студ ивт 22 материалы к курсу физики / kingsep_as_lokshin_gr_olkhov_oa_kurs_obshchei_fiziki_osnovy

поглощение и (или) фазовую задержку, мы изменим амплитуду и (или) фазу плоской волны с пространственной частотой 4 0 7, не изменяя амплитуд и фаз других плоских волн. Устанавливая в фурье-плоскости различные амплитудно-фазовые маски, можно направленно изменять пространственный спектр изображения, влияя таким образом на его характеристики. Этим путем можно решать самые разнообразные задачи: улучшение качества изображений, разрешающей способности оптических систем, визуализация фазовых объектов, выполнение самых разнообразных преобразований пространственной структуры световых полей и т. д., т. е. решать широкий круг задач оптической обработки информации.

Визуализация фазовых объектов. В качестве примера рас-

смотрим проблему визуализации фазовых объектов, которую можно решить, используя метод фазового контраста, предло-

женный Цернике. Пусть фазовый объект — тонкая прозрачная пластинка, имеющая разный в разных точках показатель преломления (или толщину), но не изменяющая амплитуду прошедшей волны, находится во входной плоскости П1 оптической системы, показанной на рис. 8.47. Функция пропускания такой пластинкиD , где ( — толщина, — распределение показателя преломления). При освещении пластинки (фазового объекта) плоской, нормально падающей волной, комплексная амплитуда волны в плоскости, примыкающей к пластинке справа, согласно (8.3), есть 70 D . Если оптическая система идеальна, то комплексная амплитуда в выходной плоскости П2 тождественно повторяет (с точностью до инверсии) входное поле 70 , а наблюдаемая картина интенсивности :0 70 2 1, т. е. в плоскости П2 мы наблюдаем равномерную засветку: информация о фазовой структуре предмета потеряна, фазовый объект не видим.

Для визуализации фазового объекта Цернике предложил установить в фурье-плоскости, на оптической оси, маленькую фильтрующую пластинку, которая, не изменяя амплитуды прошедшей волны, вносит фазовую задержку, равную $ 2. Проанализируем структуру светового поля в выходной плоскости П2, рассмотрев в качестве примера объект — фазовую синусоидальную решетку с малой глубиной модуляции ( 1). В этом случае

Итак, входное поле представляется в виде суммы трех слагаемых, в соответствии с этим, от входной плоскости П1 вправо распространяются три плоские волны. Первое слагаемое ответственно за появление плоской волны единичной амплитуды

8.11 ] Оптическое изображение и пространственная фильтрация 617

71 , D , бегущей вдоль оси оптической системы (оси ). Второе и третье слагаемые — плоские волны с амплитудой 2, направления распространения которых составляют углы # с оптической осью, где # (т. е. и — пространственные частоты этих волн). Обратим внимание, что в точке 0 входной плоскости колебание первой волны отличается по фазе на $ 2 от колебаний двух наклонных волн (обратите внимание

на множитель D 2).

Три слагаемых в (8.105) — это три гармонических колебания или, если угодно, три комплексных числа, которые можно изобразить в виде векторов. На рис. 8.48 a показано положение этих векторов в начале координат ( 0). Горизонтальный вектор единичной длины изображает колебание, созданное осевой волной, два вектора длины 2 1, повернутые на угол $ 2 — колебания боковых волн. При смещении из точки 0

m

m

Рис. 8.48

перпендикулярно оси , фаза колебания осевой волны не меняется, поэтому соответствующий вектор остается горизонтальным. Фазы боковых (наклонных) волн изменяются: , поэтому изображающие векторы поворачиваются (по и против часовой стрелки). На рис. 8.48 б показано положение векторов в точке, где $ 2: векторы повернулись на угол $ 2, а на рис. 8.48 в в точке , где $, векторы повернулись на угол $. При смещении на расстояние, равное периоду решетки2$ , восстанавливается исходное расположение векторов (рис. 8.45 г). Легко видеть, что суммарный вектор, не меняя своей длины (с точностью до величины порядка 2) изменяет угол наклона от до , что и соответствует фазовой структуре волнового поля. Обратите внимание на полную аналогию с векторным изображением колебания, модулированного по фазе (см.§ 1.5).

Осевая плоская волна, фокусируясь линзой в начало координат фурье-плоскости (0 0) проходит через фазовую фильтрующую пластинку, а две наклонные волны, фокусируясь в точки 01, 2 7# 7 , не «задевают» пластинку. Далее линза Л2 преобразует сферические волны, исходящие из точек 0 0 и 01, 2 7 , в плоские волны, которые, интерферируя, образуют изображение.

