Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория автоматического управления. Волков В.Д., Смольянинов А.В

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

25.44 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 5253 / 6953 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 > Следующая >>>

Pqk (z )

Wpq(z ) Ldq(z) ,

где Pqk ( z ) и Ldq (z ) полиномы в z плоскости степени k и d соответственно

(d>=k).

Потребуем, чтобы синтезируемая система характеризовалась нулевой установившейся ошибкой, а передаточная функция замкнутой системы имела вид

W		(z)	1	.	(5.134)
	зсq
			zl

Первое требование удовлетворяется, если передаточная функция регу-

лятора будет иметь вид

Pqk ( z )

Wpq( z ) ( z 1)Ldq( z ).

В соответствии с теоремой Сильвестера, в данном случае степени по-

линомов регулятора k=n и d=n-1.

Передаточная функция замкнутой системы будет иметь вид

Wзсq (z )

Pqn(z )Boqm (z )

(5.135)

n 1

(z ) P

(z )B

(z )

( z 1)L

(z )A

Как видно из полученного выражения для того чтобы числитель пере-

даточной функции замкнутой системы был равен единице необходимо, что-

бы ее знаменатель (желаемое характеристическое уравнение) содержал мно-

житель Pqn( z )Boqm ( z ). Последнее требование позволяет представить (5.135) в

виде

			Pn (z )Bm (z )
Wзсq (z )				q	oq				.	(5.136)
					n 1		n
	Pn (z )Bm			(z 1)Lq		(z )Aoq(z )
			(z )					1
				n		m
	q	oq					(z )
				Pq	(z )Boq

Выбор полиномов

521

	Pn(z) An		(z),		(5.137)
	q	oq
Ln 1	(z) Ln 1 m(z)Bm			(z),	(5.138)
q		q	oq

позволяет записать характеристическое уравнение замкнутой системы в виде

		( z 1)Ln 1 m ( z )Bm			( z )An	( z )
An	( z )Bm	( z )	q	oq	oq		1 0
An	( z )Bm	( z )	n	m			1 0
oq	oq		n	m				.	(5.139)
			Pq	( z )Boq ( z )				.	(5.139)
An	( z )Bm	( z )( z 1)Ln 1 m ( z ) 0
oq	oq		q

Из (5.139) следует, что для удовлетворения требования (5.134) желае-

мый характеристический полином должен иметь вид

Acld2n Aoqn (z)Boqm (z)zn m .

Приравнивая (5.139) и (5.140) находим

Aoqn ( z )Boqm ( z )( z 1)Lnq 1 m ( z ) Aoqn ( z )Boqm ( z )zn m

n 1 m		Aoqn ( z )Boqm ( z )zn m			zn m	.
L	( z )
L	( z )	An	( z )Bm	( z )( z 1)	( z 1)
q		An	( z )Bm	( z )( z 1)	( z 1)
		oq	oq

Откуда передаточная функция регулятора

	Pqk (z )		Aoqn (z ) 1			1	1
Wpq(z )					Woq	(z )		.
Wpq(z )	(z 1)Ld	(z )	Bm	zn m	Woq	(z )	zn m	.
	q		oq

(5.140)

(5.141)

Для синтеза оптимального по времени апериодического управле-

ния потребуем, чтобы выходная координата Y(z) достигла установившегося значения в моменты квантования с нулевой ошибкой за n тактов, где n – сте-

пень полинома знаменателя передаточной функции объекта (рис. 5.3). Кроме того, с целью обеспечения апериодичности управления, потребуем, чтобы выход регулятора достиг своей установившейся величины за n тактов.

Первое условие будет выполнено если передаточная функция замкну-

той системы будет иметь вид /2/

W		( z )	( z )	,	(5.142)
	зсq		zn

где (z ) nzn n 1zn 1 0. Кроме того, обеспечение нулевой уста-

522

новившейся ошибки требует выполнения условия

(1) 1. (5.143)

Если будет выполнено условие (5.142), то выходной сигнал системы может быть представлен в виде

Y( z )

( z )

R( z ),

а сигнал на выходе регулятора

Aoqn (z ) (z )

U( z )

Woq

( z )

Y(z )

R( z ).

