студ ивт 22 материалы к курсу физики / belonuchkin_ve_zaikin_da_tsipeniuk_ium_kurs_obshchei_fiziki

объяснял, почему с возрастанием температуры максимум интенсивности в спектре излучения все больше и больше смещается к коротким волнам. Несмотря на то, что экспоненциальный спад интенсивности излучения с ростом частоты экспериментально был подтвержден для коротких длин волн, измерения в широком диапазоне длин волн показали значительные отклонения опытных данных от этого закона.

Проблема распределения энергии в спектре теплового излучения была разрешена на заре XX века Максом Планком. В 1938 г. 80-летний Планк вспоминал, что его формула была открыта в воскресенье 7 октября 1900 г. Днем к Планкам в гости пришли Рубенсы, и Генрих Рубенс рассказал Планку, что он, измеряя вместе с Курлбаумом тепловое излучение, обнаружил, что для малых отношений эксперимент дает пропорциональность интенсивности излучения температуре и тем самым не соответствует закону Вина. В тот же вечер Планк получил формулу для , которая для малых дает пропорциональность температуре,

апри больших переходит в формулу Вина. Так был не выведен,

аугадан закон распределения интенсивности по частотам — формула Планка, и 19 октября 1900 г. Планк доложил этот эмпирический закон на заседании Немецкого физического общества.

Чуть меньше двух месяцев потребовалось Планку, чтобы вывести угаданный им закон. Для этого ему пришлось разорвать порочный круг классического подхода к тепловому излучению и прийти к «элементам энергии» (потом уже появилось для них название «фотоны», введенные в науку американским физиком Г. Льюисом (1875–1946) в 1929 г.), которым приписывался смысл частиц. Начало квантовой физики может быть датировано 14 декабря 1900 г., когда Планк доложил свой вывод на заседании Физического общества.

Конечно нам, опираясь на опыт нескольких поколений, вывести спектральное распределение интенсивности теплового излучения намного проще. Рассмотрим замкнутую полость объемом , стенки которой находятся при температуре . Равновесное излучение в полости можно рассматривать как фотонный газ, специфика которого заключается в следующем.

1.Число фотонов не сохраняется, а мы имеем дело с динамическим равновесием, когда непрерывно происходит поглощение фотонов стенками и их испускание.

2.Термодинамическое равновесие устанавливается только за счет поглощения и испускания фотонов веществом стенок.

3.В отличие от идеального газа обычных частиц, где тепловое равновесие соответствует максвелловскому распределению частиц по скоростям, все фотоны движутся со скоростью света.

Итак, рассмотрим электромагнитное поле в полости как фотонный идеальный газ (ранее такой идеальный газ уже частично

рассматривался в рамках феноменологической термодинамики). Поскольку фотоны являются бозе-частицами, то в элементарном объеме может быть сколько угодно фотонов данной частоты. Нас будет интересовать, сколько фотонов определенной энергии имеется в нашем объеме, находящемся в равновесии при температуре . Тепловое равновесие излучения означает, что в полости имеются фотоны различных энергий, причем среднее число фотонов с данной энергией (частотой ) определяется только температурой стенок, т. е. электромагнитное поле в полости эквивалентно совокупности гармонических осцилляторов, находящихся в различных возбужденных состояниях.

Действительно, энергия квантового осциллятора, находящегося в -м состоянии, равна

но так как нулевую энергию невозможно «отнять» от осциллятора, то его энергию в дальнейшем удобнее отсчитывать от нулевого уровня. В этом случае энергия различных состояний будет определяться по формуле

Из этой формулы с очевидностью следует сделанное выше утверждение — в -м состоянии осциллятор имеет энергию , что эквивалентно наличию в системе фотонов с энергией .