Наличие маленькой фазовой пластинки в фурье-плоскости на оптической оси приводит к относительной фазовой задержке в $ 2 осевой волны (относительно боковых наклонных волн), поэтому поле выходной плоскости можно записать в виде

Изменение фазовых соотношений между осевой и наклонными волнами иллюстрируют векторные диаграммы, показанные на рис. 8.49. Поворот вектора еди- ничной длины (изображающего коле- бания осевой волны) на $ 2 приводит к тому, что в точке 0 все три изображающих вектора оказыва-

Как видно из векторных диаграмм, длина суммарного вектора при смещении по координате изменяется, а угол наклона (ориентации) суммарного вектора остается неизменным, что и соответствует чисто амплитудной структуре, т. е. полю с плоским волновым фронтом и меняющейся от точки к точке амплитудой. Таким образом, метод фазового контраста позволяет преобразовать исходную фазовую решетку в амплитудную решетку в плоскости изображения.

Наблюдаемая картина интенсивности имеет вид

: 7 2 1 2 1 2

(с самого начала, благодаря условию 1, членами порядка2 и выше мы пренебрегаем). Итак, фазовые изменения входного поля 70 оказались визуализированы: мы наблюдаем изменения интенсивности, повторяющие изменения фазы входного поля. Обратите внимание на аналогию описанного здесь метода фазового контраста с методом преобразования колебания, моду-

лированного по фазе, в амплитудно-модулированное колебание (так называемый прием с изменением фазы несущей, см. § 1.5).

Читатель может самостоятельно проанализировать «метод темного поля». В этом методе вместо фазовой пластинки в $ 2 в фурье-плоскости на оптической оси устанавливается непрозрачный маленький экран. Осевая плоская волна, фокусируясь линзой в начало координат фурье-плоскости, поглощается непрозрачным экраном и не участвует в формировании изображения. Боковые же волны остаются без изменения. Какова в этом случае картина интенсивности в выходной плоскости?

Метод темного поля аналогичен методу, который в радиотехнике используется для преобразования фазовой модуляции в амплитудную и называется «приемом без несущей».

Разрешающая способность оптических систем. Всякая реальная оптическая система отличается от идеальной по крайней мере одним важным обстоятельством: ее линзы имеют конечные размеры. Учет конечных размеров используемых объективов чрезвычайно важен для оценки предельных возможностей оптических систем. Необходимо иметь в виду, что функция пропускания линзы (8.12), о которой мы говорили ранее, правильно описывает преобразования волны линзой только в той области значений , которые находятся в пределах «зрачка» линзы. Если диаметр линзы E, то функция (8.12) справедлива

при 2 2 E2 2. Действительно, свет, проходящий «мимо» линзы, не представляет интереса, поскольку не участвует в формировании изображения. Все происходит так, как если бы идеальная бесконечная линза (функция пропускания которой описывается формулой (8.12)) была задиафрагмирована непрозрачным экраном с отверстием диаметра E, оставляющим открытой центральную часть линзы. Именно такая модель используется обычно для расчета дифракционных эффектов, связанных с конечным размером объектива.

Итак, пусть на линзу падает плоская волна, распространяющаяся вдоль оптической оси. Волна излучается удаленным источником, настолько удаленным, что в пределах площади зрачка,

наблюдения дифракции Фраунгофера на каком-либо препятствии достаточно установить за препятствием линзу — при этом картина в фокальной плоскости линзы подобна картине, которая возникает на большом расстоянии за препятствием ( E2 ).

Еще раз поясним, в чем суть дела. Плоская волна, пройдя через отверстие-диафрагму, уже не является плоской волной: за отверстием мы имеем непрерывный спектр плоских волн (т. е. набор плоских волн разных направлений). Каждая плоская волна из этого спектра фокусируется идеальной линзой в свою точку фокальной плоскости, в результате мы и получаем распределе-

620 Дифракция [ Гл. 8

ние интенсивности, показанное на рис. 8.51 — дифракционное

Рис. 8.51

является точкой, как следует из законов гео-

метрической оптики, а представляет собой дифракционное пятно, причем чем больше размер объектива E, тем меньше дифракционное пятно, тем больше это пятно похоже на точку.

Следует подчеркнуть, что дифракционная формула (8.106) не приводит к правильному результату в пределе при E : при увеличении E пятно не становится как угодно малым. Мы уже подчеркивали, что бегущие волны не могут образовать в сумме световое поле, которое бы резко изменялось на расстояниях порядка длины волны. Пятно, размер которого существенно меньше длины волны, получить невозможно!

Поток энергии, падающий на линзу и равный :090, где :0 — интенсивность волны, 90 $E2 4 — площадь линзы, концентрируется в маленькое пятнышко, площадь которого равна

Для линзы диаметром 1 см с фокусным расстоянием 710 см выигрыш от фокусировки для длины волны 500 нм

примыкающей к зеркалу (после отражения плоской волны от зеркала), аналогично фазовому распределению (8.11), которое обеспечивается линзой.