2 курс ОАУ(ТАУ) [препод. Петунин В.И.] / Лекции / 9

Передаточная функция замкнутой системы относительно ошибки (см. рис. 9.1)

установившемуся значению ошибки при заданном управляющем воздействии

то разложение в ряд Фε(p) можно осуществить делением числителя на знаменатель, располагая члены полинома в порядке возрастания степеней.

Тогда в соответствии с (9.9) можно записать

переходя в (9.10) от изображений к оригиналам, ошибку системы εв(t) можно представить в виде ряда

где коэффициенты C0, C1, C2, ... принято называть коэффициентами ошибок.

Коэффициенты ошибок C0, C1, C2, ... определяют по формулам разложения функции Фε(p) в ряд Тейлора

196

Если g(t) 1(t), то все производные

При этом установившееся значение ошибки в замкнутой системе

εв(t) C0 Фε(0).

Если g(t) t, то

При этом установившееся значение ошибки в замкнутой системе

Коэффициент C0 принято называть коэффициентом статической или позиционной ошибки; коэффициент C1 – коэффициентом скоростной ошибки; C2 – коэффициентом ошибки от ускорения.

Величины

угловую скорость и угловое ускорение. В соответствии с (9.11) добротность по скорости имеет размерность 1/с, а добротность по

ускорению 1/с2.

197

Необходимо заметить, что вычисление установившихся ошибок по указанным формулам имеет практический смысл при достаточно медленном изменении внешнего воздействия. Иначе эта ошибка не будет реальной из-за наличия значительной переходной составляющей процесса.

9.4.2. Статические и астатические системы. Системы автоматического управления, у которых в разомкнутом состоянии возможен статический, т. е. равновесный режим, называются статическими. К статическим относятся все устойчивые в разомкнутом состоянии системы.

Если же система в разомкнутом состоянии имеет корни в центре координат на комплексной плоскости, то такая система будет астатической. Система с астатизмом 1-го порядка, имеющая один нулевой корень, в разомкнутом состоянии находится на границе апериодической устойчивости. Система с астатизмом 2-го и более порядка в разомкнутом состоянии неустойчива.

Порядок астатизма системы зависит от числа интегрирующих звеньев, входящих в систему. Каждое из интегрирующих звеньев, не охваченных жесткой обратной связью, дает один нулевой корень.

Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии может быть представлена в виде

198

можно сделать вывод, что в статических системах коэффициенты

интегрирующих звеньев в системе приводит к увеличению числа коэффициентов ошибок, равных нулю, но при этом усложняется обеспечение устойчивости системы.

Поскольку точность установившегося движения системы автоматического управления при заданном внешнем воздействии определяется коэффициентами разложения передаточной функции ошибки по этому воздействию в степенной ряд, метод коэффициентов ошибки может быть положен в основу классификации систем по точности при отработке входного воздействия вида

g(t) A0 A1(t) A2 t2 ... 1 Avtv. 2 v!

Основным классификационным признаком при этом служит порядок астатизма ν.

Системой с нулевым порядком астатизма по данному воздействию g(t), или статической системой, называется система, вынужденная (систематическая) погрешность которой в режиме отработки постоянного воздействия (задания) g(t) A0 const пропорциональна величине этого воздействия. Из (9.11) следует, что это может иметь место только при C0 0.

Системой с астатизмом первого порядка, или астатической системой управления, называется система, вынужденная погрешность которой при отработке постоянного воздействия равна нулю, а при отработке воздействия, линейно изменяющегося во времени (режим

управления, вынужденная систематическая погрешность которой при отработке воздействия, выражаемого в виде полинома степени ν по t, т. е. воздействия

199

g(t) A0 A1(t) ... 1 Avtv,

ν!

постоянна и пропорциональна значению Aν . При отработке сигнала, выражаемого полиномом меньшей степени, вынужденная погрешность такой системы равна нулю. Из (9.11) следует, что при этом должно быть

C0 0,C1 0, , Cν 1 0,Cν 0

Таким образом, порядок астатизма системы равен номеру первого, не равного нулю коэффициента ошибки по рассматриваемому воздействию.

Пример 9.2. Передаточная функция разомкнутой САР (см. рис. 9.1) имеет вид

W(p) k . Tp 1

Определить установившееся значение ошибки замкнутой системы на входное воздействие g(t) 1 t.

Решение. Определим первую и вторую производные входного воздействия g(t):

g(t) 1; g(t) 0.

Найдем передаточную функцию замкнутой системы относительно ошибки:

200

Пример 9.3. Передаточная функция разомкнутой САР (см. рис. 9.1) имеет вид

W(p) k . p(Tp 1)

Определить установившееся значение ошибки замкнутой системы на входное воздействие g(t) 1 t.

