студ ивт 22 материалы к курсу физики / kingsep_as_lokshin_gr_olkhov_oa_kurs_obshchei_fiziki_osnovy

Первый сомножитель 7 2 описывает картину дифракции на щели (формула (8.66)). Второй сомножитель связан с интерференцией волн, приходящих от разных щелей к точке наблюдения.

Наиболее интересным в картине дифракции на решетке является наличие узких дифракционных максимумов, в которые идет подавляющая доля общего потока энергии.

Направления на эти максимумы определяются условием

— волны от всех щелей решетки приходят в точку наблюдения с разностью хода , равной целому числу длин волн и, следовательно, создают синфазные колебания. Итак, разность фаз # 2$ . Амплитуда суммарного колебания оказывается при этом в ! раз больше амплитуды колебаний, созданных одной щелью: !7 , а интенсивность : !2 7 2 в !2 раз превышает интенсивность волны от одной щели, так как при # 2$ все векторы, составляющие цепочку векторов на рис. 1.7, оказываются коллинеарными, поэтому длина суммарного вектора в ! раз больше длины слагаемых векторов). Читатель может самостоятельно убедится, что второй сомножитель в (8.72) равен ! при условии (8.73):

График функции (8.72) показан на рис. 8.35.

Штриховой линией показана «огибающая» — зависимость от первого сомножителя 7 2, описывающего картину фраунгоферовой дифракции на щели ширины .

Рис. 8.35

Для картины, изображенной на рис. 8.35, характерно, что уже при небольшом отклонении от направления (т. е. от направления, определяемого условием (8.73)) интенсивность резко уменьшается, обращаясь в нуль при Æ. Определить величину этого отклонения можно из следующих соображений.

В направлении векторная диаграмма имеет вид, показанный на рис. 8.36 а — цепочка, состоящая из ! коллинеарных векторов: # 2$ . Спрашивается, при каком отклонении Æ от направления век-

àторная диаграмма будет иметь вид, пока-

тора и, следовательно, длина суммарного вектора будет равна нулю. Чтобы вектор-

áник векторов рис. 8.36 б, необходимо, чтобы

нилась на величину Æ# 2$!. Тогда (при ! 1) последний !-й вектор коллинеарен с первым: !Æ# 2$, т. е.

Это и есть оценка полуширины главных дифракционных максимумов. Целое число в (8.73) называется порядком главного максимума (или порядком дифракции). Например, при

1 имеем первый порядок дифракции; значению 1 отвечает минус первый порядок дифракции. Максимальное значение , как ясно из (8.73), ограничено величиной

Реально же заметными являются лишь те дифракционные максимумы, которые лежат в пределах углов

поскольку, как мы выяснили ранее, только в пределах этих углов в основном распространяется поток энергии от каждой из щелей решетки.

Поэтому (при & ) максимальный порядок можно оценить из условия (см. рис. 8.35)

8.10 ] Разрешающая способность спектральных приборов 603

При этом общее число главных дифракционных максимумов, в которые попадает подавляющая часть потока энергии, равно приблизительно 1 2 .

8.10. Разрешающая способность спектральных приборов

Ранее мы говорили о том, что излучение любого источника света можно представить как сумму волн различных частот (спектральное разложение).

Распределение энергии по спектру излучения (зависимость интенсивности от частоты : ) является чрезвычайно важной характеристикой, которая исследуется с помощью спектральных приборов. Мы рассмотрим несколько возможных способов.

Дифракционная решетка. Два обстоятельства позволяют использовать дифракционную решетку для спектральных измерений. Во-первых, как следует из (8.73), положение главных дифракционных максимумов зависит от длины волны, и во-вторых, ширина этих максимумов, как видно из (8.76), чрезвычайно мала, а поток энергии (интенсивность) велик при большом числе щелей решетки.

Схема спектрального прибора, основанного на использовании дифракционной решетки, показана на рис. 8.37 а.

Рис. 8.37

Излучение исследуемого источника 9 проходит через малую диафрагму (отверстие в непрозрачном экране) E, расположенную в фокальной плоскости объектива Л1. Сколлимированное объективом излучение (параллельный пучок света) падает на дифракционную решетку. При дифракции на решетке возникает ряд пучков, распространяющихся в направлениях , определяемых равенством (8.73). Угловая расходимость каждого из них Æ дается формулой (8.76). Следовательно, в фокальной плоскости объектива Л2 возникает картина дифракционных максимумов, положение которых (расстояние от оптической оси) есть

и Æ одинаковой интенсивности. Положение -го дифракционного максимума, отвечающего длине волны , определяется условием

2

1 7 1

Соответственно, положение -го максимума для длины волны Æ есть

2 7 2 Æ 7

Какова минимальная величина Æ, при которой мы можем по наблюдаемой картине дифракции в фокальной плоскости линзы

Л2, зафиксировать наличие двух спектральных линий? Согласно критерию Рэлея предельно разрешимыми считают-

ся спектральные линии, для которых смещение дифракционных максимумов 2 1 7 Æ в точности равно их полуширине Æ 7 ! (в данном случае полуширина линии определяется по первому нулю интенсивности).

