35

m

Функция Ф(X , ) F(X ) i fi X называется функцией Лагранжа и

i 1

коэффициенты i – множителями Лагранжа.

Можно доказать, что необходимым условием экстремума исходной задачи является обращение в нуль всех частных производных функции Лагранжа.

Для определения типа найденного экстремума можно построить матрицу вторых производных F X , вычисленных в экстремальной точке, и определить знаки главных ее миноров. Если все они положительны, то найден минимум; если они чередуются, начиная с минуса, то найден максимум (правило Сильве-

стра).

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Сам по себе метод множителей Лагранжа не дает существенного эффекта из-за необходимости решать, как правило, нелинейную систему уравнений; не гарантирует тип отыскиваемого экстремума, кроме глобальных дает и множество локальных экстремумов, но полезен при генерации идей и создании методов нелинейного программирования.

3.2 Теорема Куна – Таккера

Пусть стоит задача минимизации F X при условиях: fi X 0 (i 1...m),

36

(напомним, что мы считаем функцию выпуклой в некоторой точке, если главные миноры матрицы вторых производных положительны) [15].

Введем функцию Лагранжа:

m

Ф(X , ) F(X ) i fi X .

i 1

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Теорема Куна – Таккера утверждает, что вектор X * 0 явля-

ется решением поставленной задачи тогда и только тогда, когда существует вектор λ* 0, такой, что при всех X 0, λ 0

Ф(X *,λ) Ф(X *,λ*) Ф(X ,λ*).

Так как функция Лагранжа в точке X *, λ* принимает мини-

мум по X и максимум по , то эта точка называется седловой и эта теорема называется теоремой о седловой точке или теоремой о минимаксе.

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Достаточность условий этой теоремы доказывается сравнительно просто. Доказательство их необходимости предполагает выполнение условий регуляр-

38

Положительная определенность матрицы D и линейность ограничений (множество планов выпукло) позволяют использовать теорему Куна – Таккера.

Функция Лагранжа здесь имеет вид:

Ф(X ,λ) CT X X T DX λT (AX B)

и условия Куна – Таккера приводятся к форме:

Метод П. Вулфа и М. Фрэнка сводит решение задачи к форме, допускающей применение симплексной процедуры.

Здесь отыскивается некоторый опорный план W 0. Если g W 0 0, то этот план оптимален. В противном случае отыскивается градиент

grad g W 0 V T ,YT ,λT , X T

39

и его компоненты на один шаг симплексного преобразования (перехода к другому опорному плану) принимаются за коэффициенты «линейной формы». После выбора нового опорного плана выполняются вышеописанные рассуждения.

при условиях:

X1 2X2 4,

X1, X2 0.

Ставим задачу минимизации до нуля функции

g(X1, X2,λ,Y,V1,V2 ) X1V1 X2V2 λY

Ищем начальный опорный план методом искусственного базиса (не обращая внимания на коэффициенты, меньшие M) (табл. 3.1):

Таблица 3.1 – Начальный опорный план

Находим начальный опорный план исходной задачи:

X1 X2 V1 0, V2 2, Y 4, λ 4,

40

для которого g(W ) 0 0 0 2 4 4 16 0.

Отыскиваем градиент grad g(W ) 0,2,4,4,0,0 и берем его компоненты в качестве коэффициентов «линейной формы» (нормали к поверхности, определяемой функцией g(W ) , в выбранной точке) (табл. 3.2):

Таблица 3.2 – Поиск решения

ит. п.).

·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·