3479

структур схожи по форме, ограничимся лишь подробным анализом дифракции волны на вспомогательной структуре.

H

x

R2+t

П

εr

R2

-H2

-h2

Рис. 2.21. Двухпазовая гребѐнка с диэлектрическим слоем (наклонное падение H-поляризованной волны)

Для однородной Е-поляризованной плоской волны, падающей в плоскости x0у на вспомогательную структуру (отсчет угла падения показан на рис. 2.20), проекции векторов напряженностей электрического и магнитного полей падающей волны в области x > R1 + t записываются в виде

Поле рассеянных волн (поле дифракции) в этой же области представляется совокупностью пространственных гармоник, описываемой рядом Фурье:

рассеянные поля представляются в виде соотношений, аналогичных (2.2). Поэтому приведем лишь записи для Е-компонент полей в этих областях:

где dm1 и dm2 - неизвестные комплексные амплитуды волноводных мод; qm1=(k02 r1-( m/W)2)1/2 и qm2=(k02 r2-( m/(d-W))2)1/2 - постоянные

распространения волноводных мод основного и вспомогательного пазов вдоль оси 0x.

Hy -компоненты полей дифракции в рассматриваемых частичных областях находятся в соответствии с уравнениями Максвелла.

Сшивание тангенциальных компонент полей на границах раздела частичных областей x = 0, x = R, x = R+t приводит к системе функциональных уравнений относительно неизвестных комплексных амплитуд ПГ an, bn, cn, fn, gn, dm1, dm2:

Разложив функции sin( my/W) и sin( m(y-W)/(d-W)) по полной ортогональной на периоде системе функций exp(j ny) и исключив из полученных уравнений неизвестные амплитудные коэффициенты bn, cn, fn, gn, получим парную систему линейных алгебраических уравнений 1-го рода бесконечного порядка относительно комплексных амплитуд в области x > R + t и волноводных мод dm1 и dm2 в пазах гребенки.

Для построения эффективного вычислительного алгоритма решения полученной СЛАУ использована операция регуляризации в соответствии с обобщенным правилом Миттры (2.7) – правилом редуцирования бесконечных парных СЛАУ. Она заключается в строго определенном выборе числа учтенных ПГ и волноводных мод в основном и вспомогательном пазах гребенки – величин L, M1 и M2 соответственно, и вытекает из требования удовлетворения искомого решения условию Мейкснера, определяющему поведение поля вблизи сингулярностей (ребер решетки).

Указанная операция регуляризации состоит в том, что при общем числе L учитываемых гармоник в области x R1 + t число волноводных мод M1 и M2 выбираются с учетом условия

Учитывая, что M1+M2=L, редуцированная СЛАУ запишется в следующем виде

где

Регуляризованная система уравнений (2.49) использована для построения алгоритма численного решения задачи и его программной реализации.

Анализ дифракции на структуре, изображенной на рис. 2.21, однородной плоской электромагнитной волны с Н-поляризацией выполняется аналогично приведенному выше; основное отличие состоит в представлении рассеянного поля в пазах решетки с помощью функций cos(qm1x) и cos(qm2x), cos( my/W) и cos( m(y-W)/(d-W)) для выполнения граничных условий на дне пазов и на ребрах решетки, а в соответствующих суммах по m дополнительно учтена волноводная мода с нулевым индексом (это обусловлено наличием в пазах при Н-поляризации Т-волны). Структуры парных систем граничных уравнений в случаях E- и H-поляризации аналогичны.

Параметры ДР были выбраны следующими: H1=0, =h1/d=0.25, u=W/d=0.8. Зависимость 1 получена методом полуобращения. Кривая 2 - результат метода редуцирования СЛАУ при общем числе учитываемых гармоник N=9. Расчеты показывают, что при редуцировании СЛАУ по правилу (2.7) среднеквадратическое отклонение (СКО) приближенного решения от строгого не превышает 7 %, причем кривая 2, полученная численным методом, в широком частотном диапазоне повторяет поведение зависимости, полученной полуаналитическим методом, включая точку, в которой производная функции P0=P0( ) терпит разрыв.

На рис. 2.23 изображены кривые, соответствующие случаю H-поляризации.

1 x X 2 .75

Рис. 2.23. Расчетные зависимости относительнойi энергии зеркально отраженной волны Н-поляризации от частотного параметра

Параметры ДР оставлены прежними, волна падает нормально. Общее число учтенных гармоник N=7. Обозначения кривых на рис. 2.23 соответствуют принятым на рис. 2.22. Из рис. 2.23 следует, что при правильно выполненном усечении СКО не превышает 3 %. Численный анализ, проведенный с учетом 15 гармоник, показывает, что для случаев E- и H-поляризованных падающих волн СКО не превышает 2 % (относительно результатов, полученных методом полуобращения).

Сходимость метода редуцирования парных СЛАУ проверяется математическим моделированием дифракции плоской Н-поляризованной электромагнитной волны на одномерно-периодичной гребенке со слоем диэлектрика, в частности, анализом угло-частотных характеристик структуры и зависимости постоянной вытекания (-1)-й поверхностной гармоники от частоты падающей волны при различном количестве учитываемых ПГ. Результаты математического моделирования сравниваются с данными, полученными экспериментальным путем.