Эта ситуация показана на рис. 8.37 б. Слева изображены кривые интенсивности :1 и :2 , отвечающие -м максимумам для длин волн и Æ соответственно. Справа наблюдаемая в предельном случае суммарная картина интенсивности : :1 :2 . Как показывает расчет, основанный на формуле (8.72), в наблюдаемой картине : имеется примерно 20 %-ный провал, по наличию которого легко определить, что излучение источника содержит две спектральных линии. Разумеется, критерий Рэлея является условным: например, если расстояние между центрами картин :1 и :2 будет немного меньше величины Æ, то провал в суммарной картине будет несколько меньшим (например 15 % или 10 %), что визуально также можно определить. При достаточно малом смещении или существенно разной интенсивности линий провал в суммарной картине вообще может отсутствовать, однако и в этом случае наблюдаемая картина отличается от картины дифракции, создаваемой строго монохроматическим источником. Тем не менее, критерий Рэлея широко применяется для оценки возможностей спектральных приборов. Итак, используя критерий Рэлея Æ, находим

Æ ,

B

откуда получаем

Отношение длины волны к предельно допустимому (со-

гласно критерию Рэлея) интервалу длин волн Æ называется

разрешающей способностью спектрального прибора. Высокая разрешающая способность дифракционных решеток

достигается за счет большого числа ! (до 105 и более). При этом общий рабочий размер решеток E ! не может быть слишком большим (обычно E 10 см), так как в противном случае возникают трудно выполнимые требования как к качеству объективов Л1 и Л2, так и к качеству самих решеток (равномерности нанесения штрихов). Расстояние между штрихами (период решеток ) при этом сильно ограничено: у хороших решеток величина составляет всего несколько длин волн (в оптическом диапазоне). Соответственно максимальная величина порядка дифракции , согласно (8.77), ограничена несколькими единицами. Из (8.80) и (8.77) следует, что максимальная величина разрешающей способности дифракционной решетки есть

спектральный интервал излучения, который может быть проанализирован с помощью спектрального прибора. Итак, пусть спектральный состав излучения содержит ряд компонент, лежащих в интервале от до (рис. 8.38). При этом разрешающая способность решетки достаточно высока, так что даже ближай-

максимума спектральной компоненты (находящейся на левом краю спектрального диапазона излучения источника) совпадает с положением -го дифракционного максимума спектральной компоненты (находящейся на правом краю спектрального диапазона излучения), т. е. выполняется условие:

Ясно, что при этом наблюдаемая картина дифракции в фокальной плоскости объектива Л2 не дает возможности определить, наблюдается ли -й максимум для длины волны

Соответственно интенсивности волн связаны равенствами:

:прош :пад >2, :отр :пад 32. Будем полагать, что поглощение отсутствует. Тогда, очевидно :пад :прош :отр, откуда следует

>2 32 1. Если ввести энергетические коэффициенты отражения и пропускания и , то 1.

Пусть падающая на интерферометр волна имеет амплитуду0 (рис. 8.40). Пройдя внутрь интерферометра, волна ослабится, ее амплитуда станет равной 0>. Пройдя затем через второе зеркало, волна выйдет из интерферометра вправо, имея амплитуду1 0>2. Назовем эту волну первой волной.

все они распространяются под углом к оси , а амплитуды этих волн отличаются множителем 32: 1 32.

Каждая последующая волна в этой суперпозиции проходит в интерферометре дополнительный путь 2+ (+ — расстояние между зеркалами), приобретая набег фазы #, равный 2+:

(для интерферометра, состоящего из двух зеркал, разделенных воздушным промежутком).

Таким образом, суммарная волна на выходе из интерферометра имеет амплитуду

(сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 32D'). Амплитуда суммарной волны, прошедшей сквозь интерферометр, максимальна, если происходит синфазное сложение волн, т. е.

При этом векторная диаграмма, изображающая сумму (8.86), представляет собой цепочку коллинеарных векторов, длины которых уменьшаются в геометрической прогрессии, а амплитуда прошедшей волны равна амплитуде падающей волны:

т. е. волна полностью проходит сквозь интерферометр! Поучительно рассчитать, какова при этом амплитуда отраженной волны (разумеется, мы должны получить в результате расчетаотр 0). Мы предоставляем проделать этот расчет читателю в качестве упражнения.

Синфазное сложение волн, возникающих при многократных переотражениях от зеркал (при условии (8.87)) приводит к тому, что амплитуда колебаний поля внутри резонатора может суще-