11.2. Внецентренное растяжение или сжатие брусьев большой жесткости
Внецетренным растяжением
или сжатием называется вид нагружения, при котором в
поперечном сечении бруса одновременно действуют
продольная сила N
(растягивающая или сжимающая)
и изгибающий момент M.
Пример такого вида нагружения – колонна промышленного здания. Нагрузка Р от части собственного веса мостового крана и груза приложена на консоли колонны (т. А), т.е. на расстоянии xp от
центра тяжести ее поперечного
сечения С.
11.2.1 Внутренние |
Рассмотрим короткий стержень |
силовые факторы |
произвольного поперечного сечения, |
|
нагруженного в произвольной точке |
А сжимающей силой Р. Расстояние
ОА = е и называется В эксцентриситетом.
правилами
теоретической механики, силу Р перенесем параллельно самой себе в центр тяжести С.
Видим, что в любом сечении по высоте стержня сила Р, зачеркнутая один раз, вызовет осевое сжатие
(N = – P), а силы Р,
зачеркнутые дважды
– изгибающий момент
Рассечем стержень
произвольным сечением С-С, отбросим верхнюю часть и рассмотрим равновесие нижней части.
Оси Х и Y – главные центральные оси сечения.
Обозначим координаты пересечения плоскости С-С с линией действия силы Р: xР и yP .
Назовем их координатами точки
приложения силы.
В связи с тем, что плоскость действия |
|
изгибающего момента МО в общем случае |
|
может не совпадать ни с одной из |
|
главных центральных плоскостей |
|
инерции поперечного сечения стержня, |
|
то в произвольном сечении С-С имеет |
|
место комбинация продольного |
|
сжатия (продольной силой N) и |
|
чистого косого |
изгибающими |
моментами |
Изгибающие моменты и |
|
продольная сила |
|
вызывают сжатие в |
точках сечения, лежащих в первом квадранте.
Поэтому по знаку они будут
отрицательными.
Имеем |
N P; |
следующие |
Mx P yp; |
значения |
|
внутренних |
My P xp. |
силовых |
|
факторов: |
(11.13) |
Величины и знаки всех силовых факторов, действующих в сечении бруса, не зависят от положения этого сечения по его высоте (длине).
ЛЮБОЕ ПОПЕРЕЧНОЕ СЕЧЕНИЕ БРУСА при его внецентренном растяжении или сжатии – ОПАСНОЕ.
11.2.2 Нормальные
напряжения
Действие продольных сил и изгибающих моментов вызывает
появление в поперечных сечениях бруса нормальных напряжений.
В соответствии с принципом независимости действия
сил, нормальное
напряжение в любой
точке К поперечного сечения с координатами (х,
у), определяется суммой
нормальных напряжений: в данном случае нагружения
от продольной силы σ и от чистого изгиба в двух N N MX
плоскостях σMx и
MY .
(11.14)
В соответствии с (11.14): |
N MX |
MY . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Для определения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
нормальных напряжений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
от действия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
рассматриваемых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
силовых факторов |
|
N P; |
|
M x P yp ; |
M y |
P xp . |
|||||||||||||||||||||
используем известные |
|
||||||||||||||||||||||||||
зависимости и получим: |
|
|
|
P yp |
y |
|
Pxp |
x |
|
|
(11.13) |
|
|||||||||||||||
N |
|
M |
X y |
M |
x |
|
P |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
F |
J |
|
|
|
F |
J |
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
X |
|
J |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Окончательно: |
|
|
|
|
|
P |
(1 |
|
xp |
x |
|
yp |
y |
). |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
i2 |
|
i2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.14)iX и iY |
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
X |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
– радиусы инерции сечения |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
. |
(11.15) i X |
J X |
; iY |
J Y |
||
F |
|
||||
|
|
|
F |
||
Легко видеть, что при изменении направления внешней силы, знак перед всеми слагаемыми в формуле (11.14)
изменится на плюс.
Поэтому для того, чтобы по этой формуле получить правильный знак напряжений как при внецентренном сжатии, так и при внецентренном растяжении, нужно кроме знаков координат
исследуемой точки сечения x и y, учесть знак |
|
|
|
||||||||
приложенной внешней силы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При внецентренном растяжении перед |
|
|
|
||||||||
всем выражением должен стоять знак |
|
|
|
||||||||
плюс, при внецентренном сжатии – знак |
|
|
|
||||||||
минус. |
|
|
P |
(1 |
xp |
x |
|
yp |
y |
). |
|
напряжений при |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
F |
i2 |
|
i |
2 |
|
|||||
внецентренном |
|
|
|
|
|
|
|
||||
растяжении или сжатии |
|
|
|
|
Y |
|
|
|
X |
|
|
для любого направления |
(11.16) |
|
|
внешней силы |
|
11.2.3 Положение нейтральной
линии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Переменными в формуле являются два последних слагаемых, |
|||||||||
отражающих влияние изгиба. |
P |
(1 |
xp |
x |
|
yp |
y |
|
|
|
|
|
). |
||||||
|
F |
iY2 |
|
iX2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
При изгибе наибольшие нормальные напряжения действуют в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси.
Следовательно, для определения опасных точек сечения необходимо определить положение нейтральной оси.
Известно, что нормальные напряжения на |
|
|
|
|
|
||||||||
нейтральной оси при изгибе равны нулю. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Приравняем (11.16) нулю: |
|
|
|
|
P |
|
xp |
x |
|
yp |
y |
|
|
|
|
|
|
(1 |
|
) 0. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
F |
i2 |
|
i2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Обозначим координаты |
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
X |
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
точек, принадлежащих |
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
||||
нейтральной оси, х0 и у0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||