Результаты расчетов, иллюстрирующие зависимости угла падения (-1)m, соответствующего преобразованию с максимальной эффективностью энергии падающей однородной плоской Н-поляризованной волны в энергию (-1)-й поверхностной гармоники и постоянной вытекания (-1) для соответствующей гармоники от количества учитываемых гармоник, приведены в табл. 2.2. В качестве материала ПДВ выбран полистирол ( r=2.56, tg э < 0.001) толщиной t=6 мм; период d каждой из трех исследуемых гребенок выбран равным 24 мм; ширина пазов ДР W=8 мм (W < min/2). Параметры структуры выбраны таким образом, чтобы частота брэгговского резонанса второго порядка лежала в исследуемом диапазоне частот. Методика определения постоянной вытекания

(-1) приведена в главе 3.

Таблица 2.2 Зависимости дисперсионных характеристик от числа учтенных ПГ

Результаты, приведенные в табл. 2.2, подтверждают тот факт, что использование метода редуцирования в задачах дифракции на координатных структурах приводит к покоординатной сходимости комплексных амплитуд пространственных гармоник Флоке. Для обеспечения точности, необходимой для инженерных расчетов, в различных случаях для анализируемой структуры следует учитывать от 9 до 25 гармоник, причем в областях частот, близких к глубинным резонансам канавок ДР и брэгговскому резонансу второго порядка необходимое количество гармоник увеличивается. Учет потерь в диэлектрике приводит к изменению исследуемых параметров на 1-3 %.

Оценка границ области применимости приведенной математической модели дифракции плоской однородной Н-поляризованной волны на двумернопериодичной металлической гребенке, накрытой слоем диэлектрика, и выяснение основных физических закономерностей, обусловленных двойной периодичностью исследуемой структуры, влияющих на ее дисперсионные характеристики, а также выработка рекомендаций по ее алгоритмизации требует выяснения зависимости величины поправки h от геометрических параметров электродинамической системы «двумерно-периодичная идеально проводящая гребенка + диэлектрический волновод». Важность знания поведения данных зависимостей обусловлена тем, что величина поправки h определяет отличия дисперсионных свойств двумерно-периодичной и одномерно-периодичной гребенок с диэлектрическим слоем.

Ниже для наглядности результаты компьютерного моделирования вышеуказанных зависимостей приведены для абсолютных значений частоты падающей плоской однородной Н-поляризованной волны и параметров двумерно-периодичной металлодиэлектрической структуры.

Зависимость поправки h, учитывающей проникновение падающих на структуру волн в запредельные пазы ДР, от величины прицельного расстояния R1 приведена на рис. 2.24 для следующих параметров структуры: r=2.56,

W=8 мм, t=6 мм, h1=30 мм, (-1)m=00. Кривая 1 соответствует частоте падающей волны f=9.4 ГГц ( 0=3.2 см), а зависимость 2 - частоте f=12 ГГц ( 0=2.5 см).

Видно, что зависимости являются периодическими, причем периоды равны половине длины волны в свободном пространстве для соответствующего значения частоты. Через интервалы изменения прицельного расстояния R1, равные четверти длины волны в свободном пространстве, происходит смена минимальных и максимальных значений поправки, используемой для построения эквивалентной одномерно-периодичной структуры, вызванная тем, что при вариации прицельного расстояния периодически изменяется реактивное сопротивление поверхностной волны в планарном диэлектрическом волноводе, вносимое в пазы ДР (воздушный зазор трансформирует это сопротивление). Вариация толщины зазора на четверть длины волны инвертирует величину вносимого сопротивления и влияет на его характер, а

Из рис. 2.24 следует, что свойства одномерно- и двумерно-периодичных структур могут незначительно отличаться (на участках с минимальной величиной поправки) и иметь значительную разницу при других величинах прицельного расстояния, соответствующих большим значениям поправки. Отсюда вытекает важный практический вывод: существуют такие диапазоны изменения прицельного расстояния, в пределах которых для анализа свойств двумерно-периодичной структуры можно воспользоваться математической моделью, описывающей свойства одномерно-периодичной структуры (так как соответствующая величина поправки h пренебрежимо мала).

Для оптимизации времени компьютерного моделирования и точности получаемых результатов при автоматизированном проектировании дифракционных плоских антенн СВЧ диапазона волн целесообразно оценивать величину поправки h. В случае небольших значений поправки h (ниже пороговой величины hпор, определяемой заданным верхним пределом допустимого уровня погрешности определения антенных характеристик моделируемой структуры) имеет смысл использовать математическую модель для одномерно-периодичной структуры с теми же геометрическими размерами и электрическими параметрами материалов, что и у двумерно-периодичной. Использование избирательного к входным данным подхода к математическому моделированию позволяет в подобных случаях почти вдвое сократить затраты необходимого для моделирования машинного времени.

Кривые, демонстрирующие зависимости величины поправки h от ширины пазов ДР, показаны на рис. 2.25. Параметры структуры выбраны следующими: r=2.56, d=24 мм, h1=4 мм, f=9.4 ГГц, (-1)m=00. Приводятся зависимости для нескольких значений прицельного расстояния: R=7 мм, 10 мм, 13 мм, 15 мм. При любом прицельном расстоянии сужение пазов ДР ведет к

Как влияет на поправку h глубина пазов ДР, иллюстрируется рис. 2.26.

быстро и монотонно растет с увеличением h1 (интервал h1 от 0 до 6 мм) и 2 – «область насыщения», где увеличение глубины пазов ДР (интервал h1 > 6 мм) не приводит к заметным изменениям величины поправки.

В большей части области 1 величина поправки пропорциональна глубине пазов ДР: при дифракции Е-поляризованной волны на гребенке с мелкими пазами эквивалентная отражающая плоскость (рис. 2.17) может быть смещена от вершин ребер решетки на расстояние X0, равное или превышающее