Средняя энергия осциллятора

с энергией , отсчитываемой от нулевого уровня 0 2. Согласно общему термодинамическому принципу вероятность возбуждения уровня с энергией при заданной температуре определяется больцмановским фактором

Поэтому средняя энергия возбуждения осциллятора при заданной температуре равна

6.1 ] Равновесное тепловое излучение 413

Мы видим, что средняя энергия осциллятора с частотой равна энергии фотона с данной частотой, умноженной на так называемый планковский множитель, который фактически определяет среднее число частиц (в нашем случае осцилляторов, или, что то же самое, фотонов с данной частотой) в рассматриваемом состоянии. Это же можно сказать иначе: при данной температуре число фотонов, имеющихся в полости, зависит как от температуры, так и от частоты, и чем выше частота фотона при данной температуре, тем меньше число таких фотонов, что на языке осцилляторов означает, что тем меньше вероятность возбуждения осциллятора с данной частотой.

Чтобы найти полную энергию равновесного излучения с частотой в интервале частот , надо умножить среднюю энергию осциллятора на число осцилляторов в единице фазового пространства (плотность состояний ). В связи с этим обратимся к квазиклассическому условию квантования, рассмотренному в § 5.2, которое выглядит так:

Это условие есть ни что иное, как обобщение условия Бора для квантования электронных орбит в атоме . Если умножить обе части этого соотношения на 2 , то его левая часть будет как раз интегралом от импульса электрона по круговой орбите радиуса . В данном случае мы обобщаем это соотношение для любых частиц.

Соотношение (6.10) можно интерпретировать следующим образом. Интеграл есть площадь, охватываемая замкнутой классической фазовой траекторией частицы (т. е. кривой в плоскости ( ) — фазовом пространстве частицы). Разделив эту

площадь на клетки площадью 2 каждая, мы получим всегоклеток. Но есть число квантовых состояний с энергиями, не превышающими заданного ее значения (соответствующего рассматриваемой фазовой траектории). Таким образом, мы можем сказать, что каждому квантовому состоянию соответствует клетка в фазовом пространстве площадью в 2 . Иначе говоря, число состояний, отнесенное к элементу объема фазового пространства, есть

Итак, приходящийся на одно квантовое состояние фазовый объем равен 2 . Для трех координат эта величина должна быть возведена в куб.

Величину минимального фазового объема 2 , приходящегося на каждую координату, можно оценить и на основании соотношения неопределенностей — произведение неопределенностей в координате и импульсе 2 . Это означает, что величина 2 определяет, грубо говоря, минимальный объем, который «отводится» частице в фазовом пространстве.

Разделение фазового пространства на ячейки сделано, следовательно, таким образом, что каждой изображающей точке, несмотря на неопределенность ее координат, соответствует вполне определенная ячейка. Дальнейшее деление фазового пространства, или, что то же самое, задание положения изображающей точки с большей точностью (внутри ячейки) не имеет никакого смысла. Просто сопоставление изображающей точки с определенной ячейкой фазового пространства содержит в себе все, что можно сказать относительно состояния системы.

Чтобы найти полное число состояний в фазовом объеме , надо еще учесть вырождение состояния по спину частицы . Это связано с тем, что любой энергетический уровень 2 1 кратно вырожден из-за 2 1 возможных проекций момента импульса на заданную ось. Поэтому число разрешенных состояний частиц определяется по формуле

Соответственно число состояний , приходящихся на единичный интервал энергии, равно

Фазовый объем, занимаемый частицей с импульсами от 0 до в координатном объеме , равен

6.1 ] Равновесное тепловое излучение 415

Поэтому нам надо выразить плотность состояний через производную числа состояний не по энергии, а по импульсу:

Таким образом, из формул (6.12)–(6.14) окончательно следует:

Мы получили для плотности состояний общее выражение, которое теперь применим для теплового излучения. Практически во всем интересующем нас диапазоне длин волн мы имеем дело с дипольными фотонами, и поэтому спиновое вырождение для фотонов равно двум. Напомним, что в классической физике спиновое вырождение определяется числом возможных направлений поляризации электромагнитной волны. Кроме того, мы должны в выражении (6.16) учесть, что закон дисперсии фотонов определяется соотношением , откуда следует, что 1 . Поэтому для фотонов число уровней, приходящихся на единичный интервал энергии, или иначе статистический вес, принимает следующий вид:

Теперь мы можем окончательно вычислить плотность энергии равновесного излучения. Как указывалось выше, для этого надо умножить среднюю энергию осциллятора на число осцилляторов в единице объема. Учитывая, что для фотонов , из формул (6.17) и (6.9) получаем

Тем самым плотность энергии излучения с частотой в единице объема равна

где введено обозначение Б .