Решение. Найдем передаточную функцию замкнутой системы относительно ошибки:

9.4.3. Структурные условия астатизма системы. Рассмотрим структурные условия, обеспечивающие астатизм замкнутой системы регулирования по отклонению при отработке управляющего воздействия и возмущений. Типовая структура системы автоматического регулирования приведена на рис. 9.6.

Применительно к реальным системам передаточная функция W1(p) соответствует регулятору, на входе которого сравниваются задающий сигнал (уставка) g(t) и выход системы регулирования x(t). Объект регулирования с передаточной функцией W2(p) подвержен действию возмущений f (t), которые приведены к его входу.

Рис. 9.6

201

Если на систему помимо задающего воздействия g(t) действует

ивозмущение f (t) (см. рис. 9.6), то астатизм системы относительно g(t) и f (t) зависит от места включения интегрирующего звена.

Пусть воздействия на САУ являются постоянными величинами

иравны g(t) g0; f (t) f0. Рассмотрим несколько случаев.

1. В системе отсутствуют интегрирующие звенья. Элементы 1 и 2 системы (см. рис. 9.6) являются инерционными звеньями и соответственно равны

Тогда на основании метода суперпозиции установившаяся ошибка САУ

где εg (t) – ошибка отработки системой задающего воздействия:

В данном случае САУ является статической относительно обоих воздействий, так как εg (t) 0 и ε f (t) 0.

2. Допустим, что в элемент 2 рассматриваемой системы (рис. 9.6) включено интегрирующее звено, а элемент 1 является инерционным звеном, как и в случае 1. При этом передаточная функция элемента 2

Тогда составляющие εg (t) и ε f (t) ошибки системы (9.15)

202

f (t).

3. Пусть интегрирующее звено включено в элемент 1, передаточная функция его при этом равна

Второе звено является инерционным эвеном, а передаточная функция его та же, что и в случае 1.

Рассчитаем составляющие ошибки εg (t) и ε f (t):

астатической и относительно воздействия g(t), и относительно возмущения f (t).

Проведенное исследование позволяет сформулировать общий структурный признак для определения порядка астатизма замкнутой системы (см. рис. 9.6). Порядок астатизма системы по отношению к рассматриваемому воздействию f (t) равен числу интегрирующих

203

звеньев, включенных в цепь обратной связи W1(p) между точками приложения этого воздействия (входом) и измерения ошибки ε(t) (выходом), и не зависит от числа интегрирующих звеньев, включенных в цепь прямого преобразования сигнала между этими точками. По отношению к управляющему воздействию весь контур системы представляет собой обратную связь.

Заметим, что осуществление замкнутых систем с высоким порядком астатизма достаточно затруднительно, поскольку система автоматического регулирования, содержащая только два интегрирующих звена, структурно неустойчива и не может быть реализована без специальных корректирующих устройств.

Пример 9.4. Для системы (см. рис. 9.6) определить значение установившейся ошибки системы. Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии

возмущение f (t) 0.

Решение. Найдем передаточную функцию замкнутой системы относительно ошибки

Коэффициент ошибки C0 0, так как система астатическая. Коэффициенты ошибок C0, C1, C2 определяют по (9.12) или разложением в ряд по возрастающим степеням p функции Фε(p) делением числителя на знаменатель:

Фε(p) C1p C2 p2 kp [(T1 T2k)2k 1]p2 .

Коэффициенты C3, вычислять не имеет смысла, так как функция g(t) имеет только две производные, не равные нулю.

204

Определим первую и вторую производные входного воздействия g(t):

g(t) 20 40t; g(t) 40.

Тогда

εв(t) С1g(t) C2g(t) 2,48 4t.

9.5.Основы теории чувствительности

Действительные значения параметров системы регулирования практически всегда отличаются от расчетных. Это может вызываться неточностью изготовления отдельных элементов, изменением параметров в процессе хранения и эксплуатации, изменением внешних условий и т. д.

Изменение параметров может привести к изменению статических и динамических свойств системы регулирования.

Степень влияния изменения отдельных параметров на различные характеристики системы оценивается посредством чувствительности. Чувствительностью называется некоторый показатель, характеризующий свойство системы изменять режим работы при отклонении того или иного ее параметра от номинального, или исходного, значения. В качестве оценки чувствительности используются так называемые функции чувствительности, представляющие собой частные производные i-й координаты системы по вариации j-го параметра,

Нулевым индексом снизу отмечено то обстоятельство, что частные производные должны приниматься равными значениям, соответствующим номинальным (расчетным) параметрам.

Посредством функций чувствительности оценивается влияние малых отклонений параметров системы от расчетных значений на

205