3479

Правило редуцирования парных бесконечномерных СЛАУ (2.7) является обобщением выражения, полученного для различных координатных структур более простой геометрии.

При выводе (2.7) не была использована информация об асимтотике поведения электромагнитного поля вблизи сингулярных областей структуры (внешних острых ребер). Последнее обстоятельство значительно упрощает методику моделирования координатных структур с большим количеством смежных областей. Выражение (2.7) справедливо для координатных структур с произвольной геометрией и электрическими параметрами.

Редуцированная СЛАУ, записанная в виде

численного решения задачи и его программной реализации.

Для моделирования дифракции Е-поляризованной падающей волны на анализируемой структуре (рис. 2.1) в математическую модель необходимо внести следующие изменения: в пазах гребенки 4 (K+3) поле представляется следующим образом:

Как видно, для падающей волны с Е-поляризацией, в представлении поля в пазах ДР отсутствуют нулевые (ТЕМ) моды, а для обеспечения выполнения граничных условий поля внутри пазов в отличие от (2.3) используются функции sin ... . Соответственно и в выражении для парной СЛАУ, подобном (2.8) при Е-поляризованной падающей волне нижнее значение индекса m составляет 1.

Степень достоверности решения рассматриваемой ниже краевой задачи

для периодических структур определяется «качеством» выполнения совокупности следующих условий: закона сохранения энергии для объемных волн, граничных требований на поверхности металла, непрерывности компонент поля на границах частичных областей, условия Мейкснера на ребрах структуры, соотношений взаимности. В подобной ситуации, помимо экспериментальной, важное значение имеет проверка точности решения, основанная на контроле соответствия математической модели исходной физической задаче.

В учебном пособии проведен анализ выполнения перечисленных критериев при решении задачи дифракции H-поляризованной волны на плоской дифракционной структуре, фрагмент геометрии которой изображен на рис. 2.2.

Модель исследуемой структуры содержит бесконечно протяженную периодическую дифракционную решетку с пазами прямоугольного профиля и планарный диэлектрический волновод. Рассмотрена решетка с тремя равноширотными эквидистантно расположенными пазами разной глубины, разделенными ребрами ненулевой толщины. Модельные геометрические

период решетки

Рис. 2.2. Фрагмент исследуемой структуры

Учитывая, что наибольшая погрешность приближенного решения подобных задач (прямым методом редукции по правилу Миттры) имеет место при параметрах дифрагирующей волны, обусловливающих проявление эффекта глубинных резонансов (ГР) пазовых волноводных мод, рассмотрим в качестве примера один из самых худших (с точки зрения минимизации погрешности) вариантов исходных данных.

На рис. 2.3, а представлены зависимости модулей комплексных амплитуд пространственных гармоник (ПГ) (-2); (-1), и 0-го порядков от частотного параметра при фиксированной величине угла падения первичной

Скорость сходимости приближенного решения к точному с увеличением M существенно зависит от номера (порядка) исследуемой гармоники. Выбрав наихудший вариант, рассмотрим сходимость модуля и аргумента комплексной амплитуды (-2)-й ПГ ( A 2 ). Частотные зависимости A 2 и arg A 2 в

резонансной области при разном М, приведенные на рис. 2.4, а, б, показывают, что с ростом числа учитываемых ПГ их характер и расположение на координатной сетке становятся все более определенными. Расчетные значения, полученные при М=45, лишь на (5 7) % хуже по точности, чем при М=105, что свидетельствует о наличии покоординатной сходимости модуля и фазы A 2 .

Следует отметить, что вычислительная погрешность решения СЛАУ практически не оказывает влияния на точность результатов, поскольку запас устойчивости решения данной задачи достаточно велик: число

Наличие в структуре ребер обусловливает удовлетворение решений краевой задачи в области 2 условию Мейкснера:

аппроксимирующая (по методу наименьшего среднеквадратического отклонения (СКО)), имеет тангенс угла наклона к оси абсцисс, равный 1.638 ( чис), что на 1.7% хуже значения , определенного аналитически. При этом около 90% отсчетов расчетной зависимости располагается в зоне 3, где - их СКО относительно прямой регрессии.

Рис. 2.7. Выполнение условия Мейкснера

Таким образом, использованный метод позволяет со вполне достаточной для практики точностью вычислять амплитуды ПГ невысокого порядка (n=03) для структуры с тремя пазами на периоде ДР, разделенными ребрами ненулевой толщины, при учете не более 45 ПГ в области над структурой. Однако при расчете компонент рассеянного поля (в заданной точке) число учитываемых ПГ необходимо увеличить в 1.5...2 раза.

Для обеспечения требуемой точности результатов моделирования при ограничении временных затрат на численный эксперимент целесообразно использовать следующий алгоритм уточнения решения: изначально М выбирается таким, чтобы учесть в наиболее узком ―пазе-колодце‖ 1 3

Если вычисленное таким образом превышает заданную величину, минимизация ошибки сходимости продолжается.

Оценка эффективности приближенных решений усеченных СЛАУ производится сравнением результатов расчетов с полученными при использовании строгих методов. Рассмотрим, например, расчет относительной

Соответствующая кривая сходимости (кривая 2, рис. 2.10) имеет более сложный характер, нежели в случае 1, где она может быть аппроксимирована монотонно убывающей экспонентой (кривая 1, рис. 2.10). В точках, где dWo dтерпит разрыв, алгоритм минимизации ошибки сходимости должен быть более гибким для получения решения повышенной точности. Значение

Рис. 2.10. Кривая сходимости определения величины Wo в точках 1, 2

Проведенные расчеты для тех же параметров задачи при укрупнении модели в два раза ( 2 6, K 4 : u1 u3, u2 u4 , 1 3, 2 4 0, nрасч=2n) показывают, что средняя относительная погрешность укрупненной модели по сравнению с исходной при фиксированном не превышает 0.3 %, что свидетельствует о соответствии данных моделей. Однако при этом существенно возрастает время расчетов (поскольку необходимо учитывать большее М при том же ): от 2 до 8 раз.

В двухуровневых гребенках, в отличие от одноуровневых, вершины ребер, разделяющих пазовые области, расположены на разной высоте, рис. 2.11. Период двухуровневой гребенки включает K внутрипериодных пазовых областей, расположенных ниже плоскости z b2 (области 4 k , где

k1 K), и плоский волновод, образованный двумя ребрами, расположенными

вточках x 0, x L (область 4) и представляет собой отрезок

короткозамкнутого разветвленного плоского волновода.

Данная дополнительная степень свободы, присущая двухуровневым гребенкам, может быть использована для расширения спектрального состава электромагнитного поля внутри пазовых областей с целью выравнивания частотной зависимости постоянной вытекания (–1)-й поверхностной гармоники Флоке планарного диэлектрического волновода, рис. 2.12. На рис. 2.12. цифрами 1 5 обозначены частотные зависимости компонент постоянных вытекания (–1)-й поверхностной гармоники Флоке планарного диэлектрического

волновода, обусловленные четвертьволновыми резонансами в соответствующих пазовых областях, кривая 6 отображает соответствующую характеристику всей гребенки в целом.

Другой положительной стороной применения двухуровневых гребенок в дифракционных плоских антеннах является стабилизация углового положения главного лепестка диаграммы направленности в расширенной полосе частот (до 10 %) за счет наложения друг на друга участков аномальной дисперсии (–1)-й поверхностной гармоники Флоке планарного диэлектрического