Теория автоматического управления. Волков В.Д., Смольянинов А.В

Необходимое значение добротности по скорости:

Значение добротности увеличено в 2 по отношению к минимально допустимой,

поскольку желаемая ЛАЧХ в низкочастотной области формируется так, чтобы она прохо-

дила выше контрольной точки на 3 дБ (в линейном масштабе 2). Это необходимо, если первая частота сопряжения характеристики Lж совпадает с частотой к .

Выберем значение максимальной постоянной времени T1 в частотной передаточной функции (5.163): Т1= к-1=4 с.

Частота ЛАЧХ:

Значение постоянной времени 1 получим из условия (5.160) в виде

В области низких частот, где , желаемая ЛАЧХ ИС Lж( ) и желаемая ЛАЧХ ее непрерывной части Lнж( ) совпадают (рис. 5.31, где Т2=TII; T3=TIII).

В области высоких частот вид и параметры желаемой ЛАЧХ непрерывной части

Lнж( ) выбираем так, чтобы ее сопрягающие частоты совпадали с сопрягающими часто-

тами ЛАЧХ нескорректированной (исходной) непрерывной части Lнс( ).

531

Рис. 5.31. Синтез ЛАЧХ непрерывного корректирующего устройства

штрих - пунктирной ломаной, для того, чтобы выполнялись требования, предъявляемые к установившейся точности системы.

Подсчитав сумму малых постоянных времени: T =2T2+T3=2 0,01+0,005=0,025 с, из условия (5.161) определим максимально допустимую величину периода дискретности:

Вычитанием из желаемой ЛАЧХ непрерывной части Lнж( ) логарифмической ха-

рактеристики Lнс( ) определим ЛАЧХ последовательной корректирующей цепи Lп( ),

которая соответствует интегродифференцирующему звену с передаточной функцией

где Т1k=T1=4 c; 1k= 1=0,18 c; Т2k=T2=TII=0,01c; 2k=TI=0,1 c.

условия (5.161), получится отрицательным. Это соответствует случаю, когда малые по-

стоянные времени нескорректированной системы столь велики, что заданная точность слежения в установившемся режиме и требуемое значение показателя колебательности несовместимы. Для уменьшения малых постоянных времени непрерывной части следует ввести дополнительные корректирующие цепи, после чего, подсчитав новую величину Т

, определить частоту сопряжения желаемой ЛАЧХ ИС.

Синтез параллельного корректирующего устройства Wk и корректирующей ОС удобно проводить, используя характеристики или передаточную функцию эквивалентного последовательного корректирующего устройства подобно тому, как это делается для не-

прерывных систем, в частности:

532

Wk s W1( s ) Wп ( s ) 1 ; Woc ( s ) Wп 1( s ) 1 W1 1( s ).

Приведенное выражения для Woc(s) соответствует внутреннему контуру с отрица-

тельной ОС.

Вариант 2. В том случае, когда период дискретности задан, параметры желаемой ЛАЧХ в области низких частот, как и в предыдущем случае, выбираются из условий обес-

печения необходимой точности в установившемся режиме и заданного значения показате-

ля колебательности. Значения k , постоянных времени Т1 и 1, а также частота среза сис-

темы совпадают с полученными ранее в варианте 1.

Желаемая ЛАЧХ непрерывной части в области высоких частот может быть произ-

вольной, но такой, чтобы сумма малых постоянных времени не превышала допустимого значения, учитывающего квантование по времени

Для того, чтобы в области высоких частот вид ЛАЧХ Lж( ) был близок к характе-

ристике Lнс( ) исходной непрерывной части, примем (см. рис. 5.30): T =T2+T2’+T3, поло-

жив T2= TII =0,01 c, T3= TIII =0,005 c. Тогда допустимое значение постоянной времени T2’

желаемой передаточной функции непрерывной части системы, определяемое условием

(5.164), будет равно:

T2’ 0,025 (T2 T3 ) 0,01 с.