(5.144)

Boq(z )

Для того, чтобы выход регулятора достиг установившегося значения за n тактов необходимо, чтобы в знаменателе (5.144) отсутствовал полином

Boqm ( z ), что возможно если выбрать /2/
(z ) Bm (z ).				(5.145)
		oq
Однако, учитывая, что в общем случае, Bm				(1) 1 выберем
			oq
(z) Bm (z),				(5.146)
		oq
где
		1	.	(5.147)

	Bm (1)
	oq

С учетом (5.146) выражение (5.144) может быть переписано в виде

	An	( z )
U(z )	oq		R(z ).	(5.148)
	zn

Исходя из структурной схемы (рис. 5.3) можно записать

U( z )

Wpq ( z )

R( z ).

(5.149)

1 Woq ( z )Wpq ( z )

Из сопоставления (5.148) и (5.149) следует

(z )

(5.150)

1 W (z )W

(z )

523

откуда передаточная функция регулятора

	An	(z )
Wpq(z )	oq			.	(5.151)
Wpq(z )	zn Bm		(z )	.	(5.151)
		oq

5.4.3. Частотные методы синтеза. Построение желаемых частотных

характеристик

Во многих реальных ИС период квантования достаточно мал и соблю-

дается условие 1/T>> cp, а квантование по времени практически не проявля-

ется. В этом случае, как уже отмечалось, расчет ИС практически повторяет расчет непрерывных систем.

Если же частота квантования соизмерима с частотой среза, т.е. 1/T cp,

то высокочастотная и среднечастотная часть частотной характеристики ИС будет сильно отличаться от соответствующих частей частотной характери-

стики ее непрерывной части. Здесь желаемую частотную характеристику ИС необходимо строить с учетом квантования по времени. В противном случае показатели качества скорректированной ИС будут значительно отличаться от желаемых.

В достаточно общем случае желаемая передаточная функция непре-

рывной части системы имеет вид

k (1 j s )

Wж ( s )	j 1	.	(5.152)
	n

s (1 Ti s )

i 1

Для определения соответствующей передаточной функции или ком-

плексного коэффициента передачи Wж(j ) системы с квантованием по вре-

мени, которое необходимо учесть, выражение (5.152) представляется в виде

Wæ ( s ) Fi ( s)

суммы простых дробей преобразованию

i	, каждая из которых подвергается

524

	z 1	F ( s)
		Z	i		F ( z )
		Z			F ( z )
	z		s		i	.
Искомое выражения для желаемой передаточной функции будет, оче-
Wæ ( z ) Fi ( z )				. После подстановки
видно,		i		. После подстановки

j j (T / 2 )

	1	j (T / 2 )
		j (T / 2 ),
1			(5.153)

	2 tg T				tg T

где		T	2	– абсолютная псевдочастота;		2	– относительная

(безразмерная) псевдочастота; Т – период квантования по времени, получим соответствующий комплексный коэффициент передачи Wж(j ), определяю-

щий желаемую ЛАЧХ Lж( ).

Реально такой путь оказывается чрезвычайно сложным. Решение зада-

чи можно существенно упростить, если построение ЛАЧХ Lж( ) осуществ-

лять отдельно для областей низких Т и высоких > Т частот.

Как известно, обычно параметры желаемой ЛАЧХ выбираются так,

чтобы в окрестности частоты среза ср ее наклон был равен –20 дБ/дек, а все

частоты сопряжений 1/ j< ср (j=1,2,…,m).

При синтезе желаемой ЛАЧХ импульсной системы, кроме того, прак-

тически во всех случаях необходимо выполнить условие 2/Т> ср , которое со-

гласуется с известной теоремой Котельникова-Шеннона (см. п. 1.5.1) и дает

возможность обеспечить необходимые запасы устойчивости ИС.

Выражения для низкочастотной и высокочастотной частей передаточ-

ной функции (5.152) можно записать в виде / 7/

W (s)		k(1 1s) (1 ms)		,		(5.154)

н		s (1 T s) (1 T s)
	1		q
WВ ( s )		cp			,	(5.155)

	s(1 Tq 1s) (1 Tns )
	525

где предполагается, что среди постоянных времени Ti имеются большие, (i=1,2,….,q), которым соответствуют частоты сопряжений, меньшие ср, и

малые (i=q+1, q+2<…,n), дающие частоты сопряжений, большие ср (правее частоты среза).