Полученное выражение и есть планковская формула равновесного излучения. График функции (6.19) при разных показан на рис. 6.2.

Прежде всего найдем, какой частоте соответствует максимум излучения. Продифференцировав выражение (6.19) по , получа-

416 Квантовая теория излучения [ Гл. 6

Отсюда следует, что соответствующий максимуму параметр должен удовлетворять уравнению

Мы получили закон смещения Вина: частота, соответствующая максимуму излучения абсолютно черного тела, пропорциональна

температуре.

Приведем для сведения длины волн, которые соответствуют максимуму излучения абсолютно черного тела при разных температурах. Если температуру измерять в градусах Кельвина, а длину волны в сантиметрах, то, как легко получается путем дифференцирования по длине волны, максимальная интенсивность спектра теплового излучения соответствует длине волны

0,29

При комнатной температуре максимум приходится на длину вол-

Æ

ны 105 А (для сравнения: види-

Æ

4–7 103 А). Таким образом, тела, находящиеся при комнатной температуре, излучают в далекой инфракрасной области спектра, мы не видим это излучение, а ощущаем его как тепло. При1500 ÆC максимум в спектре теплового излучения соответ-

Æ

ствует длине волны 1,5 104 А (эта длина волны лежит в инфракрасном диапазоне, но мы уже видим красное свечение

Æ

тела), при 2200 ÆC (лампа накаливания) это 10 000 А и мы наблюдаем яркий желтый свет. Максимум в солнечном свете

Æ

( 6000 ÆC) соответствует 5000 А.

В области больших частот излучение падает экспоненциально

как Б , а в области малых частот ( Б ) экспоненту можно разложить в ряд, т. е. считать, что Б

1 Б , и мы получаем

Прежде всего рассмотрим, как связаны между собой излучательная и поглощательная способности тел. Рассмотрим замкнутую полость, в которой имеется равновесное излучение при какой-то температуре. В силу полной изотропии излучения выражение для плотности потока энергии в спектральной полосеи единице телесного угла можно записать в виде

Мы использовали тут обычное соотношение для потока , с учетом того, что скорость фотона равна скорости света, а плотность есть плотность энергии равновесного излучения.

Как показано на рис. 6.3, на единицу площади поверхности полости в единицу времени под углом в интервале углов ипадает излучение, энергия которого

4 (6.25) Интегрирование по азимутальному уг-

лу в силу изотропии дает 2 .

Рис. 6.3 Учтем теперь свойства поверхности. Пусть на элементарную площадку поверхности тела падает поток излучения , частота которого заключена

в интервале . Часть этого потока будет поглощена телом. Поглощательной способностью тела называется отношение

Если наше тело — абсолютно черное, то отношение

интенсивностей поглощенного и падающего на тело излучения равно единице. Тело, для которого 1, называют серым. Количество энергии, поглощенное в единицу времени, равно и оно должно при равновесии компенсироваться излучением стенки в том же телесном угле. Если обозначить через поток энергии, испускаемый единицей поверхности тела в интервале частот (испускательная способность тела), то баланс излученной и поглощенной энергий единицей поверхности стенки под углом к ней в интервале углов определяется равенством

4 2 2 , (6.27) или

(6.28)

4

Полученное нами соотношение между поглощательной и испускательной способностями тела носит название закона Кирхгофа, который получил его в 1859 г. на основе чисто термодина-