Приняв T2’=T2=TII=0,01 c и определив значение =Т /Т =0,025/0,03=0,83, находим последнюю частоту сопряжения ЛАЧХ ИС:

Если сумма малых постоянных времени нескорректированной непрерывной части не соответствует условию (5.164), то необходимо либо уменьшить период дискретности,

либо ввести дополнительные корректирующие цепи для уменьшения этих постоянных времени.

533

5.4.5. Синтез дискретных корректирующих устройств

Расчет дискретных или цифровых корректирующих устройств (ЦКУ) в

ИС также, как и непрерывных, удобно проводить частотными методами. В

этом случае методика расчета дискретного последовательного ЦКУ полно-

стью совпадает с методикой расчета последовательного корректирующего устройства в непрерывной части. ЛАЧХ Lп( ) последовательного ЦКУ полу-

чается как разность между желаемой ЛАЧХ Lж( ) и ЛАЧХ Lнс( ) нескоррек-

тированной системы.

По характеристике Lп( ) легко записывается частотная передаточная функция Dп(j ). Перейдя к z-преобразованию подстановкой

получаем импульсную передаточную функцию Dп(z).

При расчете ЦКУ необходимо учитывать некоторые особенности, свя-

занные с ограничениями, накладываемыми на вид желаемой передаточной функции системы для выполнения условий реализуемости дискретной пере-

даточной функции корректирующего устройства и грубости скорректирован-

ной системы. Рассмотрим случай дискретной последовательной коррекции,

представленный на рис. 5.29, а. Передаточная функция системы в замкнутом состоянии

функции Dп(z) или соответствующей ЛАЧХ корректирующего устройства,

обеспечивающих тождество передаточных функций замкнутых

систем. Это значит, что синтезируемая передаточная функция

Приведенные выражения позволяют получить условия, при которых дискретная передаточная функция Dп(z) будет физически реализуемой (осу-

ществимой), т.е. порядок полинома ее числителя будет не выше порядка по-

линома знаменателя. Действительно, если подставить в (5.168) выражение для Wнс(z) в виде Wнс(z)=Ф(z)/(1-Ф(z)), где Ф(z) – передаточная функция ис-

ходной замкнутой системы, то получим

На основе этого выражения легко сделать вывод, что для осуществимо-

сти Dп(z) необходимо, чтобы разность степеней полиномов знаменателя и числителя желаемой передаточной функции Фж(z) была не меньше соответ-

ствующей разности степеней полиномов Ф(z).

Соответствующее требование к передаточной функции Wж(z) можно получить из (5.169), если обозначить

Подставив (5.170) в (5.169), получим:

Dп (z ) A( z )Bж (z ) ,

B( z )Aж (z )

откуда условие физической реализуемости Dп(z) запишется в виде:

mж n m nж ,

где mж, m – степени полиномов Bж(z), B(z); n, nж – степени полиномов A(z),

Aж(z), или

535

(5.171)

Очевидно, что такое же требование должно выполняться и при синтезе последовательного корректирующего устройства и в непрерывных системах.

Если обратить внимание на то, что высокочастотная асимптота ЛАЧХ имеет наклон –20(n-m) дБ/дек, то из (5.171) следует требование, налагаемое на же-

лаемую ЛАЧХ Lж( ): отрицательный наклон высокочастотной асимптоты этой ЛАЧХ должен быть не меньше наклона соответствующей асимптоты ЛАЧХ исходной системы.

Выполнение условий осуществимости передаточной функции Dп(z),

обеспечивающей формально тождеств (5.166) и (5.167), не является единст-

венным требованием для достижения заданных показателей качества замкну-

той системы. Даже если желаемая ЛАЧХ либо желаемая передаточная функ-

ция выбраны исходя из этих показателей качества, а также реализованы тож-

дества (5.167) или (5.168) и передаточная функция Dп(z) осуществима, может оказаться, что замкнутая система будет негрубой и неработоспособной. Такая особенность имеет место, если неизменяемая часть системы с передаточной функцией Wнс(z) (исходная система в разомкнутом состоянии) не является минимально-фазовой, т.е. содержит нули или полюсы по модулю, большие единице (вне единичного круга).