Импульсные передаточные функции (5.154) и (5.155) при =1 можно записать в виде

(1 di

)

(

)

Wн

(z )

, di e Ti

z 1

z di

(5.156)

i 1

(1 d

)

WВ (z)

(5.157)

z di

z 1

i q 1

Для других значений будем иметь иные выражения для Wн(z), соот-

ветствующие преобразованию передаточной функции непрерывной системы

W(s) в импульсную передаточную функцию W(z). Сделав подстановку

(5.153) в (5.156) и (5.157) и учитывая, что (T/2)cth(T/2Ti) Ti (i=1,2,…q) и (T/2)cth(T/2Ti) T/2 (i=q+1,q+2,…n), получим приближенные выражения

Wн ( j ) Wн ( s )

s j

(1 j

);

cp(1 j

)

1 j

T ,

( j )

j (1 j

)

(5.158)

где

q 1 – сумма малых постоянных времени.

Очевидно, что выражение Wн(j ) в (5.158) справедливо при любых зна-

чениях и, более того, - при любых передаточных функциях W(s).

Поскольку начало высокочастотной

части

ЛАЧХ Lв( ) сливается

(“сшивается”) с концом частотной характеристики Lн( ) в точке

ср ср,

можно записать общее приближенное выражение для Wж(j ) в виде

526

cp (1 j

)

( j ) W

( s )

1 j

s j

(1 j

)

(5.159)

Частотная передаточная функция (5.159) задает вид соответствующей желаемой ЛАЧХ Lж( ) ИС. Параметры этой характеристики должны выби-

раться с учетом требований к точности установившихся режимов и к качест-

ву переходных процессов. При этом возможны две постановки задачи:

период Т квантования (дискретности) задан;

максимально допустимое значение Т требуется найти.

Построение желаемой ЛАЧХ Lж( ) начинают с построения частотной

характеристики Lж( ) без учета временной дискретизации. По характеристи-

ке Lж( ) записывается передаточная функция Wж(s) вида (5.155), а затем – частотная передаточная функция Wж (j ) ИС (по выражению (5.159)). Оче-

L( )							L( )							L( )			видно,	что типовым
																	видно,	что типовым
		-20						-20									ЛАЧХ Lж( ) в облас-
				-40					-40				k	-40			ЛАЧХ Lж( ) в облас-
				-40					-40
																	ти средних частот бу-
0						cp 1/	0				cp	1/					ти средних частот бу-
				-20					-20					-20
														0	cp	1/
	1		1		1			1		1				0	cp	1/
	1		1		1			1		1				1			дут	соответствовать
	T1	T2		1				T1		1
	T1	T2		1				T1		1				1
														1
				Рис. 5.30. Типовые желаемые ЛАЧХ ИС													также	типовые харак-

теристики Lж( ). На рис. 5.30 показаны примеры таких характеристик, а в табл. 5.1 приведены соответствующие передаточные функции непрерывной системы и частотные передаточные функции той же системы с квантованием по времени (ИС).

Вобласти низких частот ( ср ср) желаемая ЛАЧХ ИС совпадает

сжелаемой ЛАЧХ соответствующей непрерывной системы; параметры же-

лаемых характеристик в этой области выбираются исходя из требований,

предъявляемых к точности в установившемся режиме.

527

В средних частот все характеристики имеют одинаковый наклон -20

дБ/дек. Их параметры в данной области частот определяют запас устойчиво-

сти системы, вид и время затухания переходного процесса.

Таблица 5.1

Передаточные функции и частотные характеристики ИС

Тип

Степень

Передаточная функция

Частотная характеристика ИС с фиксатором

астатизма

непрерывной части

нулевого порядка

k 1

k(1 j 1 )

2 )

k(1 1s)

(1 T1s) (1 Tns)

ý Ti ;

i 3

k 0,1,2,...;0 1

k 1

k(1 j 1 )

2 )

k(1 1s )

j (1 T )

1 j

T k 1

s(1 T1s ) (1 Tns )

T ý

i 2

k 1

k(1 j 1 )

2 )

k(1 1s )

III

j 2(1 T

) 1 j

k 1

s (1 T1s ) (1 Tns )

T ý

i 1

При определении этих параметров можно использовать различные кри-

терии качества, известные в теории линейных непрерывных систем, рассмот-

ренные ранее. Вместе с тем, в ИС одним из наиболее удобных является пока-

( j )

затель колебательности системы M max		.

