся уравнением x x0 , и наклонные, описываемые уравнением y kx b . Иногда выделяют горизонтальные асимптоты, но так

как они получаются из наклонных при k 0 , то мы их отдельно рассматривать не будем.

92

Пусть теперь y kx b – наклонная асимптота графика

потому что функция f (x) может иметь разные асимптоты при

x и x или вовсе не иметь одну из них или обе. Пример. Пусть f (x) x 2arctgx . Эта функция непрерывна

на всей числовой оси, поэтому вертикальных асимптот у неё нет. Проверим наличие наклонных асимптот у этой функции. Имеем

y x при x и асимптоту y x при x .

93

2. Дифференциальное исчисление функций одной и многих переменных

Самыми простыми и наиболее полно изученными в математике отображениями являются линейные. Возникает идея приближенной замены произвольных отображения, хотя бы вблизи некоторых точек, линейным (линеаризация отображения). Выяснением, для какого класса отображений возможна линеаризация, и изучением строения получаемых при этом линейных операторов занимаются в части математического анализа, называемой дифференциальным исчислением.

2.1. Дифференцируемые отображения

Напомним, что мы изучаем отображения множеств, принадлежащих линейным точечно-векторным евклидовым простран-

ствам Rn и Rk , элементами которых являются упорядоченные совокупности n и k вещественных чисел соответственно, кото-

рые можно трактовать как векторы x ( 1 , 2 ,..., n )T или как точки M ( 1, 2 ,..., n ) с теми же координатами. В евклидовых пространствах введено понятие нормы (длины, модуля) вектора

94

Предполагается, что в Rn и Rk выбраны декартовы системы координат, состоящие из точки O(0,0,...,0) и единичных по-

парно ортогональных векторов e1(1,0,...,0) , e2 (0,1,...,0) и так далее.

Определение 1. Пусть X Rn – открытое множество и f – отображение из X в Rk ( f : X Rk ). Говорят, что функция f дифференцируема в точке x0 X , если суще-

ствует линейный оператор A: Rn Rk такой, что прира-

Часто приращение x x0 обозначают через x , а приращение f (x) f (x0 ) через f . В этом случае выражение (2.1) принимает вид

Так как A: Rn Rk – линейный оператор, то существует матрица A размера k n такая, что A(x) A x . Теперь равенство (2.2) можно записать в виде

равенстве (2.3) зависят от x0 и (2.3), в этом случае, записывается следующим образом

Определение 2. Оператор A в соотношении

f (x0 , x) A(x0 ) x (x0 , x)

95

называется производной функции f и обозначается

вается производной матрицей, или матрицей Якоби. Сла-

гаемое A(x0 ) x обозначается df (x0 ) и называется диф-

ференциалом (дифференциалом Фреше) функции f в

точке x0 .

Замечание. Так как линейный оператор после фиксации базиса однозначно определяется своей матрицей, то производную матрицу будм обозначать также, как и саму производную.

Соотношение (2.4) можно записать в виде

Как следует из определения, производная является линейным оператором (линейным отображением), а дифференциал является значением этого линейного оператора на элементе

x x1, x2,..., xn T .

Из наших построений следует, что если функция дифференцируема, то у неё существует производная, а следовательно и производная матрица. Обратное неверно, то есть функция может иметь производную, но не быть дифференцируемой. Соответствующий пример есть в [5, 6].

Для дифференцируемых функций справедлива следующая теорема.

Теорема 2.1. Всякая дифференцируемая в точке x0 функция непрерывна в этой точке.

96

нечномерного линейного оператора.

Обратное к теореме 2.1 утверждение несправедливо, т.е. непрерывная функция может быть недифференцируемой, например, как будет показано далее, функция f (x) x недифферен-

цируема в нуле. Более того, Вейерштрассом построен пример непрерывной в каждой точке отрезка [a,b] функции которая не

является дифференцируемой ни в одной точке этого отрезка. Таким образом, класс непрерывных функций включает в себя в качестве подмножества множество дифференцируемых функций.

Пример 1. Пусть f (x) Ax – линейный оператор (линейное отображение) и x0 – произвольный вектор. Найдем f (x0 ) . Имеем

f (x0 ) f (x) f (x0 ) Ax Ax0 A(x x0 ) A x.

Из полученного соотношения и по определению дифференцируемости следует, что f (x0 ) A , т.е. производная матрица линейного оператора совпадает с матрицей этого оператора.

форма. Найдем f (x0 ) . Имеем

f(x) f (x0 ) f (x0 ) xT Ax x0T Ax0

xT Ax xT Ax0 xT Ax0 x0T Ax0 xT A(x x0 ) (x x0 )T Ax0.

f (x0 ) xT A(x x0 ) (x x0)T Ax0

xT A(x x0 ) x0T AT (x x0) (xT A x0T A)(x x0 )

(x0 x x0 )T A x0T AT (x x0 ) 2x0T A(x x0 ) (x x0 )T A(x x0 ).

97

В силу того, что (x x0)T A(x x0) есть бесконечно малая в x0 относительно x x0 порядка выше первого, то

2.2. Строение производной матрицы

Приступаем к нахождению элементов функциональной матрицы f (x0 ) для функции f . Процесс отыскания производной

матрицы называют дифференцированием функции. Рассмотрим четыре возможных здесь случая.

Число, определяемое пределом в выражении (2.6), называется производной функции f одной переменной в точке x0 . Эта

производная рассматривалась в курсе средней школы.

Таким образом, для скалярной функции одной переменной производная матрица состоит из одного элемента, определяемо-

98

го равенством (2.6), т.е. равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.

Заметим, что для скалярной функции скалярного аргумента с помощью предельного перехода можно ввести, так называе-

то существуют левосторонняя и правосторонняя производные f (x 0) и f (x 0) равные между собой. Верен и обратный в некоторой степени результат, точнее, если существуют левосторонняя и правосторонняя производные f (x 0) и

99

По аналогии со случаем скалярной функции скалярного аргумента, разделив обе части соотношения (2.7) на x и переходя к пределу при x стремящемся к нулю, получаем

тора по скалярной переменной.

Так же как и для скалярной функции скалярного аргумента можно рассмотреть левостороннюю и правостороннюю производные вектор-функции скалярного аргумента.

С другой стороны, рассматривая соотношение (2.7) для каж-

100