Предположим, что при последовательной дискретной коррекции же-

лаемая ЛАЧХ построена в соответствии с методикой, изложенной в 5.4.3 и

записана соответствующая передаточная функция Wж(z). Деформация ЛАЧХ исходной системы Lнс( ) для достижения тождеств (5.156), (5.157) связана, в

частности, с изменением наклонов асимптот Lнс( ) за некоторыми ее часто-

тами сопряжения, т.е. с компенсацией каких-либо нулей или полюсов пере-

даточной функции Wнс(z) равными им соответствующими полюсами или ну-

лями Dп(z).

Обозначим часть передаточной функции Wнс(z), содержащей указанные

компенсируемые нули или полюсы, как Wk(z)=B1(z)/A1(z), т.е. запишем: 536

Wнс ( z ) Wнсо ( z )Wk ( z ) Wнсо ( z ) B1 ( z ).

A1 ( z )

Передаточная функция скорректированной системы в разомкнутом со-

стоянии запишется в виде

где Dпо( z )Wнсо (z ) Wж ( z ).

Таким образом, передаточная функция Wck(z) тождественна желаемой

Wж(z) с точностью до «неполной части» скорректированного контура,

имеющей характеристический полином (ХП)

Aн ( z ) B1( z )A1( z ).

При замыкании системы с передаточной функцией (5.172) единичной отрицательной ОС ее характеристическое уравнение принимает вид

1 Wж ( z ) A1 ( z )B1( z ) 0 ,

B1 ( z )A1( z )

т.е. ХП скорректированной замкнутой системы

Как видно, ХП замкнутой системы представляется в виде двух полино-

мов: Aзж(z) – желаемый ХП, расположение корней которого обеспечивает за-

данные динамические свойства системы управления; Aн(z) – ХП «неполной части» скорректированного контура. «Неполная часть» содержит те нули и полюсы передаточной функции Wнс(z), которые не повторяются в желаемой передаточной функции Wж(z), т.е. в нее не входят. Поскольку, как это видно из (5.173), все нули и полюсы Wнс(z), которые не вошли в Wж(z), после замы-

кания системы становятся корнями ее ХП, то поэтому они при замыкании не перемещаются.

Отсюда следует принципиальный вывод: все нули и полюсы «вне кру-

га» передаточной функции Wнс(z) («плохие» ее нули и полюсы) должны обя-

537

зательно входить в Wж(z), т.е. их нельзя компенсировать соответствующими полюсами и нулями Dп(z).

Рассмотрим определение передаточной функции ЦКУ для ИС для рас-

смотренного в 5.4.4 примера, когда период дискретности задан.

Дискретная частотная передаточная функция исходной системы Wнс(j )

с непрерывной частью вида (5.162) и соответствующей ЛАЧХ Lнс( ) (рис. 5.30), имеющей наклон –40 дБ/дек асимптоты в окрестности частоты среза,

имеет вид

Допустим, что задано значение периода дискретности Т=0,02 с. Не-

трудно убедиться в том, что при исходных параметрах системы выполняется условие T 2<< TT /2, что позволяет упростить выражение (5.174), переписав его в виде

Поскольку частотная передаточная функция исходной системы имеет два правых нуля, что соответствует двум правым нулям в импульсной пере-

плоскости z, то необходимо так сформировать желаемую передаточную функцию, чтобы она включала в себя эти нули.

538

В области низких частот сохраним вид и параметры желаемой характе-

ристики, принятые ранее. Введя дополнительный полюс для выполнения фи-

зической реализуемости желаемой передаточной функции, получим

Для обеспечения требуемого значения показателя колебательности М в

этом случае необходимо выполнить условия

Подставив значения T=0,02 c; M=1,5; cp=15,3 c-1, убеждаемся, приня-

тое значение T =TII+TIII=0,015 c этому условию удовлетворяет. На рис. 5.32

где

539