0 (0 )

Его целесообразно использовать для систем с колебательными процес-

сами (1.3 М 2). Он позволяет получить простые аналитические соотноше-

ния, определяющие параметры желаемой ЛАЧХ.

528

Для ИС, имеющих передаточные функции вида (5.159) (см. табл. 5.1),

заданный показатель колебательности М будет достигаться, если выполнить условия:

в области частот, меньших частоты среза,

m	1	q	1	M 1
					(5.160)
				;	(5.160)
j 1	j	i 1	Ti	M

в области частот, больших частоты среза,

T	T	1	M	,	(5.161)
2		cp
			M 1

где – значение частоты (псевдочастоты) на рис. 5.30, при которой про-

должение асимптоты –40 дБ/дек пересечет ось .

Условие (5.160) полностью совпадает с аналогичным условием для не-

прерывных систем, а (5.161) отличается, так как в области высоких частот характеристики непрерывной системы существенно отличаются от характе-

ристик ИС.

5.4.4.Синтез непрерывных корректирующих устройств

Вслучае непрерывной коррекции целенаправленно изменяют характе-

ристики непрерывной части ИС. Различные варианты включения непрерыв-

ных корректирующих устройств рассмотрены ранее.

При расчете передаточных функций таких устройств целесообразно перейти от желаемой ЛАЧХ Lж( ) к желаемой характеристике Lнж( ) ее не-

прерывной части. Тогда расчет ЛАЧХ корректирующих устройств будет полностью совпадать с аналогичным расчетом для непрерывных систем.

В области низких частот ( < cp) желаемые ЛАЧХ непрерывной час-

ти Lж( ), ( ) и ИС Lж( ), ( ) совпадают. При построении желаемой ЛАЧХ непрерывной части в области высоких частот ( > cp) целесообразно выбирать малые постоянные времени так, чтобы сопрягающие частоты не-

529

скорректированной и желаемой частотных характеристик непрерывной части совпадали. В таком случае корректирующая цепь получается наиболее про-

стой. Однако при этом необходимо, чтобы сумма малых постоянных времени в желаемой передаточной функции непрерывной части системы (эти посто-

янные времени удовлетворяют условию 1/Ti< cp) не превышала максимально допустимое значение, определяемое соотношением (5.161). В противном случае потребуется уменьшить период дискретности либо ввести дополни-

тельные корректирующие цепи для области высоких частот.

Пример 5.7. Определить вид и параметры последовательной корректирующей цепи в импульсной следящей системе с АИМ и экстраполятором нулевого порядка, обеспечи-

вающей максимальную скорость слежения gmax 20 о/с и максимальное ускорение сле-

жения gmax 5 о/с2 при максимально допустимой установившейся ошибке слежения

max=5’ и показателе колебательности М=1,5.

Передаточная функция нескорректированной непрерывной части системы

W(s)

(5.162)

s(1 TI s)(1 TII s)(1 TIII s)

где TI=0,1c; TII=0,01 c; TIII= 0,005 c.

Рассмотрим два варианта расчета:

максимально допустимый период дискретности системы требуется определить;

период дискретности задан и равен Т=0,03 с.

Вариант 1. В качестве желаемой ЛАЧХ примем характеристику типа II из табл. 5.1 (с астатизмом первого порядка). Ей соответствует частотная передаточная функция вида

					T					T
	k(1 j 1	)	1	j		1	j		(		T	)
	k(1 j 1	)	1	j	2	1	j		(		T	)
Wж( j )					2				2				.	(5.163)
Wж( j )								T					.	(5.163)
								T
	j (1 T1				)	1	j
	j (1 T1				)	1	j
							2

Исходя из заданной точности в установившемся режиме, определим координаты

(Lк, к) контрольной точки на плоскости ЛАЧХ в области низких частот. Для этого ис-

пользуем понятие эквивалентного синусоидального воздействия. Частота этого воздейст-

	з	gmax	0.25c 1	k .
вия		gmax

Требуемое значение усиления в контрольной точке (на частоте к)

530

<<< < Предыдущая 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 5253 / 6953 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]